拓撲聲子晶體

彭 湃,劉正猷

(1.中國地質大學(武漢) 數學與物理學院，湖北 武漢 430074；2.武漢大學 物理科學與技術學院 教育部人工微納結構重點實驗室，湖北 武漢 430072)

聲子晶體是具有空間周期性的人工結構材料，質量密度及彈性常量在空間周期性排列. 聲子晶體拓撲性質的研究受到越來越多的科研工作者的關注. 本文從聲子晶體的背景出發，介紹了其研究進展.

1 聲子晶體的研究背景

1.1 聲子晶體的概念

其概念源自自然晶體(固體)——原子在空間中周期性排列，是自然晶體的拓展. 根據固體物理學中的能帶理論，當電子在晶體中運動時受到晶格的布拉格散射形成帶隙或禁帶，在禁帶內電子態不能存在. 能帶理論預言了導體、絕緣體和半導體并說明了它們的區別. 由于波動現象的一致性，在上世紀90年代，人們將電子體系中“利用晶格的周期性操控電子傳輸”的概念拓展到經典體系“利用周期性人工結構操控光/聲波在其中傳播”. 1987年，Yablonovitch[1]和John[2]分別提出了光子晶體的概念并于1991年得到實驗驗證[3]. 1993年，聲子晶體的概念被提出并得到實驗驗證[4-12]. 聲子晶體通常可由散射體(例如鋼球)周期性排列在另一種基體材料(例如水)中形成，聲波在基體中傳播會受到周期性排列的散射體的布拉格散射作用，從而形成類似電子帶隙的“聲子帶隙”. 頻率在帶隙范圍內的聲波無法在聲子晶體中傳播. 由于聲波一般難以與電場或磁場相互作用，有效操控聲波的手段有限. 聲子晶體的出現為操控聲波、設計全新聲學器件提供了可能性.

1.2 聲子晶體的發展和優勢

聲子晶體的發展得益于近幾十年計算機計算能力的大幅提升. 區別于自然晶體的基本構筑單元(1個或數個原子)以及結構，不能隨意“加工”，這由材料的穩定性決定. 聲子晶體具有宏觀結構，因而易于加工. 可運用現有的成熟加工工藝和技術，例如微納刻蝕工藝或3D打印技術，制備和加工聲子晶體. 通過改變散射體的大小和形狀[7]，在散射體內部引入更小的次級結構[8]，或者改變散射體之間的連通性[9]，都能夠改變聲子晶體的能帶結構和聲學性質. 在現代加工技術的幫助下，聲子晶體因其低廉的制備成本和廣闊的設計空間受到廣泛關注并得到大力發展.

計算聲子晶體能帶及波函數有多種方法. 平面波方法是最早被提出并用來計算聲子晶體能帶結構. 其要點是把波函數做平面波展開，把周期性結構做傅里葉展開. 當散射體形狀為規則的球/圓柱型時，用多重散射理論(Multiple scattering theory, MST)將聲波波函數在球/柱坐標下展開，可使計算非?？旖莺头奖? 當散射體為復雜形狀(例如矩形或三角形)時，取而代之的是用時域有限差分(Finite difference time domain, FDTD)或有限元 (Finite element method, FEM)等數值計算方法，將空間離散化后用計算機進行仿真模擬，最終得到能帶結構、聲場分布等結果. 例如，比較流行的商業軟件COMSOL Multiphysics，就是采用的有限元法.

對聲子晶體的研究大致經歷了3個階段. 第一階段主要致力于獲得寬頻帶隙[4-9]，希望利用帶隙實現隔振降噪、防震等功能. 其中重要的發現是，含有共振單元的聲子晶體能產生低頻帶隙[8]，在環境噪聲控制、聲隱身、地震防護等諸多方面具有應用前景. 第二階段主要關注聲子晶體的通帶[10-12]，通過通帶設計實現對聲波傳輸行為的操控，制作具有如聚焦、負折射、定向輻射等功能的聲學器件. 特別地，對于低頻通帶，在波長遠大于晶格常量的條件下，聲子晶體可視為均勻材料，可用有效介質理論(Effective medium theory, EMT)提取其有效聲阻抗、有效波速、有效質量密度及有效彈性參量等材料參量. 第三階段也就是近來開始關注在前兩階段不太受重視的聲場形態和相位信息，從而掀起了對聲子晶體拓撲性質的研究熱潮[13-36].

2 拓撲聲子晶體概述

2.1 拓撲絕緣體的背景知識

拓撲絕緣體是一種不同于常規絕緣體的新物態. 拓撲絕緣體內部絕緣但表面能導電，并且表面電流具有魯棒性，不會被雜質或缺陷散射. 這種優異的傳播特性具有重要應用前景. 從能帶結構上看，跟常規絕緣體一樣，拓撲絕緣體也具有體禁帶. 不同的是，對有限大小的拓撲絕緣體而言，能帶結構上會出現跨越整個體禁帶的、無能隙的表面態色散，即在表面上存在表面態. 對拓撲絕緣體施以連續的變化，例如讓其結構變形，只要其體帶隙不閉合，表面態就不會消失，拓撲絕緣體的特性就不會改變，表現出魯棒性. 從數學上，幾何形體在連續變形下的不變性就是幾何對象的拓撲屬性，由拓撲指數描述. 對材料拓撲屬性的認識要歸功于1982年Thouless等人對量子霍爾效應的研究[13]. 低溫二維電子氣在垂直外加強磁場下，體絕緣而邊界導電，其霍爾電導是量子化的、具有魯棒性的常量. 經典圖像對量子霍爾效應中邊界態的形成可按圖1理解. 在外加垂直磁場后，內部電子在洛倫茲力的作用下做“圓周”運動，沒有凈電流. 而處于邊界的電子不能形成完整的回旋，只能沿著邊界做“半圓周”運動并向前形成表面電流. 顯然，無論表面上是否設有障礙，表面電流只能單向流動，而不會反向.

圖1 量子霍爾效應

Thouless等首次發現量子化的霍爾電導與二維電子體系能帶的拓撲性質相關. 能帶的拓撲性質可由拓撲指數——陳數 (Chern number) 描述，陳數定義為與能帶波函數相關的貝利曲率(Berry curvature)在布里淵區上的積分，描述了能帶的拓撲不變性. 陳數是整數，為 0時稱為平庸的，刻畫常規絕緣體；不為0時稱為非平庸的，描述拓撲絕緣體. 這樣，拓撲概念進入了物理，而對材料拓撲性質的研究成為凝聚態物理的重要方向. Thouless等也因此于2016 年獲得諾貝爾物理學獎. 拓撲絕緣體表面態的魯棒性歸根結底來源于拓撲材料能帶的拓撲不變性，或者說是受到了拓撲保護.

2.2 光/聲系統的量子霍爾效應

在光/聲子晶體中可觀察到光/聲波的類似電子的量子霍爾效應. 2005年，Haldane和Raghu首次在理論上提出了用旋光效應來實現光波的拓撲現象[14-15]. 并且在理論上指出一種通用方法：先在光子能帶中構造二重簡并的線性色散關系，即狄拉克錐(Dirac-cone),再通過打破時間反演對稱性將簡并打開，就能實現光的量子霍爾效應. 2014年Fleury 等人將這種思路引入聲學系統[16-17]. 由于聲波幾乎不受磁場的影響，在聲學體系中打破時間反演對稱性需要采用類似圖2(a)中的設計，給散射體增加環形腔并引入環形氣流. 將低噪聲的小風扇放置在環形腔中可作為有手征性的環形聲源. 在彈性波體系中打破時間反演對稱性則可以直接利用固體的轉動. 如圖2(b)所示，Nasha等人在2015年將同方向旋轉的陀螺儀用彈簧連接成六角蜂窩狀的機械網絡[18-19]. 周期性的排列使整個機械網絡具有彈性波的帶隙，從而在邊界上支持一定頻率范圍的表面模式，類比量子霍爾效應中的表面電流. 如圖2(c)所示，陀螺儀的“晃動”只會沿機械網絡的邊界傳導而不會影響到網絡內部的陀螺儀單元，直觀地展示了受拓撲保護的邊界態的傳輸行為.

(a)環形氣流結構單元[16] (b)陀螺儀單元[18]

(c)邊界傳播模式[18]圖2 流體/機械拓撲聲子晶體

2.3 拓撲聲子晶體的分類

經過幾年的系統研究，聲子晶體拓撲態研究已取得了很大進展. 到目前為止，拓撲聲子晶體除了絕緣體一大類型外，還包含半金屬一大類型. 絕緣體類型可分為能谷絕緣體、一階拓撲絕緣體(包含上述量子霍爾效應類型)、高階拓撲絕緣體等幾種子類型. 半金屬態指的是能帶結構中相鄰能帶以點、線或面的幾何形態相接或簡并. 以點相接或簡并的包含狄拉克(Dirac)半金屬和外爾(Weyl)半金屬. 以線相接或簡并的稱為節線(nodal lines)半金屬，以面相接或簡并的稱為節面(nodal surfaces)半金屬. 以下以本課題組在能谷聲子晶體(絕緣體態)和外爾聲子晶體(半金屬態)的研究工作為代表介紹2類拓撲態.

3 能谷聲子晶體

3.1 二維聲子晶體中的狄拉克錐色散關系

狄拉克錐是一類具有特殊形狀的能帶結構，在二維體系中表現為2條能帶線性相交于一點，稱為狄拉克點，從而在動量空間中張出圓錐狀的色散曲面. 這種線性色散關系對應狄拉克方程的無質量相對論粒子，后來在二維材料石墨烯中被實際觀察到. 所以石墨烯中電子表現為無質量的相對論粒子，在理論和應用方面都具有重要意義. 通常以狄拉克錐色散關系作為出發點，通過解除狄拉克點的簡并打開帶隙來研究系統非平庸的拓撲性質. 研究已發現，二維聲子晶體中也存在類似石墨烯的狄拉克錐色散關系或能帶[20-23]，以這類聲子晶體為出發點是尋找拓撲聲子晶體的有效途徑. 2015年，用基于群論的“k-p微擾方法”得到產生狄拉克錐的條件[24]，可看到其存在依賴于體系的對稱性. 所有能形成狄拉克錐的聲子晶體種類總結為表1. 表中的對稱性指點群，“偶發性” 和“確定性”表示狄拉克錐的形成是必然的還是偶然的.

表1 晶體不同對稱性對應的狄拉克錐

3.2 聲子晶體中的能谷態與谷邊緣態

從表1中可以看出：由正三角形柱體按六角晶格排列構成的聲子晶體，且當三角形的取向角α=0°時[見圖3(a)]，可以確定擁有狄拉克點，同時結構又最簡單[25-26]. 該聲子晶體的能帶結構如圖3(b)中黑線所示，在布里淵區角點(K點和K′點)形成狄拉克錐. 實驗上將有限厚的正三角形 PMMA(聚甲基丙烯酸甲酯)柱夾在2塊PMMA 板之間，當聲源頻率足夠低時夾板間只有零階波導模式存在，從而保證本質上是二維體系[見圖3(a)]. 如果將正三角柱逆時針旋轉小角度(轉角α=10°)，則體系的對稱性從C3v降至C3，狄拉克點的簡并被打開，形成圖3(b)中紅-藍線所示的2條能帶，中間由帶隙隔開.

相比引入環形氣流打破體系時間反演對稱性打開狄拉克點簡并的做法，這里是通過旋轉散射體打破體系的鏡面對稱性來打開帶隙. 在帶隙打開處，上能帶的極小值和下能帶的極大值位置，通稱為能谷. 不管是上能谷還是下能谷，都成對出現在K點和K′點，即原來的狄拉克點位置. 成對的能谷態可視為贗自旋，對應于2個自旋取向. 能谷贗自旋為聲場調控提供了新的自由度. 這類具有能谷態的聲子晶體稱為能谷聲子晶體. 在K點的能谷態K2和K1的本征場分別如圖3(c)右邊的上下插圖所示，顏色表示聲壓場的強度，箭頭表示能流場的大小和方向. 可以看出，K2和K1的能流場表現為手征性的渦旋場，分別按順時針和逆時針取向. 相應地，與K2或K1態成對的、位于K′點的能谷態也是渦旋態，但渦旋方向正好相反. 渦旋聲場具有角動量，當顆粒置于聲場中時，聲場的角動量可轉化為作用在顆粒上的力矩，從而可實現對顆粒操控. 可以想見，如果將散射體順時針旋轉同樣角度(即α=-10°)會得到完全相同的能帶結構，但是能谷態K2和K1會發生反轉. 圖3(c)展示了K點處這2個能谷態(紅色為逆時針渦旋即正渦旋q+，藍色為順時針渦旋即負渦旋p-)的頻率隨轉角α的變化情況. 可以看出，當轉角為正時，上能谷K2是負渦旋，下能谷K1是正渦旋；當轉角為負時，上能谷K2變成負渦旋，下能谷K1變成正渦旋，即發生了能帶反轉. 在特殊轉角0°和±60°時，K2和K1態是簡并的，即能帶為狄拉克錐的情形.

(a)能谷聲子晶體樣品 (b)能帶結構

(c)谷態頻率隨轉角變化 (d)谷邊緣態能帶結構

(e)谷邊緣態的無障礙傳輸圖3 能谷聲子晶體

3.3 能谷聲子晶體的研究新進展

能谷聲子晶體的研究已取得了很多進展[27-33]. 例如包含豐富拓撲相的雙層能谷聲子晶體[27-28]，水聲背景下的能谷聲子晶體[32]，以及基于四方晶格的能谷聲子晶體[33]等. 下面重點介紹關于能谷聲子晶體中的拓撲體態運輸[29]和拓撲聲子晶體芯片[30]的相關研究. 如何將存在于界面上的拓撲谷邊緣態拓展成寬度可調，即具有寬度自由度的拓撲谷波導態？可采用如圖4(a)所示的設計，由轉角不同的聲子晶體組成“三明治”結構. 外面2層(A層和B層)是具有拓撲帶隙的能谷聲子晶體，其轉角分別選為α=30°和α=-30°，以提供最寬帶隙；中間新增的夾層(C層)是無帶隙的聲子晶體(轉角α=0°)充當波導管.

(a)異質結構 (b)X方向投影能帶結構

(c)不同缺陷下的壓強分布圖4 能谷聲子晶體的拓撲波導運輸

如圖4(b)所示，如同前述只有A/B界面的情形，在A和B的公共帶隙內，體系存在1條跨越帶隙的拓撲非平庸的谷波導態，來自聲子晶體A和B之間的非平庸邊界態與聲子晶體C的平庸體態的耦合. 谷波導態也具有和邊界態類似的魯棒性. 圖4(c)展示了被點源激發的谷波導態在波導管中傳播的情形. 無論是在波導管中引入無序，或者引入凸起、凹陷或兩者同時存在，都不會影響谷波導態的傳輸，表現出強大的魯棒性. 借助于邊界態和體態的耦合，原本只出現在邊界上拓撲界面波現在“充滿”了整個波導管. 和邊界態傳輸相比，這種波導態傳輸的優勢在于：具有寬度的波導管更容易和已有器件對接從而方便于應用；波導管更有利于能量傳輸.

能谷態不僅存在于前述流體(空氣)體系，也能存在固體體系. 運用微納刻蝕工藝在硅片上制備出片上能谷聲子晶體[30]. 如圖5(a)所示，由底部薄板和在其上刻出的正三角柱陣列構成. 體系支持多種振動模式的 Lamb 波傳播，其中的彎曲波(面外振動)模式便于激發，其運動方程和二維聲波的波動方程類似. 按六角晶格排列的正三角柱陣列可對彎曲波進行調制，形成狄拉克錐色散. 與前面類似，可通過旋轉正三角柱打開狄拉克錐形成帶隙，產生能谷. 圖5(b)顯示在K點的能谷，實線為理論計算的能帶，顏色表示相應的實驗結果，兩者一致. 這里同樣利用了打破鏡面對稱解除狄拉克點簡并的機制. 圖5(c)為能谷態K2和K1的本征場在不同時刻的形態，表現為按順和逆時針旋轉的螺旋態. 圖5(d)展示了在2個轉角相反的能谷聲子晶體相的界面上傳播的谷邊界態，在拐彎處沒有反射，具有魯棒性.

(a)片上能谷聲子晶體 (b)面外模式能帶結構

(c)3個時刻的上下能谷態本征場 (d)拓撲邊界態傳輸圖5 硅片的能谷聲子晶體

獲得拓撲保護的谷邊界態的過程可以概括為：找到狄拉克錐→降低對稱性打開帶隙,得到能谷→實現能帶反轉→用能帶反轉的2個晶體構造界面→獲得界面上的谷邊界態. 通過破缺體系對稱性打開狄拉克點簡并是構造拓撲聲子晶體的常用方法，該方法也適用于三維體系[34].

4 外爾聲子晶體

4.1 聲子晶體中的外爾點

三維聲子晶體的能帶結構中存在和前述二維狄拉克錐類似的線性色散關系，其中的2度簡并點稱為“外爾點(Weyl point)”. 與二維體系中的狄拉克點沿平面任何方向均為線性色散不同，三維體系中，從外爾點出發沿三維空間3個方向都為線性色散關系. 外爾點簡并不像狄拉克點簡并那樣容易打開，具有很強的魯棒性. 如果連續變形其晶格，只會看到外爾點在倒空間游弋，看不到外爾點簡并的打開. 外爾聲子晶體于2017年在實驗上實現[35]. 圖6(a)展示了用3D打印技術制作的外爾聲子晶體樣品的外貌及細節，插圖為單胞的示意圖.

圖6(b)顯示該外爾聲子晶體的布里淵區及外爾點在其中的分布，紫點和綠點分別表示拓撲荷為+1和-1的外爾點. 在倒空間用球面包住外爾點，通過球面上的波函數計算出球面上的貝里曲率矢量，把貝里曲率在球面上做積分即得到外爾點的拓撲荷. 貝里曲率矢量如同磁感應強度矢量，對應有不為零的矢勢[即貝里連接(Berry connection)]. 但貝里曲率的球面積分(即拓撲荷)不為零，所以外爾點的拓撲荷如同“磁荷”. 圖6(c)為布里淵區邊界上沿kZ方向的能帶結構，可見在布里淵區的K點和H點處2條能帶線性相交，在K-H之間2條能帶分開，具有帶隙. 圖6(d)為給定kZ時kX-kY平面內的能帶結構. 當kZ=0時(左圖)能帶線性相交于K處形成前節所述的狄拉克錐，當kZ偏離0時(右圖)2條能帶打開帶隙. 這清楚表明K點是外爾點. 同樣分析可知道H點也是外爾點，當然K′和H′也是外爾點. 外爾聲子晶體具有奇妙的性質，其表面存在拓撲表面態，而且表面態的等頻線不閉合，表現為一段一段的弧，稱為“費米弧(Fermi arc)”，而普通表面態的等頻線都是閉合的. 以外爾聲子晶體的XZ表面為例，如圖6(e)中左圖所示，如果把點源(頻率約15 kHz)放置在表面中心，可看到表面態被激發出來并在表面上傳播. 如果把表面上的場分布做傅里葉變換，可以得到表面態的等頻線，如圖6(e)右圖所示. 可以看到等頻線確實不閉合，而是一段一段的費米弧，連接外爾點在這個表面的布里淵區的投影(紫色和綠色點). 圖中顏色是實驗結果，白色是數值計算結果，其中實線為該表面上的表面費米弧，虛線為對面表面上的表面波費米弧. 可以看到實驗和數值結果一致. 費米弧表面態也具單向傳輸、抗缺陷的特性. 圖6(f)(為Z方向的俯視圖)顯示了在XZ表面激發的表面波(具有kZ=0.5π/c，c是Z方向的晶格常量)的傳播. 可以看到它只向左傳播，在傳播到左角點后，拐入YZ表面，繼續向上傳播. 雖然在YZ表面故意制造了凹槽缺陷，可以看到表面波翻越這一障礙繼續向上傳播，表現出強大的單向傳輸特性.

(a)外爾聲子晶體樣品 (b)布里淵區及外爾點分布

(c)kZ方向能帶 (d)kX-kY平面上的能帶結構

(e)XZ表面上的能帶結構

(f)費米弧表面態的無障礙傳輸圖6 外爾聲子晶體

4.2 拓撲表面波的負折射效應

三維外爾體系中的表面波的傳播由費米弧的形狀及取向決定. 調控費米弧即可調控表面波的傳播. 下面在另一個外爾聲子晶體中顯示費米弧對表面波傳播的調控. 新的外爾聲子晶體如圖7(a)所示[36]，是更簡單的柴堆結構. 第1層是方柱的一維排列，第2層是把第1層旋轉120°，第3層是把第2層旋轉120°，如此類推，形成三維結構. 這一體系同樣在布里淵區的K點存在外爾點. 從圖7(a)的左圖中可以直觀看到，選擇不同的表面切割位置會使樣品的表面結構發生變化，表面結構的差異會導致表面態的能帶不同，即費米弧發生變化.

圖7(b)為切割的實驗樣品的外觀，四周有4個表面，其中相鄰3個表面記為XZ1(正面)、YZ1(右側面)和XZ2面(背面). 正面和右側面的表面費米弧如圖7(c)中上圖的插圖所示. 圖7(c)中下圖的插圖顯示右側面和背面的表面波費米弧. 圖7(c)中場圖為實驗測量結果，可以看到表面波在XZ1面激發，傳播至與YZ1面的交界時完全進入YZ1面，不發生反射，在YZ1面上傳播時改變了方向. 不管是在XZ1面還是在YZ1面，表面波的傳播方向完全由費米弧控制，即按費米弧的梯度即法線方向傳輸. 可以看到，從XZ1面到YZ1面，在YZ1面折射波與在XZ1面的入射波，位于兩面交線的法線的兩側，是正常的折射. 但是，繼續來看表面波從右側面YZ1面進入背面XZ2面的折射，如圖7(c)下圖所示，結果大不相同. 可看到在XZ2面的折射波與在YZ1面的入射波位于兩面交線法線的同一側，即發生了負折射.

(a)結構示意圖及單胞 (b)實驗樣品

(c)費米弧表面態在棱邊處的拓撲折射圖7 外爾聲子晶體表面態的拓撲負折射

5 結束語

介紹了本課題組近幾年在拓撲聲子晶體領域的一些研究進展，并以此為案例介紹拓撲聲子晶體的前沿動態. 拓撲聲子晶體能支持類似量子霍爾效應中邊界電流的、受拓撲保護的、具有魯棒性的界/表面波. 拓撲界/表面波的核心在于構建出連接體帶隙上下體帶的無能隙的邊界態. 在能谷聲子晶體中是通過打開狄拉克錐獲得能帶發生反轉的2個谷拓撲相，在其界面獲得能谷鎖定的拓撲邊界態. 在外爾聲子晶體中則是借助1對拓撲荷相反的外爾點來形成費米弧表面態. 拓撲界/表面波的魯棒性表現在對缺陷和無序免疫，具有單向傳輸的性質. 這種無障礙的傳輸特性無疑具有廣闊的應用前景，也激發了科研工作者對拓撲物理的極大興趣.