仿生氣動肌纖維靜態特性建模與實驗研究

雷靜桃, 張悅文, 戴臻豪, 徐子力

(上海大學 機電工程與自動化學院， 上海 200444)

氣動人工肌肉因其與生物肌肉具有相似的柔順性和收縮特性，被廣泛應用于可穿戴機器人和仿生機器人.目前，德國FESTO 公司的DMSP/MAS型氣動肌肉及日本Bridgestone公司的McKibben型氣動肌肉是較為典型的氣動人工肌肉，這類氣動人工肌肉的直徑范圍為10～40 mm，兩端是有一定長度的剛性防漏氣接頭元件[1]，主要用于工業柔性機器人、外骨骼機器人、醫用康復機器人及中型仿生機器人驅動系統.Kurumaya等[2]研制出一種結構更緊湊且輕量化的細徑氣動肌纖維(PMF)，由彈性橡膠內管和外編織套管構成.當向氣動肌纖維內通入一定氣體時，橡膠內管在氣壓的作用下發生變形，引起外編織套管的徑向膨脹與軸向縮短，進而使得氣動肌纖維收縮并產生收縮力.氣動肌纖維具有柔性好、功耗小、響應迅速、驅動能量密度高等特點，驅動力可達27～29 N[3].氣動肌纖維束(PMFB)可模仿二頭肌、三角肌、扁平肌等，實現類生物肌肉的形狀或功能[4]，在微小型仿生機器人、微小型醫用機器人、精密醫療等領域有很好的應用前景.

氣動肌纖維的靜態特性與相應的參數建模方法研究是實現其控制與應用的基礎.國內外將氣動肌纖維的靜態特性數學模型劃分為幾何模型、現象模型、實驗模型[5]三大類.2011年，比利時魯汶大學將氣動肌纖維用于驅動微型手術器械，并基于Colbrunn現象模型，考慮了橡膠內管的彈性變形以及橡膠內管與外編織套管之間的摩擦力，引入最小驅動力、長度損耗、氣壓損耗、橡膠內管彈性應變等附加參數，建立氣動肌纖維靜態特性改進模型[6].該模型的計算值與仿真值、實際測量值均具有良好的一致性.由于長度損耗、氣壓損耗等附加參數的具體數值不易確定，該模型難以具體應用.2014年，日本東京工業大學將氣動肌纖維用于驅動肌肉骨骼機器人[4]及仿生六足機器人[7]，氣動肌纖維的靜態特性采用Schulte幾何模型[8].由于沒有考慮橡膠內管的初始硬度和外編織套管與橡膠內管間的摩擦力，由Schulte模型獲得的理論值與實際測量值相差較大，Schulte模型的最大收縮力約為7 N，而實際測量值可達13 N左右[2].2016年，日本東京工業大學采用Kagawa實驗模型[9]計算氣動肌纖維靜態特性，并根據測量收縮力和收縮率的實驗結果，通過最小二乘法擬合確定實驗模型中的待定系數.Kagawa實驗模型的計算值與實際測量值吻合得較好.2016年，為確定氣動肌纖維束的收縮力，Kurumaya等[2]提出一種菱形模型，即氣動肌纖維束充氣向外呈放射狀擴張，假設肌纖維束在二維平面上呈菱形，且氣動肌纖維排列無間隙.由該菱形模型計算的收縮力及收縮率與氣動肌纖維束的實際測量值較為一致.但菱形模型的收縮力會逐漸大于實際測量值，菱形模型的收縮率會逐漸小于實際測量值，且偏離程度會隨著氣壓的增大而增大.總結目前國內外氣動肌纖維靜態特性的數學建模，由于忽略了端部變形、橡膠內管的初始硬度及外編織套管與橡膠內管間的摩擦作用，簡單的幾何模型和現象模型難以準確描述氣動肌纖維的靜態特性.基于幾何模型或現象模型的改進模型雖能提高模型精度，但因引入了一些難以量化的參數增加了模型的復雜程度.實驗模型利用實驗數據擬合氣動肌纖維的收縮力、收縮率與其內部氣壓之間的函數關系，可建立精度較高、表達式較簡單的數學模型.為了更好地描述氣動肌纖維的靜態特性且便于控制器的設計與編程，建立氣動肌纖維靜態特性數學模型應基于工程實用化，在靜態特性的精確程度與模型表達式的復雜程度之間找到一個合理的平衡點.

本文綜合考慮氣動肌纖維的端部變形、外編織套管纖維間的摩擦力、外套管與橡膠內管間的摩擦力、死區氣壓等對其靜態特性的影響，開展氣動肌纖維靜態特性建模研究，提出一種氣動肌纖維靜態特性數學模型.該模型結合了幾何模型與實驗模型的優點，一方面基于幾何約束，利用參數間的幾何關系建立模型，另一方面利用實驗數據擬合待定系數，解決氣動肌纖維某些內部結構參數數值難以準確獲取的問題.開展氣動肌纖維等長實驗、等張實驗和等壓實驗，對比分析不同規格參數的氣動肌纖維的靜態特性，結合實驗數據辨識出符合實際情況的氣動肌纖維靜態特性數學模型，并通過與實際測量值的對比驗證所提模型的合理性.

1 氣動肌纖維靜態特性數學模型

所制作的氣動肌纖維實物如圖1所示，其結構參數如表1所示.

當氣動肌纖維初始充氣時，部分氣體產生的壓力用于抵消橡膠內管的初始硬度以及外編織套管與橡膠內管之間的間隙，氣動肌纖維將不會收縮，也不會產生收縮力，用于抵消的這部分氣壓稱為死區氣壓pd[10](結合實驗結果，此處取pd=0.03 MPa)，氣動肌纖維的有效氣壓pe為

圖1 PMF實物圖Fig.1 Picture of PMF

表1 PMF的結構參數Tab.1 Structural parameters of PMF

pe=p-pd

(1)

式中：p為輸入氣壓.

氣動肌纖維的充氣狀態及幾何參數關系分別如圖2和3所示.其中；α0，r0，l0分別為氣動肌纖維的初始編織角、初始半徑、初始長度；α，r，l分別為氣動肌纖維的工作編織角、工作半徑、工作長度；N為外編織套管編織纖維纏繞圈數；lb為外編織套管編織纖維長度，由于編織纖維無彈性，lb保持恒定不變.計算氣動肌肉或氣動肌纖維的收縮力時，工作半徑r通常取肌肉或肌纖維外編織套管的半徑.由于McKibben型氣動肌肉的管壁較厚，通常達到3 mm以上，所以肌肉壁厚對其收縮力的影響不能忽略，國內外關于氣動肌肉的建模中也考慮了壁厚的影響[11].本文所分析的氣動肌纖維的橡膠內管壁厚初始值僅為0.36 mm，編織纖維直徑僅為0.16 mm，當輸入氣壓突破死區氣壓時，橡膠內管的壁厚因肌纖維膨脹減小至不到0.10 mm.進行收縮力計算時，壁厚對收縮力的影響較小，故本文不考慮肌纖維壁厚對收縮力的影響.

圖2 PMF的充氣狀態示意圖Fig.2 Diagram of inflation status of PMF

圖3 PMF的幾何參數關系示意圖Fig.3 Diagram of geometric parameters of PMF

當p>pd時，氣動肌纖維的有效輸入功Win可表示為

dWin=pedV

(2)

式中：V為氣動肌纖維的理想膨脹體積.理想狀態下，氣動肌纖維的輸出功Wout可表示為

dWout=-Fdl

(3)

式中：F為氣動肌纖維的收縮力.由能量守恒定律建立氣動肌纖維理想靜態特性數學模型[12-13]，則有：

由幾何關系計算可得：

(6)

由于端部約束，氣動肌纖維的實際膨脹體積小于理想膨脹體積，導致收縮力小于理想值.放大端部約束部分，橡膠內管膨脹與外編織套管圓柱體部分相切，如圖4所示.

圖4 PMF端部變形示意圖Fig.4 Diagram of end deformation of PMF

圖5 端部變形幾何關系示意圖Fig.5 Diagram of geometry of end deformation

氣動肌纖維端部變形幾何關系如圖5所示.其中：rs為氣動肌纖維實際膨脹情況下橡膠內管與外編織套管相切圓弧的半徑，與其他幾何參數的關系可表示為

rssinα=(r-r0)/(2sinα)

(7)

由氣動肌纖維端部變形的幾何關系，可計算理想圓柱形端部體積VL(兩個端部)，則有

(8)

實際端部體積Vs可表示為

(9)

由式(5)、(7)～(9)可得

(10)

(11)

氣動肌纖維充氣過程中所產生的摩擦力主要包括外編織套管纖維間的摩擦力以及外套管與橡膠內管間的摩擦力.當輸入氣壓較小時，橡膠內管尚未完全膨脹，與外套管間的接觸面積較少，此時摩擦力以外編織套管纖維間的摩擦力為主.隨著氣壓的增大，外套管工作編織角逐漸增大，纖維間的摩擦力逐漸減小，該特性與e指數函數的線性相似[14]，引入修正系數qpe，當輸入氣壓達到一定程度時(結合實驗結果，以有效氣壓0.20 MPa為界)，橡膠內管完全膨脹，外套管工作編織角增大，纖維間接觸較少，此時摩擦力以外套管與橡膠內管間的摩擦力為主，引入修正系數kε.

式中：aε，bε，cε為待定系數，可通過最小二乘法擬合確定.

(14)

式中：a1～a3，b1～b3，c1～c3為待定系數，可通過最小二乘法擬合確定.

綜上，考慮氣動肌纖維的端部變形，外編織套管纖維間的摩擦力，外套管與橡膠內管間的摩擦力以及死區氣壓，氣動肌纖維靜態特性數學模型為

F(pe,ε)=

(15)

pe<0.20 MPa

F(pe,ε)=

(16)

pe≥0.20 MPa

2 氣動肌纖維靜態特性實驗

2.1 氣動肌纖維制作

將單根氣動肌纖維及氣動肌纖維束的一端固定在帶有進氣口的密封帽內，另一端通過繩結密封，兩端均粘結由Dyneema纖維制的肌腱，制作單根肌纖維(SPMF)及肌纖維束如圖6所示，其規格參數如表2所示，其中n為肌纖維數量.

圖6 SPMF與PMFB示意圖Fig.6 Diagram of SPMF and PMFB

表2 SPMF與PMFB規格參數Tab.2 Specifications of SPMF and PMFB

2.2 實驗系統

實驗系統如圖7所示，實驗平臺如圖8所示.所使用的硬件主要有單根肌纖維及肌纖維束、高精密x軸位移臺、運動控制器、力傳感器、比例閥、空氣壓縮機及PC上位機.由運動控制器控制位移臺沿軸向移動，改變氣動肌纖維的工作長度進而間接改變氣動肌纖維的收縮率，由電氣比例閥控制氣動肌纖維的輸入氣壓，由力傳感器測量氣動肌纖維的收縮力.利用該實驗平臺，開展氣動肌纖維靜態特性等長實驗、等張實驗和等壓實驗.

圖7 實驗系統圖Fig.7 Diagram of experimental system

圖8 實驗平臺Fig.8 Experimental platform

2.3 等長實驗

保持單根肌纖維的收縮率為0，即保持單根肌纖維的初始長度不變，輸入氣壓以0～0.50 MPa遞增，分別測量初始長度為120、200、300 mm時，F隨p的變化曲線，如圖9所示.

由于橡膠內管的初始硬度及外編織套管與橡膠內管之間的摩擦，氣動肌纖維和生物肌肉一樣具有一定的遲滯特性[15]， 經過多次實驗，氣動肌纖維的遲滯特性趨于穩定.

保持肌纖維束的收縮率為0，即保持肌纖維束的初始長度不變，輸入氣壓以0～0.35 MPa遞增，測量初始長度為120 mm的肌纖維束(肌纖維數分別為6、8、10)的收縮力FB隨p的變化曲線，如圖10所示.

圖9 不同初始長度下，SPMF的F隨p的變化Fig.9 F of SPMF versus p at different initial lengths

圖10 不同肌纖維數下，FB隨p的變化Fig.10 FB versus p at different numbers of muscle fibers

由圖9～10可以看出，氣動肌纖維束的收縮力不是簡單的線性疊加.由于氣動肌纖維的徑向膨脹受限以及氣動肌纖維外套管間的摩擦力，氣動肌纖維束的收縮力除了與氣壓、收縮率有關之外，還與肌纖維數存在一定的非線性關系.

2.4 等張實驗

保持單根肌纖維與肌纖維束的收縮力為0，輸入氣壓以0～0.30 MPa遞增，分別測量初始長度為120 mm的單根肌纖維、初始長度為120 mm的肌纖維數分別為6、8、10的肌纖維束的ε隨p的變化曲線，如圖11所示.

圖11 不同肌纖維數的PMFB及SPMF的ε隨p的變化Fig.11 ε of different numbers of PMFB and SPMF versus p

由圖11可以看出，氣動肌纖維間的摩擦導致橡膠內管的溫度升高、硬度降低，肌纖維束的收縮率在一定氣壓范圍內略大于單根肌纖維的收縮率，但氣動肌纖維收縮到一定程度后就不能再收縮了，最大收縮率取決于其結構參數，如外套管的初始編織角、橡膠內管的彈性模量等，實驗用氣動肌纖維的最大收縮率約為29%.

2.5 等壓實驗

保持輸入氣壓不變，分別測得不同氣壓下的單根肌纖維及肌纖維束的等壓特性曲線，記錄大量實驗數據，用于辨識氣動肌纖維靜態特性數學模型.電氣比例閥控制輸入氣壓，運動控制器控制高精密位移臺實現氣動肌纖維的拉伸與收縮，以間接改變氣動肌纖維的收縮率.設定氣動肌纖維的勻速拉伸/收縮速度為0.2 mm/s，即每5 s拉伸/收縮1 mm，待收縮力保持穩定后采集氣動肌纖維的收縮力.

初始長度為120 mm的單根肌纖維，輸入氣壓p的取值范圍為0.05～0.30 MPa，氣壓變化增量Δp為0.05 MPa，實驗測得的6組等壓特性曲線如圖12所示.

圖12 初始長度為120 mm的SPMF等壓特性曲線Fig.12 Isobaric characteristic curves of SPMF at an initial length of 120 mm

實驗中發現，由于氣動肌纖維的阻尼特性，當以一定的速度對氣動肌纖維進行充氣時，氣動肌纖維會產生一定的附加力，穩定一段時間后附加力消失.氣動肌纖維的阻尼特性在實際應用中能起到吸收能量和緩沖減震的作用.

初始長度為120 mm，肌纖維數為6、8、10的肌纖維束，p的取值范圍為0.05～0.30 MPa，Δp為0.05 MPa，實驗測得的18組等壓特性曲線如圖13～15所示.

圖13 120 mm×6 PMFB的等壓特性曲線Fig.13 Isobaric characteristic curves of 120 mm×6 PMFB

圖14 120 mm×8 PMFB的等壓特性曲線Fig.14 Isobaric characteristic curves of 120 mm×8 PMFB

圖15 120 mm×10 PMFB的等壓特性曲線Fig.15 Isobaric characteristic curves of 120 mm×10 PMFB

由圖13～15可以看出，每組等壓曲線中氣動肌纖維束的收縮力隨收縮率的增大而減小，近似于彈簧的剛度特性.然而彈簧的剛度通常是恒定的，取決于其材料特性和幾何結構[16]，而氣動肌纖維束的剛度是一個可變參數，除了上述因素還與pe和n有關.在氣動肌纖維束的材料、幾何結構確定的情況下，其可變剛度特性可以描述為

(17)

3 氣動肌纖維靜態特性數學模型識別

3.1 氣動肌纖維靜態特性數學模型識別

氣動肌纖維靜態特性數學模型如式(15)～(16)所示.當pe<0.20 MPa時，采用MATLAB數據擬合工具箱cftool對每組數千個等壓實驗數據進行擬合，最終確定待定系數aε=4.716，bε=-2.728，cε=-0.779.

當氣動肌纖維內的pe≥0.20 MPa時，首先對不同氣壓的等壓曲線分別進行擬合，以得到k(ε)與ε的映射關系；在此基礎上，再對α(pe)，β(pe)，γ(pe)的相關系數進行擬合，擬合結果為a1=5.547，b1=-2.470，c1=2 329，a2=-3.971，b2=1.764，c2=-0.198，a3=-5.548，b3=2.471，c3=-2 329，進而獲得完整的氣動肌纖維靜態特性數學模型.

3.2 氣動肌纖維束靜態特性數學模型識別

基于上述分析，氣動肌纖維束的收縮力FB除了與pe和ε相關之外，還與n成非線性關系.將相同氣壓(0.30 MPa)、相同初始長度(120 mm)，肌纖維數分別為6、8、10的肌纖維束的等壓特性曲線進行對比，如圖16所示.

圖16 在初始長度和氣壓相同的情況下，不同肌纖維數的PMFB的等壓特性曲線Fig.16 Isobaric characteristic curves of PMFB with different numbers of muscle fibers at the same air pressure and initial length

根據FB與n的非線性關系，提出一種氣動肌纖維束靜態特性數學模型，可表示為

FB(n)=τF2+φF+ω

(18)

τ=d1n2+e1n+f1

φ=d2n2+e2n+f2

ω=d3n2+e3n+f3

式中：τ，φ，ω，d1～d3，e1～e3，f1～f3均為多項式待定系數，采用最小二乘法可確定其具體數值.此處取值如下：

p=0.30 MPa，pe=0.27 MPa，F=F(0.27,ε)

采用MATLAB數據擬合工具箱cftool對每組數千個氣動肌纖維束等壓實驗數據進行擬合，擬合過程分為兩個步驟.

(1) 對不同n的等壓曲線分別進行擬合，獲得FB與F的映射關系為FB=FB(F),擬合結果如表3所示.

(2) 在(1)的基礎上，針對τ，φ，ω的相關系數對n進行擬合，擬合結果如表4所示.

表3 不同肌纖維數下的多項式系數擬合結果

表4 τ，φ，ω的相關系數擬合結果

因此，氣動肌纖維束的靜態特性數學模型可表示為

FB(n)=

(0.009 2n2-0.185 4n+0.639 5)F2+

(-0.191n2+4.418n-12.54)F+

(-0.273 1n2+4.651n-17.49)

(19)

4 模型計算值與實驗值對比

將氣動肌纖維模型的計算值與目前國內外大多采用的Schulte模型的計算值、等壓實驗測量值進行對比，如圖17所示.

圖17 PMF模型計算值與Schulte模型計算值及等壓實驗測量值對比Fig.17 Comparison of calculated values of PFM model and Schulte model and measured values of isobaric experiment

由圖17可知，與Schulte經典模型對比，所建立的氣動肌纖維模型綜合考慮氣動肌纖維的端部變形、外編織套管纖維間的摩擦力、外套管與橡膠內管間的摩擦力以及死區氣壓等因素對氣動肌纖維靜態特性的影響，可看出該模型計算值與實驗值具有較好的一致性.

將輸入氣壓為0.30 MPa，初始長度為120 mm，肌纖維數分別為6、8、10的氣動肌纖維束模型與實驗值對比，如圖18所示.由圖18可知，兩者吻合度較高.

圖18 初始長度相同，肌纖維數不同的PMFB模型計算值與實驗測量值對比Fig.18 Comparison of calculated values and measured values of PMFB model at different numbers of muscle fibers and the same initial length

5 結語

本文綜合考慮氣動肌纖維的端部變形、外編織套管纖維間的摩擦力、外套管與橡膠內管間的摩擦力以及死區氣壓等對氣動肌纖維靜態特性的影響，提出的氣動肌纖維靜態特性數學模型彌補了幾何模型、實驗模型的不足.一方面基于幾何約束，利用參數間的幾何關系建立數學模型，另一方面利用實驗數據擬合待定系數，解決了氣動肌纖維某些內部結構參數的數值難以準確獲取的問題.開展氣動肌纖維靜態特性等長實驗、等張實驗、等壓實驗研究，對比分析不同結構參數的氣動肌纖維的靜態特性.由大量實驗數據辨識獲得符合實際情況的氣動肌纖維靜態特性數學模型，與實驗值對比驗證了該氣動肌纖維靜態特性數學模型的合理性.