關(guān)于函數(shù)易錯(cuò)題類型的分析與糾編

福建

數(shù)學(xué)中的易錯(cuò)問題一直以來都是學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的“絆腳石”,如何解決這個(gè)“老大難”問題,決定學(xué)生高考的成敗.因此,教學(xué)中教師不僅要善于糾正錯(cuò)誤,還要善于防止出現(xiàn)錯(cuò)誤,及時(shí)反思、分析失誤、尋找產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因,才能在教學(xué)的過程中制定出相應(yīng)的方案,有效地避開可能形成的失誤,達(dá)到糾編的效果.下面是筆者就函數(shù)這一章,解題時(shí)易錯(cuò)原因進(jìn)行歸納、糾編與各位讀者共享.

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)不全面導(dǎo)致的錯(cuò)誤

學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“對(duì)而不全”這種情況,其實(shí)質(zhì)是對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握不夠全面、理解不夠深刻,所謂的“只見樹木不見森林”,正是如此.如學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí),函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則是構(gòu)成函數(shù)的基本要素,然而很多學(xué)生在解題時(shí)還是經(jīng)常會(huì)把定義域或值域給忽略掉，從而導(dǎo)致解題的錯(cuò)誤.

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A.(0,+∞) B.(-∞,0)

C.(2,+∞) D.(-∞,-2)

【錯(cuò)因】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的特點(diǎn)求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,忽略函數(shù)的定義域而導(dǎo)致選擇B這個(gè)錯(cuò)誤的答案.

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A.(1,3) B.(0,1)

【例3】已知mx2+x+1=0有且只有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi),求m的取值范圍.

【錯(cuò)解】設(shè)f(x)=mx2+x+1，∵mx2+x+1=0有且只有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，

∴f(0)·f(1)<0得m<-2.

【錯(cuò)因】對(duì)于一般f(x),若f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn),誤認(rèn)為存在零點(diǎn),就是存在唯一的零點(diǎn)而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.對(duì)于二次函數(shù)f(x),若f(a)·f(b)<0則在區(qū)間(a,b)上存在唯一的零點(diǎn),一次函數(shù)有同樣的結(jié)論成立.但方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)上有且只有一根時(shí),不僅是f(a)·f(b)<0,也有可能f(a)·f(b)≤0，如二次函數(shù)圖象是下列這種情況時(shí).由圖可知f(x)=0在區(qū)間(a,b)上有且只有一根,但是f(a)·f(b)≤0,

【正解】設(shè)f(x)=mx2+x+1,

(1)當(dāng)m=0時(shí)方程的根為-1,不滿足條件.

(2)當(dāng)m≠0，∵mx2+x+1=0有且只有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi),又f(0)=1>0,

綜上所得,m<-2.

【糾編策略】對(duì)于以上類型造成的學(xué)生解答失誤,在講授新課時(shí)應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)定義、概念的理解,設(shè)計(jì)相關(guān)問題,通過示錯(cuò)、糾錯(cuò),讓學(xué)生體會(huì)為什么錯(cuò)？錯(cuò)在哪？親歷錯(cuò)誤,進(jìn)行體驗(yàn)式學(xué)習(xí),是一種好的預(yù)防方法.在學(xué)習(xí)時(shí),教師可以利用“先入為主”這種思維方法,如學(xué)習(xí)零點(diǎn)存在定理之前,可先讓學(xué)生畫出滿足f(a)·f(b)<0的函數(shù)f(x)的圖象,收集、整理并展示,這樣在他們學(xué)習(xí)伊始就對(duì)可能出現(xiàn)、容易犯的錯(cuò)誤,進(jìn)行一個(gè)預(yù)防,“提前干預(yù)”對(duì)于這類易錯(cuò)問題是一個(gè)很有效的辦法.

二、運(yùn)算路徑不合理導(dǎo)致的錯(cuò)誤

“會(huì)而不對(duì)”常常體現(xiàn)為“我會(huì)做,但卻因?yàn)橛?jì)算不認(rèn)真、時(shí)間不夠用等導(dǎo)致錯(cuò)誤”.這也許是解題方法選擇的不合理,運(yùn)算的路徑不科學(xué)導(dǎo)致計(jì)算量偏大而犯的失誤,方法的不合理也會(huì)導(dǎo)致解題思路錯(cuò)綜復(fù)雜,降低解題效率.

∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

【錯(cuò)因】直接利用定義判斷函數(shù)的奇偶性,而忽略函數(shù)的定義域在對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)所起的作用,沒有先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)而直接用定義進(jìn)行判斷,導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.

∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),

∴該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

【錯(cuò)因】對(duì)數(shù)運(yùn)算公式不熟悉,或者說奇偶性的判別方法不靈活.定義f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),也可改為研究f(-x)+f(x)=0,f(-x)-f(x)=0是否成立.

即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函數(shù).

【糾編策略】對(duì)于由以上原因而造成的解題失誤,教學(xué)過程中教師應(yīng)該有意識(shí)地、經(jīng)常性地進(jìn)行“一題多解”教學(xué)活動(dòng),提供給學(xué)生多樣化的解題思路,如在進(jìn)行“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)時(shí),要讓學(xué)生不斷地體會(huì)利用定義判斷、導(dǎo)數(shù)法、圖象法、基本函數(shù)單調(diào)性判斷、復(fù)合函數(shù)法等多種常用的方法進(jìn)行單調(diào)性的判斷,提供相應(yīng)例題讓學(xué)生比較各種方案在解題中的優(yōu)劣,最終讓學(xué)生能根據(jù)條件快速尋求對(duì)應(yīng)的解題方案,有效避開繁雜的計(jì)算,減少解題中因計(jì)算而產(chǎn)生的失誤.

三、充要條件未理清導(dǎo)致的錯(cuò)誤

對(duì)于某些問題,學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常把“充分不必要條件”或“必要不充分條件”當(dāng)作是“充要條件”來使用,而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.例如,在解決奇函數(shù)問題時(shí),用f(0)=0(0在定義域內(nèi))來解題,殊不知,若0在定義域內(nèi),f(0)=0只是f(x)是奇函數(shù)的必要不充分條件而非充要條件,例如f(x)=x2,其滿足f(0)=0,但卻不是奇函數(shù)而是偶函數(shù).再如函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間D上可導(dǎo),則在此區(qū)間f′(x)>0是f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)的充分不必要條件,而f′(x)≥0且f′(x)在定義域內(nèi)的任意子區(qū)間不恒為0才是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件.

【例7】已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+x在R上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【錯(cuò)解】函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=3ax2-2x+1,且函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),

【錯(cuò)因】f′(x)>0,可得可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；反之,若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù),則應(yīng)f′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立,學(xué)生在解題時(shí)往往理不清是否是充要關(guān)系,易漏等號(hào).

【正解】函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=3ax2-2x+1,且函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),

所以有f′(x)≥0在R上恒成立,

【例8】當(dāng)m為何值時(shí),x2+(m-2)x-m+5=0方程的兩根均大于2.

【糾編策略】對(duì)于由此類原因而導(dǎo)致的解題失誤,我們則更多地利用實(shí)例講解,通過解題后反思,利用特例進(jìn)行檢驗(yàn)、驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)問題、糾正等方法,有效彌補(bǔ)學(xué)生解題時(shí)產(chǎn)生的錯(cuò)誤.

四、知識(shí)相近審題難導(dǎo)致的錯(cuò)誤

“似曾相識(shí)”是這類易錯(cuò)題最基本的特征,學(xué)生在解決問題的過程中會(huì)遇到諸多“似曾相識(shí)”的問題,這些問題的實(shí)質(zhì)都是所學(xué)過的一些知識(shí)內(nèi)容的變式,總結(jié)起來有以下三種類型:(1)“形似質(zhì)同”,利用某個(gè)概念或數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形,達(dá)到考查的目的；(2)“形似質(zhì)非”,命題者設(shè)計(jì)與某個(gè)概念或數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)特征相似但卻不能用此模型加以解釋；(3)“形非質(zhì)同”,命題者命題時(shí)不以原型或簡(jiǎn)單的變形顯示,而需要通過整理轉(zhuǎn)化才能獲得原有模型.學(xué)生常常會(huì)不假思索地應(yīng)用頭腦中已有的模型進(jìn)行解題作答,因此也常常會(huì)陷入考查陷阱導(dǎo)致失誤.

【例10】已知曲線f(x)=2x3-3x,過點(diǎn)M(0,32)作曲線f(x)的切線,求切線方程.

【錯(cuò)解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知k=f′(0)=-3,所以曲線的切線方程為y=-3x+32.

【錯(cuò)因】過某一點(diǎn)的切線,誤認(rèn)為M(0,32)就是切點(diǎn),忽視切點(diǎn)位置導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

解得x0=-2,所以切線方程為y=21x+32.

注意:導(dǎo)數(shù)的幾何意義是過曲線上該點(diǎn)的切線的斜率,應(yīng)注意此點(diǎn)是否在曲線上.

【例11】函數(shù)f(x)=ax2+(a-3)x+1的減區(qū)間為[-1,+∞),則實(shí)數(shù)a=

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A.-3 B.(-∞,-3]

C.[-2,0] D.[-3,0]

【錯(cuò)解】當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上遞減,滿足條件.

解得-3≤a<0.綜上,a的取值范圍為[-3,0].答案D.

【錯(cuò)因】對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)在某個(gè)區(qū)間單調(diào)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)含混不清,誤把函數(shù)減區(qū)間等價(jià)于函數(shù)在某個(gè)區(qū)間遞減而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

【糾編策略】對(duì)于此類易錯(cuò)題,學(xué)生要善于對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別,辨清應(yīng)用模型的條件是否發(fā)生變化,教師在教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)變式訓(xùn)練,通過變式,實(shí)施對(duì)比,找出差異,讓學(xué)生體會(huì)“形似”并不一定“質(zhì)同”,從而有效打破學(xué)生的思維定式,學(xué)會(huì)認(rèn)真審題、注意識(shí)別知識(shí)的差異,辨清題目再進(jìn)行解題,養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,有效糾正類似問題的解答錯(cuò)誤.