基于本質的幾何試題命制方法例析

福建

數學試題命制是數學教師業務素質的一個重要方面,富有挑戰性,頗具創新性，同時要求命題者深入學習學科本質,提升學科素養.根據試題的考查要求,源自本質,科學合理地設置試題的條件和結論,往往能使試題的命制去模式化,更具創新性.本文就基于本質的幾何試題命制,結合筆者近幾年參加的各級命題活動所命制的試題,談談個人的觀點與想法,旨在拋磚引玉.

1.基于曲線定義

定義是數學的本質之一,曲線的定義揭示了運動中的不變性,也蘊藏著定值關系,可以以定值為條件,設置有關的最值問題.

1.1 命題案例1

1.1.1 試題內容

(2014·泉州市質檢理·20)幾何特征與圓柱類似,底面為橢圓面的幾何體叫作“橢圓柱”.圖1所示的“橢圓柱”中,A′B′,AB和O′,O分別是上、下底面兩橢圓的長軸和中心,F1,F2是下底面橢圓的焦點.圖2是圖1“橢圓柱”的三視圖及尺寸,其中俯視圖是長軸在一條水平線上的橢圓.

(Ⅰ)若點M,N分別是上、下底面橢圓的短軸端點,且位于平面AA′B′B的兩側.

(ⅰ)求證:OM∥平面A′B′N；

(ⅱ)求平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角的余弦值.

圖1

正視圖

俯視圖圖2

1.1.2 命題意圖

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、空間向量、三角函數、不等式等基礎知識,考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力,考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想、特殊與一般思想及應用意識.

1.1.3 試題解析

(Ⅰ)(ⅰ)連接O′M,O′N,∵O′O⊥底面O′,O′M?底面O′,∴O′O⊥O′M.

∵O′M⊥A′B′,O′O?平面AA′B′B,A′B′?平面AA′B′B,A′B′∩O′O=O′,

∴O′M⊥平面AA′B′B.

同理,可證ON⊥平面AA′B′B,∴O′M∥ON.

又∵O′M=ON,∴四邊形ONO′M為平行四邊形,∴OM∥O′N.

又∵OM?平面A′B′N,O′N?平面A′B′N,∴OM∥平面A′B′N.

如圖,以O為原點,AB所在直線為x軸,ON所在直線為y軸，OO′所在直線為z軸建立空間直角坐標系O-xyz.

∵z軸⊥平面ABN,∴可取平面ABN的一個法向量n1=(0,0,1).

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證明：∵N′是點N在上底面的投影,∴N′N⊥上底面O′,

∵上下兩底面互相平行,∴N′N⊥下底面O,即N′N⊥平面ABN,

又∵NF1,NF2?平面ABN,∴NN′⊥NF1,NN′⊥NF2.

1.1.4命制心路

1.1.5 試題亮點

①背景新穎,交匯自然

試題類比圓柱的幾何體特征,引入“橢圓柱”,以“橢圓柱”為背景,實現立體幾何、解析幾何、不等式、三角函數等知識的自然融合交匯,使試題內容飽滿,不見生搬硬套,渾然天成.

②回歸定義,重視本質

定義是一些數學結論的基礎,是數學的本質之一,理解掌握定義是學好數學的首要條件.試題從橢圓的本質定義出發,得到定值條件,通過消元轉化為函數問題,從而求解出tan(α+β)的取值范圍,進而強調了數學定義的重要性.

③多元考查,注重通法

從考查的知識看,試題考查了直線與平面平行、二面角、橢圓、三角函數以及不等式等知識點,“雜而不亂”；從考查數學思想方法與能力要求看,考查的數學思想方法包括數形結合思想、化歸與轉化思想和函數與方程思想,考查的能力包括空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識,試題的求解方法不偏不怪,注重通性通法,體現高考試題的命題理念.

④能力立意,倡導探索

《考試說明》中指出,“以能力立意命題”是數學的學科特點和考試目標所決定的.命題應突出能力立意,對知識的考查側重于理解和應用,力求突破固定的解答模式,要求考生抓住問題的實質,對試題提供的信息進行分檢、組合、加工,尋找解決問題的辦法.倡導開放探索,關注創新意識是新課程的理念之一.試題力求考查數學的各方面能力,采用恰當的設問形式,引導學生積極探索,大膽實踐.

2.基于識圖能力

幾何學的研究對象是幾何圖形,看懂、看透圖形即“識圖”能力是關鍵,如何看懂圖形呢？對于識圖,應注意條理性,從模糊到清晰,從整體到局部,既見“森林”又見“樹木”,可以更清楚地看懂、看透幾何圖形.幾何試題命制要求命題者對幾何圖形有深度的認識.

2.1 命題案例2

2.1.1 試題內容

()

2.1.2 命題意圖

本題是以新定義為背景,考查了雙曲線的漸近線、導數的幾何意義、直線的斜率與傾斜角、三角函數等知識；考查數形結合思想、函數與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想、有限與無限思想及創新意識等；考查了學生的數學素養等.具有一定的難度,能夠起到“壓軸”的效果.

2.1.3 試題解析

由“確界角”的定義可知,曲線C相對于點O的“確界角”的兩邊所在直線就是它的漸近線或經過點O的曲線的切線.

②當x>0時,曲線y=xex-1+1存在過點O的切線,設切點P(x0,x0ex0-1+1),

令f(t)=t2et-1-1(t>0),則f′(t)=(t2+2t)et-1>0,

所以f(t)=t2et-1-1在(0,+∞)上為增函數,且f(1)=0,

所以過點O曲線y=xex-1+1的切線的斜率k=2.設切線的傾斜角為β,則tanβ=2,

2.1.4 命制心路

①歸納——從具體到抽象,從特殊到一般

筆者在命題過程中,考慮到試卷的權重,需要一個考查有關雙曲線的試題,計劃安排在選擇題的最后一題,具有一定的“壓軸”效果.左思右想,分析了雙曲線的性質與圖形特征,注意到雙曲線的漸近線刻畫了其“開口”的大小,從而產生一個想法,以漸近線的這個幾何特征下一個有關角的新定義,以這個定義為基礎考查雙曲線與其他知識融合交匯.

通過研究發現,如果一條曲線在由一個定點引出的角的內部,則這樣的角有無數多個,而且必定存在一個最小角.此時,突然想到這個最小角的特征與數學中的“上確界”的概念類似,從而引入了“確界角”的概念,初步作如下定義.

如圖(題中的圖),若曲線Γ在頂點為O的角α的內部,A,B分別是曲線Γ上相異的任意兩點,且α≥∠AOB,我們把滿足條件的最小角α叫作曲線Γ相對于點O的“確界角”.

②演繹——從抽象到具體,從一般到特殊

2.1.5 試題亮點

①重視數學的本質

數學的學習應重視數學的本質,試題的命制源于雙曲線,高于雙曲線.試圖從雙曲線的漸近線本質特征出發,自然地抽象出“確界角”的概念,達到“青出于藍而勝于藍”的效果.

②重視基本數學思想

試題考查了數形結合思想、函數與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想及創新意識等數學思想與方法,體現了“多思少算”的高考命題理念.

③重視創新意識與自學能力

試題中提出了“確界角”的新概念,學生在作答時首先必須準確理解這一新概念,并利用新概念進行解題.從而引導我們在教學活動中應培養學生的創新意識與自學能力.

2.2 命題案例3

2.2.1 試題內容

(2020·泉州市單科質檢文·11)若橢圓E的頂點和焦點中,存在不共線的三點恰為菱形的中心和頂點,則E的離心率等于

()

2.2.2 命題意圖

本題主要考查橢圓的幾何性質等知識,考查運算求解能力等,考查數形結合思想、分類與整合思想等,導向關注直觀想象等核心素養.

2.2.3 試題解析

依題意,可知菱形對角線互相垂直,即在橢圓的頂點和焦點中找到不共線的三點能構成一個直角三角形,結合橢圓的對稱性,只需考慮以下三種情況:

①如圖1,若以頂點D,焦點B為菱形頂點,C為中心,則DC⊥BC,由勾股定理得,(a2+b2)+a2=(a+c)2,由b2=a2-c2化簡得c2+ac-a2=0,

圖1 圖2

圖3

2.2.4 命制心路

2.2.5 試題亮點

試題表述簡潔,親切自然,但內容豐富,有一定的思維量.條件中巧妙地利用菱形掩蓋了直角三角形的條件,解題者分析題意時需透過現象看本質,即透過菱形看到直角三角形,而且需利用橢圓的對稱性合理分類,簡化討論的情況.試題自然地考查分類與整合思想,考查了思維的條理性與嚴謹性.

3.基于思想方法

坐標法是解析幾何的本質思想方法,是幾何問題代數化的重要方法,數形結合思想是解析幾何的重要思想.數與形的互譯是理解應用數形結合思想的關鍵能力.

3.1 命題案例4

3.1.1 試題內容

(2020·泉州市單科質檢文·20)已知拋物線E的頂點在原點,焦點在y軸上,過點A(1,0)且斜率為2的直線與E相切.

(Ⅰ)求E的標準方程；

(Ⅱ)過A的直線l與E交于P,Q兩點,與y軸交于點R,證明:|AR|2=|AP|·|AQ|.

3.1.2 命題意圖

本題主要考查拋物線的標準方程和幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力等,考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想等,體現基礎性、綜合性與應用性,導向對發展邏輯推理、直觀想象、數學運算等素養的關注.

3.1.3 試題解析

解:(Ⅰ)過點A(1,0)且斜率為2的直線方程為y=2(x-1),即y=2x-2,

所以E的標準方程為x2=2y.

(Ⅱ)設直線l的方程為x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),

3.1.4 命制心路

3.1.5 試題亮點

試題巧妙地利用數形結合思想,將數量關系幾何化,將代數關系翻譯成幾何關系,設置幾何關系的證明題,試題表述簡潔,內容豐富,解法多樣,覆蓋較多的知識方法與思想,特別在試題的講評方面具有很高的價值功能.

4.試題命制感悟

經歷了近十年的數學命題實踐,筆者在個人業務成長方面、試題命制方面等都有深刻的感觸.數學試題命制,可促動命題者深入研究考試說明、教材、學科本質等,快速提升個人綜合業務素質.在數學命題方面,筆者也有一些經驗與感想.

4.1 思想的正確導向性

《普通高中數學課程標準》指出,高中數學課程以學生發展為本,落實立德樹人根本任務,培育科學精神和創新意識,提升數學學科核心素養.試題命制首先應重視試題的思想正確導向,充分發揮試題的育人功能.通過試題,陶冶情操,滲透德育與美育,引導學生樹立正確的人生觀、世界觀和價值觀等,培養良好的思想品質和思維品質.

4.2 試題的科學嚴謹性

科學嚴謹性是試題命制的基本要求,試題素材與試題的邏輯等方面都應保證不能出問題,確保科學嚴謹.

4.3 試題表達的簡潔性

試題的表述應盡量簡潔,言簡意賅,清楚地表述條件與設問.

4.4 條件呈現的條理性

試題的條件表述應按照一定的順序呈現,符合一般的認知規律,讓解答者在閱讀的過程中可以更快讀懂題意.如立體幾何試題的條件呈現,可按照從“定性”到“定量”、“從上到下”等順序,讓解答者在讀題過程中能夠順其自然地在腦海中浮現出相應的幾何圖形.

4.5 定義表述的準確性

命制創新型試題時,為了考查在新情境中閱讀理解新材料,從而進行完成某種推理,往往要引入新定義,對新定義的表述應講究嚴謹性,言簡意賅,表達準確.

4.6 設問的難度遞進性

若試題需設置多個小問題時,應注意從易到難地設問,也適度地考慮前后承接關系,使得整道試題“順暢”,不顯拼湊、造作.

4.7 試題交匯的自然性

知識交匯,也是常見的試題命制的一種手法,試題中的知識交匯應自然融合,不生硬,有渾然天成之感.

4.8 試題解法的多樣性