章節起始抓主線,串聯知識引素養
——三角函數起始課(任意角)的教學案例和思考

江蘇

章節的起始課承載了該章節知識點的脈絡,不僅僅是簡單的新概念導入.教師應該去了解編寫者的用意,在章節起始課中挖掘更多的內容,精心設計起始課,讓起始課更加合理、充實.起始章節的導入語背后蘊藏著許多的數學思想、數學文化,是培養學生數學核心素養的極佳素材.通過對這些文字的解讀,更能夠讓學生清楚地認識到學習這部分內容的必要性,通過知識概念的引入,也能更好地解釋身邊的數學現象.

新教材中將三角函數的章節前置,放在了指數函數、對數函數之后,明顯是為了讓學生更好地學習函數的性質.從一般函數到具體的函數,逐漸加深對函數的理解,更加有效、深刻地提升對函數的學習.而三角函數作為有別于之前的指數、對數、冪函數,其最大特點是周期變化規律.在新教材第五章開篇語中,課本就已經點明了主題，“三角函數是用于刻畫周期變化規律的一類特殊函數”,讓學生腦海中先呈現出三角函數所要研究的重點性質.

周期變化中最簡單的運動是圓周運動.而任意角和弧度制這一節的開篇語就使用圓周運動作為切入點,讓學生發現其周期變化的本質是由圓上點經旋轉所產生的,進一步轉化成角度旋轉,引發圓上點P的位置發生變化.在旋轉過程中又發現角度的旋轉超出了初中的認知,所以需要進一步擴大角的范圍,進而引入本節課的課題——任意角.

在初步了解了新教材編排及導入語、開篇語的用意后,筆者認真準備了一節任意角的新授課,現將該課的教學過程、設計意圖及教學后的思考做如下總結,與讀者分享,希望得到指正！

1.教學目標指定

1.1學情分析

學生在初中已學過角的概念,但是僅僅停留在靜態圖形的認知上.原有對角度的認知已經不能完全解釋生活中所遇到的實際現象,角的擴充成為了迫切需要解決的問題.當然學生對任意角的概念還是比較陌生的,需要通過動態演示,讓其感悟動態旋轉形成角.

1.2教學目標(重點、難點)

從生活中的實際場景出發,感受角的擴充的必要性,理解數學在實際生活中的價值,體會現實生活中處處充滿數學.

教學重點:將0°到360°范圍的角度擴充到任意角.

教學難點:任意角概念的形成與建構,如何表示終邊相同角的集合.

1.3教學策略的選擇

從現實生活出發,結合實際問題(例如體操和跳水運動中的轉體、齒輪的轉動、時鐘指針的旋轉等),引發學生對現有角認知的沖突,從而引出角度范圍的推廣問題.為了將任意角統一規范的表示出來,再次引入象限角,并研究終邊相同角的特征,建立“背景(實際問題)——定義(知識建構)——量化(相等角,角的加減)——表示(象限角,終邊相同角)——性質(完善概念)”的研究路徑.過程中鼓勵學生獨立思考,大膽探索,增強交流合作與數學表達能力.

2.教學過程

2.1整體把握三角函數的本質(周期性)

在《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中,三角函數被安排在“主題二函數”中,把“函數的概念與性質、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、函數應用”視為一個整體.其中三角函數是一類典型的周期函數,周期性也是有別于其他初等函數的重要性質.課堂開篇點明主題有助于學生整體理解三角函數的概念、性質和應用等內容.所有周期變化運動中最簡單的周期運動是圓周運動,將圓周運動放在本節課內容的前面,也是為了幫助學生建立簡單的周期概念,為后階段的學習內容埋下伏筆.

2.2復習回顧,喚起學生對角的認知

問題:初中的角度是如何定義的?我們已經學過了哪些角?它們的范圍分別是多少?

設計意圖:先回顧已有的角的概念,為后階段現實問題中的角度引發認知沖突以及為任意角的推廣做好了鋪墊,體現了學習認知的規律.

2.3借助生活情景,初步體驗旋轉角

情景1:觀看視頻,在跳水運動中,中國運動員騰空旋轉的慢動作,向前翻騰兩周半、向后翻騰一周半.

情景2:觀察兩個相互咬合的機械齒輪旋轉的動態視頻.

情景3:利用鐘表校準時間,若時鐘快了一小時10分鐘或慢了兩小時,該如何調整?

學生分組討論,探討上述情景中涉及的角度,并與之前所學的角度進行比較.

設計意圖:情景中都隱藏著角的概念,但又與學生原有的認知有沖突,如何從情景中提出問題,這也是新課程理念下學生需要具備的素養，即用數學的眼光去觀察世界.當遇到的問題與原有知識體系發生矛盾時,也能激發學生探求新知識的欲望.

2.4交流探究,建構任意角的概念

教師繼續追問,從上述實例中不難發現原有知識體系中的角度的范圍太小,不能完全解釋生活中所遇到的“角”,所以應該對原有角的概念重新定義,將角的范圍擴大.但如何重新定義角才能使它更全面、更科學呢?下面學生進行分組探究,最后師生共同得出如下總結:

(1)初中原有角的概念是靜態的,共起點的兩條射線所圍成的圖形,這樣的靜態圖形無法解釋超過360°的角,應當從旋轉的角度去重新定義角度的概念,以解決角度范圍的問題；

(2)旋轉的大小確定了,但是在原有的問題情景中都涉及了旋轉方向,(結合正負數的類比)確立的旋轉方向決定角度的正負.

教師最終指導學生用嚴謹、科學的數學語言進行任意角概念的刻畫.

設計意圖:學生通過情景容易總結出通過旋轉角擴充角的大小,同時借助順時針和逆時針旋轉區分角的正負,從而真正地對任意角進行自主定義,這樣生成概念的過程也能引導學生真正做到“用數學的語言表達世界”.

2.5統一規范,引入象限角、軸線角

教師讓學生畫出450°的角,并展示學生所畫的圖形,指出問題(由于角度的大小超過了360°，所以要標注旋轉的圈數,同時由于是正角,其旋轉方向為逆時針),在展示的過程中引導學生觀察,同樣的角度,為何得到的圖象各異?引導學生發現問題的本質——始邊位置的不同,進而引出象限角及軸線角.

設計意圖:在未規定起始位置時,同樣大小及旋轉方向,所得的角并未達到統一規范,使學生對角的認知再次跳出原有大小、方向的框架,嘗試統一、規范的在直角坐標系內去表示角.

2.6引發思考,歸類終邊相同角

設計意圖:通過所畫的象限角,讓學生自主感悟終邊相同角應當具備的條件,同時也呼應本節課開篇內容,再次強調角度所具有的周而復始(周期性)的特質,為后續知識的學習打好基礎.教學過程中，教師培養學生逐步學會發現問題、提出問題、分析問題、解決問題、提煉總結的能力,激發學生“用數學的思維去解釋世界”.

2.7歸納提煉、總結運用

課末師生共同回顧本節課所學習的內容及過程,歸納總結所學的知識:任意角(正角、負角、零角)、象限角(始邊、終邊所在位置)、與終邊相同角的集合.過程中涉及由靜態的圖形到動態旋轉生成任意角,類比實數的正負推廣正負角,統一規范的定義了象限角、軸線角,從終邊相同角的“形”去總結其“數”的結構.

教學中遵循知識的認知過程,讓學生經歷“研究問題的背景——定義生成——性質特征歸類總結——思考應用”的研究主線來學習新概念“任意角”,在學習過程中也不斷地灌輸著周期性這一理念,幫助學生構建起周期函數這一概念,為后面的學習做好鋪墊.

3.章節起始課教學的若干思考

章節起始課中,教師不僅要導入新概念教學環節,更重要的是整體把握本章節所要研究的問題輪廓,讓學生架構起該章節內容的知識體系,將原有的知識內容與新知識進行融合,讓學生感悟新概念產生的必要性,同化新概念.使抽象的形象化、形象的具體化、復雜的簡明化,建立新概念與原有知識的聯系,促進知識的正向遷移；并用有效的方法降低學生在新概念理解上的難度,使學生能對概念系統化、概括化.在此過程中教師也應當注意以下幾個方面.

3.1加強對數學概念的總體分析

數學概念是每節新課的重點內容,如何引出概念是教師課堂上要重點關注的.數學概念是數學情景中對問題的衍生,是學生所遇問題的一次新的探索.開篇語中往往會將本節課、本章節的知識點進行高度概括,教師應該從高角度去分析這些概念,幫助學生搭好知識體系的框架.當然在具體解讀各個數學知識點概念的時候,教師必須抓住概念中的關鍵詞句進行解剖分析,揭示每一個詞、句、符號、式子的內在含義,使學生深刻理解概念的本質屬性.

數學概念的用語、用詞一般都非常嚴密、精煉,具有高度的概括性,概括總結新知識時,教師可以先讓學生用熟悉的語言表述,然后再規范嚴謹地去幫學生修正，提煉出精準的概念表述,長期訓練也會大大增強學生的數學語言表達能力,真正將學生所要具備的核心素養落到實處.

3.2注意概念的對比和直觀化

高中數學的概念形成有時也是對初中概念的衍生,當初中的知識與現有的現象發生矛盾的時候,務必要將原有的知識進行擴充才能更準確的解釋生活中的現象.這樣的對比也能更好地促進學生的學習熱情.

數學中有許多概念是平行相關的,如果能將它們有機地聯系在一起進行類比,就可以得到由此及彼、溫故而知新的效果.有些數學概念之間聯系緊密、差別較小、形式相似,容易被學生混淆.對這些概念,要讓學生比較它們的內涵和外延,在比較中加以鑒別,澄清模糊.數學教材一般都是從正面闡述概念,這容易使學生形成思維定式,妨礙對概念的深刻理解.因此,教師應注意引導學生從正反兩方面去認識概念.比如,可以利用若干反例,讓學生從反面去認識概念的內涵和外延.

如在復數概念的教學中,可以通過設計相應問題串的形式讓學生加深對復數的理解:①復數作為“數”與實數的區別；②復數具有二元數的特性,是否可以和點的坐標、向量相關內容進行串聯；③復數與坐標點及向量有聯系,那復數又會有哪些運算性質.通過這些問題串的設計,學生自然會將復數的概念與原有知識體系中的實數、解析幾何、向量等內容聯系形成新的知識網絡.

3.3幫助學生形成知識體系

數學概念教學過程中,不僅僅只是單一知識點的學習,教師要幫助學生去揭示新概念與舊知識間的聯系.通過以舊帶新加深對知識內容的理解,過程中促進學生綜合應用能力的提升,很多時候學生在處理綜合問題時感到困難重重,就是因為不能串聯知識,不能把握問題的本質內容.面對本節課所要教授的概念,教師可以引導學生通過圖表、思維導圖等方式構建知識網絡，厘清它們的區別與聯系,讓學生既從橫向又在縱向上加深對新概念的理解.整個章節起始課中，教師的主要任務是優化單元教學的局部設計,同時厘清知識點間的關系.學生的任務則是把攝取和理解的概念印入頭腦中,以便在需要時能及時地提取出來加以運用,最終達到構建起良好的整體認知結構的目的.

4.結束語

章節起始課不僅是知識的開端,它還有著承上啟下的作用,教師應該以它為抓手更好地滲透數學思想和數學素養.通過深度解讀這部分內容引導學生對知識的深加工,挖掘問題的本質,引發對知識的深度思考,增強其自身的思維能力,從簡單的知識學習走向思維能力的發展.