陀螺定向中子午線收斂角的計算方法

中鐵一局集團天津建設工程有限公司，天津 300000

1 子午線收斂角的概念

以真子午線為參考，坐標系縱軸X北端在其東側時，子午線收斂角為正，反之則為負。地面上的點緯度B和中央子午線的距離經差ΔL決定了子午線收斂角的大小，計算其角值可以用如下近似計算公式：

在一個投影帶內，高斯平面子午線收斂角的變化遵循一定規律。距離中央子午線越遠，收斂角越大，在中央子午線上收斂角等于零；距離赤道線越遠，收斂角越大，在赤道線上收斂角等于零。

2 坐標方位角的換算

陀螺儀北方向與真北方向間存在角度偏差，角度的偏差值就是陀螺儀的儀器常數，偏東為正、偏西為負。坐標北方向與真北方向間的角度偏差就是子午線收斂角，相對真北方向，坐標方位角偏東為正、偏西為負。陀螺北、真北、坐標北方向關系如圖1所示。陀螺北、真北、坐標北方向之間的角度關系可用如下公式表示：

圖1 陀螺北、真北、坐標北方向關系示意圖

式中：A為真北方位角；Δ為儀器常數；γ為子午線收斂角。

由此可知計算子午線收斂角γ是推算坐標方位角的第一步，其計算精度直接影響陀螺推算坐標方位角的精度。

3 子午線收斂角的計算

子午線收斂角如圖2所示，以真子午線為準，是真子午線與坐標縱線之間的夾角。坐標縱線東偏為正，西偏為負。

圖2 子午線收斂角概述圖

赫里斯托夫給出的展至第7次項的計算公式：

式中：t=tanB；η=e′×cos2B，e′為第二偏心率；B為緯度；L為經差。

《控制測量學》中展至第5次項的計算公式：

式中：t=tanB；η=e′×cos2B，e′為第二偏心率；B為緯度；L為經差。

《測量學》中的近似公式：

式中：γ為子午線收斂角；B為緯度；L為經差。

《工程測量學》中的近似公式：

式中：y為測站點的橫坐標；N為卯酉圈曲率半徑，；e為第一偏心率。

在工程測量中，常用子午線收斂角的計算公式如下：

式中：γ子午線收斂角，′；y為點的橫坐標，km；K為系數。以縱坐標X（以km計）為引數，由子午線收斂角系數K值表中查取，子午線收斂角系數K值表如表1所示。

表1 子午線收斂角系數K值表

4 工程計算實例

以成都軌道交通17號線（一期）工程盾構區間為例，平面坐標系統采用工程坐標系統，WGS84橢球，中央子午線為104°04′，投影面為490m（成都高程）。大地坐標系WGS-84橢球參數：長半徑a=6378137；短半徑b=6356752.3142；扁率α=1/298.2572236；第一偏心率e=0.0818191908425523；第二偏心率e′=0.0820944379493946。根據橢球參數可知已知點數據，已知點列表如表2所示。利用各公式計算洞外已知點D1718和洞內檢測已知點C1146的子午線收斂角，計算結果如表3所示。分別使用公式（5）和公式（7）所計算的子午線收斂角來計算陀螺儀儀器常數和陀螺推算方位角，結果如表4、表5所示。

表2 已知點列表

表3 子午線收斂角計算結果

表4 陀螺儀儀器常數計算表

表5 陀螺推算方位角與平面坐標方位角差值表

5 結論

計算結果表明，在成都軌道交通7號線（一期）工程施工中，利用已知點數據計算子午線收斂角采用公式（5）計算的結果精度能達到0.001″，采用公式（7）計算的結果精度達到2″，計算坐標方位角精度均在0.1″級，根據項目施工已知點數據采用公式（5）和公式（7）均可保證足夠的計算精度。陀螺定向為隧道內平面控制網聯測和開挖方向的正確性提供了檢測復核依據，陀螺定向適用于地下工程定向測量，同時為今后的施工提供了指導。