Jaynes-Cummings晶格模型和Rabi晶格模型的量子相變*

尤冰凌 劉雪瑩 成書(shū)杰 王晨 高先龍

(浙江師范大學(xué)物理系, 金華 321004)

采用平均場(chǎng)近似的方法, 分別研究了Jaynes-Cummings晶格模型和Rabi晶格模型的量子相變: Mott絕緣體相-超流體相量子相變, 探索了光的聚束-反聚束行為, 研究了Kerr非線(xiàn)性作用對(duì)量子相變與光子統(tǒng)計(jì)特征的影響.研究結(jié)果表明, 在Rabi晶格模型中二能級(jí)原子和光子相互作用強(qiáng)度g和格點(diǎn)之間光子躍遷強(qiáng)度J的增大會(huì)使晶格體系從Mott絕緣體相向超流體相轉(zhuǎn)變, 同時(shí), 光子統(tǒng)計(jì)行為由聚束轉(zhuǎn)變?yōu)榉淳凼? 而Kerr非線(xiàn)性強(qiáng)度的增大抑制了Mott絕緣體相-超流體相相變, 但促進(jìn)了光子聚束與反聚束之間的轉(zhuǎn)變.

1 引 言

光與物質(zhì)之間的作用是自然界中最基本的相互作用過(guò)程之一, 是理解多種物理現(xiàn)象的基礎(chǔ).Jaynes-Cummings (JC)模型和Rabi模型是描述二能級(jí)系統(tǒng)與光場(chǎng)相互作用的核心模型.隨著科技的發(fā)展, 人們對(duì)原子和固態(tài)系統(tǒng)與光相互作用的控制水平不斷提高, 在光晶格系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)了一系列新的量子物質(zhì)的多體效應(yīng)[1?12].在這些系統(tǒng)中, 光和物質(zhì)之間的相互作用有著非常重要的作用, 例如由單模的電磁諧振器和二能級(jí)系統(tǒng)相互作用形成的基本腔量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng).原子與光子之間的耦合會(huì)導(dǎo)致有效的非線(xiàn)性光子-光子排斥.Birnbaum等[13]研究表明這種光子排斥會(huì)阻止一個(gè)以上的光子進(jìn)入空腔.光子阻塞效應(yīng)[14?16]與腔內(nèi)光子隧穿之間的相互作用導(dǎo)致腔量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)耦合形成晶格, 形成大型的Bose-Hubbard模型[17].最近, 有研究者提出了一種光晶格中存在JC模型且腔之間存在光子躍遷項(xiàng)的模型[1,8,18], 稱(chēng)之為JC晶格模型,它描述了原子-光子之間的強(qiáng)耦合與腔間光子躍遷的競(jìng)爭(zhēng).已經(jīng)有一些文章使用JC晶格模型研究從Mott絕緣體相到超流體相的量子相圖[19,20]問(wèn)題.同樣, 也可以在Rabi晶格模型中進(jìn)行相應(yīng)的研究.

近幾年, 平均場(chǎng)近似[2,6]為從Mott絕緣體相到超流體相的相變研究提供了方法, 這與Bose-Hubbard模型[21]中的研究類(lèi)似.與蒙特卡羅方法[22,23]相比, 平均場(chǎng)近似可以定性地描述大的系統(tǒng)[24?26], 同時(shí), 平均場(chǎng)近似的方法已經(jīng)擴(kuò)展到偶極玻色子[27]和玻色子-費(fèi)米子原子混合系統(tǒng)[28?32], 以及激子-極化子凝聚[33]等眾多領(lǐng)域.由于可以在光晶格中觀(guān)察到非線(xiàn)性光學(xué)效應(yīng)[34,35], 且這種效應(yīng)具有產(chǎn)生糾纏態(tài)的可能, 因此這種效應(yīng)引起了人們的極大興趣, 特別是在量子信息領(lǐng)域[36,37].有一些實(shí)驗(yàn)已經(jīng)對(duì)涉及Kerr效應(yīng)的JC模型的特性進(jìn)行了研究.特別是探索了由外部激光源驅(qū)動(dòng)非線(xiàn)性腔發(fā)出光子的統(tǒng)計(jì)特性[38?40].與此同時(shí), 控制Kerr非線(xiàn)性的方法也已經(jīng)得到了解決[41?43], 因此進(jìn)一步研究Kerr非線(xiàn)性對(duì)Rabi晶格模型的影響具有重要的理論意義.

本文采用平均場(chǎng)近似的方法, 研究了JC晶格模型和Rabi晶格模型中Mott絕緣體相到超流體相的量子相圖, 以及從聚束到反聚束的轉(zhuǎn)變行為.并在此基礎(chǔ)上考慮Kerr非線(xiàn)性項(xiàng), 分析Kerr效應(yīng)對(duì)JC晶格模型和Rabi晶格模型中光量子相變與統(tǒng)計(jì)特征的影響.

2 模 型

Rabi模型描述了一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)和光場(chǎng)之間的基本相互作用,

這里,ω0是光場(chǎng)的頻率,ω1是二能級(jí)原子的能級(jí)差,g是光子與二能級(jí)原子的耦合強(qiáng)度,a?(a) 為光子的產(chǎn)生(湮滅)算符,σz是二能級(jí)原子的泡利矩陣,σ±是泡利矩陣的升降算符.

Rabi模型的相互作用項(xiàng) (a?+a)(σ?+σ+) 可以寫(xiě)成旋波項(xiàng)a?σ?+aσ+和反旋波項(xiàng)aσ?+a?σ+之和, 其中a?σ?表示釋放一個(gè)光子的同時(shí)二能級(jí)原子從激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài),aσ+表示吸收一個(gè)光子的同時(shí)二能級(jí)原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài),aσ?表示吸收一個(gè)光子的同時(shí)二能級(jí)原子從激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài),a?σ+表示釋放一個(gè)光子的同時(shí)二能級(jí)原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài).在光場(chǎng)頻率和原子頻率近共振、弱耦合的近似條件下, 反旋波項(xiàng)隨時(shí)間演化會(huì)迅速衰減到零, 可以被忽略, 即在旋波近似下,(1)式變?yōu)?/p>

即為JC模型.

如果考慮在晶格中每個(gè)格點(diǎn)上都有一個(gè)Rabi模型, 則得到Rabi晶格模型, 其哈密頓量為

在這里, 第一項(xiàng)是格點(diǎn)與格點(diǎn)之間的光子躍遷項(xiàng),J是任意兩格點(diǎn)的躍遷能量.

如果考慮在晶格中每個(gè)格點(diǎn)上的Rabi模型都有Kerr非線(xiàn)性項(xiàng), 哈密頓量則為

這里的κ是Kerr非線(xiàn)性強(qiáng)度,代表第i個(gè)格點(diǎn)上的Rabi模型的哈密頓量.

3 平均場(chǎng)理論方法

Greentree等[2]已經(jīng)用平均場(chǎng)理論討論過(guò)JC晶格模型, 他們揭示了從極化子的超流體相到Mott絕緣相的二階相變.這里用同樣的方法研究Rabi晶格模型.

引入一個(gè)超流序參量

來(lái)描述從Mott絕緣體相到超流體相的相變,表示對(duì)物理量求基態(tài)的期望值, 將躍遷項(xiàng)中的代換為代換為

在一維晶格鏈中, 一個(gè)格點(diǎn)可以向相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)躍遷, 所以, 有效哈密頓量可以寫(xiě)成:

考慮矩陣直和, 有效哈密頓量可以分解為Heff=其中, 第i個(gè)格點(diǎn)的有效哈密頓分量為

如果考慮Kerr非線(xiàn)性項(xiàng), 則有效哈密頓量為

這里的κ是Kerr非線(xiàn)性強(qiáng)度.

由此, 可以根據(jù)有效哈密頓量寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的哈密頓量矩陣, 從而數(shù)值計(jì)算出相圖.

4 數(shù)值結(jié)果及討論

光的量子相變是指當(dāng)控制光子之間的有效相互作用的參數(shù)發(fā)生變化時(shí), 腔中光子的量子態(tài)發(fā)生質(zhì)的改變, 所以本文將通過(guò)不同的物理變量來(lái)觀(guān)察光的量子相變.在數(shù)值計(jì)算上主要采用迭代法求得超流序參量.先為A設(shè)定一個(gè)初始值, 得到一個(gè)有效哈密頓量, 通過(guò)求解相應(yīng)的薛定諤方程求出定態(tài)波函數(shù), 并由此計(jì)算得出下一個(gè), 如此迭代直到得到一個(gè)收斂的A值.利用超流序參量、腔內(nèi)光子數(shù)的基態(tài)期望值和二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g2(0) 就可以描述Rabi晶格模型的量子相變.

圖1 (a), (b)平均場(chǎng)近似下, 不同晶格模型關(guān)于超流序參量 的 J -g 相圖 (a) JC晶格模型; (b) Rabi 晶格模型.橫坐標(biāo)為格點(diǎn)之間的光子躍遷強(qiáng)度 J , 縱坐標(biāo)為二能級(jí)原子和光子相互作用強(qiáng)度 g , 橫縱坐標(biāo)的單位為 ω 0 , 顏色條表示超流序參量的大小.深藍(lán)色表示Mott絕緣相, 淺黃色表示超流體相.其他參量取值為: ω 0=ω1=1 , 光子截?cái)鄶?shù) N =20.(c), (d)對(duì)于不同的 J , 不同晶格模型的超流序參量 A 隨 g 變化的圖像 (c) JC晶格模型; (d) Rabi晶格模型Fig.1.(a), (b) Under the mean field approximation, the J -g phase diagram of different lattice models with respect to the superfluid order parameter : (a) JC lattice model; (b) Rabi lattice model.The abscissa is the photon transition intensity J between the lattice, the ordinate is the two-level atom and photon interaction strength g , the unit of the abscissa and the ordinate is ω 0 ,and the color bar represents the value of the superfluid order parameter .Dark blue indicates Mott insulating phase, and light yellow indicates superfluid phase.Other parameters are taken as ω 0=ω1=1 , and the number of the photon truncation N=20.(c), (d) For different J , the superfluid order parameter A of different lattice models varies with g : (c) JC lattice model;(d) Rabi lattice model.

首先研究?jī)煞N晶格模型基態(tài)下的光量子相變行為.圖1(a)和圖1(b)分別給出了JC晶格模型和Rabi晶格模型的J-g相圖, 即Mott絕緣體相-超流體相轉(zhuǎn)變的相圖, 其中g(shù)為二能級(jí)原子和光子之間的相互作用強(qiáng)度,J為格點(diǎn)之間的光子躍遷強(qiáng)度.圖中深藍(lán)色區(qū)域A=0 , 表示Mott絕緣體相,而A>0 的區(qū)域?yàn)槌黧w相.根據(jù)哈密頓量, JC晶格模型相圖(圖1(a))中特殊的平臺(tái)型圖像(深藍(lán)色區(qū)域)對(duì)應(yīng)著不同的單格點(diǎn)內(nèi)的總激發(fā)數(shù), 并且此時(shí)的超流序參數(shù)A=0.而在Rabi晶格模型中,由于考慮了反旋轉(zhuǎn)波項(xiàng), 平均場(chǎng)近似后的單格點(diǎn)約化系統(tǒng)的總激發(fā)數(shù)即使在Mott相中也不再守恒.因此, 為了更加直觀(guān)地討論J和g對(duì)量子相變的作用, 在圖1(c)和圖1(d)中對(duì)JC晶格模型和Rabi晶格模型的相變進(jìn)行了分析.圖1(c)為對(duì)于不同的J,JC晶格模型的超流序參量A隨g變化的圖像, 在J很小時(shí), 超流序參量A不會(huì)隨g的增大而增大.但當(dāng)J和g增大達(dá)到一定值時(shí),A會(huì)隨g的增大而增大.圖1(d)為對(duì)于不同的J, Rabi晶格模型的超流序參量A隨g變化的圖像, 可以看出, 當(dāng)g達(dá)到一定值時(shí),A隨g的增大而增大.圖1(c)和圖1(d)說(shuō)明光子躍遷強(qiáng)度J對(duì)超流體相的產(chǎn)生具有促進(jìn)作用.對(duì)于JC晶格模型, 在光子躍遷強(qiáng)度J較大的時(shí)候, 相互作用強(qiáng)度g才會(huì)對(duì)超流體相的產(chǎn)生有一定的促進(jìn)作用; 對(duì)于Rabi晶格模型, 由于反旋波項(xiàng)的存在, 相互作用強(qiáng)度g會(huì)促進(jìn)Mott絕緣相到超流體相的轉(zhuǎn)變.

然后, 研究?jī)深?lèi)晶格體系中的光子統(tǒng)計(jì)行為,利用Glauber[44]于1963年在量子光學(xué)的研究中提出的無(wú)延時(shí)兩光子關(guān)聯(lián)函數(shù):

它表示測(cè)量第一個(gè)光子時(shí)測(cè)量到第二個(gè)光子的相對(duì)概率, 描述了兩個(gè)連續(xù)光子測(cè)量之間的相關(guān)性.在量子光學(xué)中, 光子聚束和反聚束表征了腔內(nèi)光子的兩種可區(qū)分狀態(tài).光子聚束表示更多的光子被檢測(cè)到是相互靠近, 而不是相互遠(yuǎn)離, 所以光子有呈束狀分布的趨勢(shì), 這時(shí)g2(0)>1.光子反聚束表示更多的光子單獨(dú)存在而不是相互靠近, 這時(shí)光子沒(méi)有呈束狀分布的趨勢(shì), 這意味著要檢測(cè)到第二個(gè)光子具有反相關(guān)效果, 即g2(0)<1.對(duì)于相干態(tài), 兩次連續(xù)光子檢測(cè)之間沒(méi)有相關(guān)性, 光子呈隨機(jī)分布, 此時(shí)g2(0)=1.

圖2為二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g2(0) 的J-g相圖,g2(0)隨J及g的增大而增大.黑線(xiàn)為g2(0)=1 ,g2(0)>1對(duì)應(yīng)于光子聚束相,g2(0)<1 對(duì)應(yīng)于光子反聚束相.可以看到, JC晶格模型沒(méi)有光子聚束行為, 一直處于反聚束狀態(tài).而Rabi晶格模型在相互作用強(qiáng)度g較小的時(shí)候處于光子聚束, 隨著g的增大,Rabi晶格模型逐漸從光子聚束到反聚束變化.同時(shí), 隨著光子躍遷強(qiáng)度J的增大, Rabi晶格模型也逐漸從光子聚束到反聚束變化.這說(shuō)明相互作用強(qiáng)度g和光子躍遷強(qiáng)度J都會(huì)影響Rabi晶格模型光子聚束向反聚束的轉(zhuǎn)變, 其性質(zhì)與JC晶格模型有顯著差異.

接下來(lái), 研究Kerr非線(xiàn)性項(xiàng)對(duì)Rabi晶格模型和JC晶格模型的量子相變以及對(duì)聚束和反聚束轉(zhuǎn)變行為的影響.

圖2 平均場(chǎng)近似下, 不同晶格模型關(guān)于二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g 2(0) 的 J -g 相圖 (a) JC晶格模型; (b) Rabi晶格模型.橫坐標(biāo)為格點(diǎn)之間的光子躍遷強(qiáng)度 J , 縱坐標(biāo)為二能級(jí)原子和光子相互作用強(qiáng)度 g , 橫縱坐標(biāo)的單位為 ω 0 , 顏色條表示二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g 2(0) 的值.其他參量取值為: ω 0=ω1=1 , 光子截?cái)鄶?shù)N=20Fig.2.Under the mean field approximation, the J -g phase diagram of different lattice models with respect to the second-order correlation function g 2(0) : (a) JC lattice model; (b) Rabi lattice model.The abscissa is the photon transition intensity J between the lattice, the ordinate is the two-level atom and photon interaction strength g , the unit of the abscissa and the ordinate is ω 0 ,the color bar is represented by the value of the second-order correlation function g 2(0).ω 0=ω1=1 , and the number of photon truncation N =20.

圖3 Kerr效應(yīng)下不同晶格模型關(guān)于超流序參量 的 κ -g 相圖 (a) JC晶格模型; (b) Rabi 晶格模型.橫坐標(biāo)為Kerr非線(xiàn)性強(qiáng)度 κ , 縱坐標(biāo)為二能級(jí)原子和光子相互作用強(qiáng)度 g , 橫縱坐標(biāo)的單位為 ω 0 , 顏色條表示超流序參量 A 的大小.其他參量取值為: ω 0=ω1=1 , J =0.05 , 光子截?cái)鄶?shù)N=20Fig.3.The κ -g phase diagram of different lattice models under the Kerr effect with respect to the superfluid order parameter: (a) JC lattice model; (b) Rabi lattice model.The abscissa is the Kerr nonlinear intensity κ , the ordinate is the two-level atom and photon interaction strength g , the unit of the abscissa and the ordinate is ω 0 , and the color bar represents the value of the superfluid order parameter A.Other parameters are taken as ω 0=ω1=1 , J =0.05 , and the number of photon truncation N=20.

圖4 Kerr效應(yīng)下不同晶格模型關(guān)于二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g 2(0) 的 κ -g 相圖 (a) JC晶格模型; (b) Rabi晶格模型.橫坐標(biāo)為Kerr非線(xiàn)性強(qiáng)度 κ , 縱坐標(biāo)為二能級(jí)原子和光子相互作用強(qiáng)度 g , 橫縱坐標(biāo)的單位為 ω 0 , 顏色條表示二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g 2(0).其他參量取值為: ω 0=ω1=1 , J =0.05 , 光子截?cái)鄶?shù)N=20Fig.4.The κ -g phase diagram of different lattice models under the Kerr effect with respect to the second-order correlation function g 2(0) : (a) JC lattice model; (b) Rabi lattice model.The abscissa is the Kerr nonlinear intensity κ , the ordinate is the twolevel atom and photon interaction strength g , the unit of the abscissa and the ordinate is ω 0 , and the color bar represents the value of second-order correlation function g 2(0).Other parameters are taken as ω 0=ω1=1 , J =0.05 , and the number of photon truncation N =20.

圖3 (a)和圖3(b)分別為JC晶格模型和Rabi晶格模型的Mott絕緣體相-超流體相相圖, 刻畫(huà)了二階關(guān)聯(lián)函數(shù)隨二能級(jí)原子和光子之間的相互作用強(qiáng)度g和Kerr非線(xiàn)性強(qiáng)度κ的變化情況.圖3(a)中的Mott絕緣相被分為三個(gè)部分, 這與圖1(a)中JC晶格模型的平臺(tái)型結(jié)構(gòu)有關(guān), 可以驗(yàn)證對(duì)于不同的J, Mott絕緣相可以分成不同的區(qū)域.從圖3(a)可以看出, 序參量A隨著Kerr非線(xiàn)性強(qiáng)度κ的增大而減小, 即Kerr非線(xiàn)性項(xiàng)對(duì)超流體相有抑制作用.這是因?yàn)镴C晶格模型中非線(xiàn)性項(xiàng)增加了每個(gè)格點(diǎn)中光子的排斥, 從而導(dǎo)致系統(tǒng)趨于Mott相[2].圖3(a)中淡藍(lán)色直線(xiàn)區(qū)域與圖1(a)中N=0和N=1 之間的超流區(qū)域?qū)?yīng), 即在躍遷強(qiáng)度J較小的時(shí)候, Kerr非線(xiàn)性項(xiàng)對(duì)JC晶格在g=1 時(shí)N=0 和N=1 之間的超流區(qū)域沒(méi)有影響,這與文獻(xiàn)[45]的結(jié)果一致.

在圖4(a)和4(b)中, 研究了 JC晶格模型沒(méi)有聚束到反聚束的轉(zhuǎn)變, 以及Rabi晶格模型隨g和κ的變化從聚束到反聚束的轉(zhuǎn)變.可以看出, 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g2(0) 隨著Kerr非線(xiàn)性強(qiáng)度κ的增大而減小,說(shuō)明Kerr非線(xiàn)性強(qiáng)度κ會(huì)促進(jìn)光子反聚束的產(chǎn)生.

5 結(jié) 論

本文采用平均場(chǎng)近似法研究了JC晶格模型和Rabi晶格模型, 得到了JC晶格模型和Rabi晶格模型的有效哈密頓量, 再用迭代法求得超流序參量, 然后對(duì)得到的物理圖像進(jìn)行分析, 從而研究了由二能級(jí)原子和光子耦合的晶格系統(tǒng)的性質(zhì).

研究發(fā)現(xiàn), JC晶格模型只存在Mott絕緣體相-超流體相量子相變, 而Rabi晶格模型存在Mott絕緣體相-超流體相的量子相變和光子聚束-反聚束的轉(zhuǎn)變, 這是反旋波項(xiàng)影響的結(jié)果.同時(shí), 分別討論了光子躍遷強(qiáng)度J和相互作用強(qiáng)度g對(duì)超流序參量A的影響, 發(fā)現(xiàn)在Rabi晶格模型中, 二能級(jí)原子與光子之間的相互作用強(qiáng)度g和格點(diǎn)之間的光子躍遷強(qiáng)度J的增大, 會(huì)促進(jìn)模型從Mott絕緣體相到超流體相的量子相變和光子聚束到反聚束的轉(zhuǎn)變.同時(shí), 考慮了Kerr非線(xiàn)性項(xiàng)對(duì)JC晶格模型和Rabi晶格模型的影響, 發(fā)現(xiàn)在Rabi晶格模型中,Kerr非線(xiàn)性項(xiàng)抑制Mott絕緣體相向超流體相的轉(zhuǎn)變, 但是促進(jìn)光子聚束向反聚束轉(zhuǎn)變, 這說(shuō)明Kerr非線(xiàn)性項(xiàng)可以在光子之間產(chǎn)生有效的光子-光子排斥作用.

這些研究結(jié)果凸顯了二能級(jí)系統(tǒng)與光腔的相互作用強(qiáng)度g和光子躍遷強(qiáng)度J對(duì)JC晶格模型和Rabi晶格模型的重要性, 以及Kerr非線(xiàn)性項(xiàng)對(duì)Rabi晶格模型具有重要影響, 為研究這些模型的量子相變提供了理論方法, 對(duì)實(shí)驗(yàn)研究JC晶格模型和Rabi晶格模型有一定的指導(dǎo)意義.