基于6-RSS并聯機器平臺的小球系統研究

劉艷梨 劉海瑞 鄒上元

（1.江蘇安全技術職業學院 電氣工程學院，徐州 221011；2.江蘇安全技術職業學院 交通與安全學院，徐州 210011）

6-RSS是一種新型并聯機器平臺，利用6個分支將上下兩個平臺連接起來[1]。6個短桿在電機的驅動下可以自由轉動。短桿和長桿之間和長桿與頂板之間通過球鉸連接。通過控制電機轉動，實現平臺的6個自由度的運動。

本文研究基于6-RSS并聯機器平臺的小球系統，是一個典型的多變量和非線性控制系統，通過控制兩個相互垂直的旋轉軸運動來達到對小球定點和軌跡運動的控制[2-3]。其中，通過4線電阻屏采集小球在平臺上的位置，將位置信息反饋給控制系統；控制系統采用特定的控制策略得出兩個旋轉軸所需轉動的角度，將角度信息反饋給電機，控制平臺旋轉[4-6]。

1 6-RSS并聯平臺

1.1 平臺逆運動學分析

為了方便建立6-RSS并聯機構的位置逆解數學模型，在動平臺和靜平臺上分別建立動、靜兩個坐標系，如圖1所示。動坐標系O′-X′Y′Z′建立在頂端分支桿和動平臺聯接球鉸中心所在的平面內，坐標系原點為球鉸中心所在圓周的圓心。靜坐標系O-XYZ建立在底端分支桿和靜平臺聯接轉動副軸線的所在平面內，坐標系原點為轉動副軸線內切圓圓心。

圖1 6-RSS并聯平臺機構簡圖

圖1中，Ai表示與靜平臺聯接的轉動副的軸線和底端分支桿的中心線交點在靜坐標系下的位置矢量，有Ai={AiX AiYAiZ}T，i=[1,6]；Bi表示底端分支桿的中心線交點和頂端分支桿的中心線交點在靜坐標系下的位置矢量，有Bi={BiXBiYBiZ}T，i=[1,6]；Ci表示與動平臺聯接的球鉸中心在靜坐標系下的位置矢量，有Ci={CiXCiYCiZ}T，i=[1,6]；Ci′表示與動平臺聯接的球鉸中心在動坐標系下的位置矢量，有表示靜平臺上的 6 個轉動副軸線在靜坐標系下的矢量，有Di={DiXDiYDiZ}T，i=[1,6]。一般情況下，考慮機構的對稱性，常取：

LDi分別表示6個底端分支桿的桿長矢量，長短不變，有：

式中：LDi分別表示6個頂端分支桿的桿長矢量，其長短不變；θi分別是6個轉動副的轉動角度，用底端分支桿的中心線相對其初始位置（底端分支桿中心線在XOY平面內的狀態）轉過的角度來描述。

在建立上述坐標系和定義相關參數以后，可以得到以下的數學關系：

式中：P為動坐標系原點在靜坐標系下的位置矢量，P={OX′,OY′,OZ′}T；T為動坐標系的方向余弦矩陣，其第 1、2、3列分別為動坐標系三坐標軸X′、Y′、Z′在定坐標系下的方向余弦。T和P可共同表示動平臺的位姿。

由式（10）～式（12），可得：

將式（14）展開，可得：

式中，LDi是θi的函數。由于 |LDi|=const、|LUi|=const，式（14）和式（15）實際上是關于θi的方程。在給定結構的結構幾何參數和動平臺的位姿參數后，可以通過式（15）來求解θi，從而建立位置逆解的數學模型。

1.2 平臺轉角控制

控制平臺繞X軸、Y軸旋轉，即控制動坐標系的方向余弦矩陣繞X軸旋轉α：

繞Y旋轉β：

2 小球系統控制

2.1 小球歸位物理分析（動坐標系內）

設定初始小球位置Q(X0,Y0,Z0)，從電阻屏讀取初始位置Q，做PQ的垂線，以控制轉軸，平臺傾角為δ（如圖2所示），則小球的受力分析如圖3所示。圖3中，G為小球重力；N為斜面對小球的支撐力；Fs為斜面對小球的阻力，γ為斜面傾斜角。

圖2 小球在動坐標系下的轉動位置

圖3 小球受力分析簡圖

動平臺與小球間的滾動摩擦因數為μ，小球質量為m，小球半徑為r，加速度為a，角加速度為a，則轉動慣量為：

控制δ的大小使小球做純滾動運動，動力學方程為：

解得：

2.2 小球系統數學模型

利用拉格朗日方程對小球系統的數學模型進行求解，求解過程中用到的參數如表1所示。

表1 小球系統的數學模型參數

小球動能為：

平板動能為：

小球繞支撐點的轉動動能為：

以坐標原點為零勢能點，平板勢能和小球勢能為：

綜上得拉格朗日函數為：

對拉格朗日方程取下列4個變量：

定義：

可得：

2.3 小球的軌跡運動控制

2.3.1 平臺角加速度

由小球系統的數學模型可以得出，控制量為平臺的角加速度。因為系統是實現小球的定點和定軌跡運動，為保證小球純滾動，平板傾斜角度不宜過大，接近于0°。所以，根據小量代換可將式（31）化簡為：

其中：

2.3.2 LQR控制器

對于小球系統的LQR控制器，系統參數A、B已知，所以只需要確定Q、R兩個權值矩陣，就可通過式K=lqr(A,B,Q,R)求出狀態反饋矩陣K。

因為系統具有對稱性，且X、Y方向結構一致，所以以X方向求解為例進行說明，有：

本實驗取R=2，Q=diag(Q11,Q22,Q33,Q44)。其中，Q11、Q22分別代表小球X軸的實際值與設定值差和小球X軸的速度權重；Q33、Q44分別代表Y軸方向平板傾斜角和Y軸方向平板傾斜角速度權重。這里取Q=diag(300,4,1 000,10)，得：

3 系統仿真

利用Creo軟件搭建系統仿真模型并模擬其工作空間，如圖4所示。

圖4 系統仿真模型及模擬的工作空間

搭建Simulink模型對LQR控制器進行仿真（圖5），得到小球位置階躍響應曲線和平板轉角階躍響應曲線，表明小球在4 s內可以達到穩定狀態。

圖5 LQR控制器模型

4 結語

本文介紹了一種新型基于6-RSS并聯機器平臺的小球控制系統。系統利用6自由度并聯連桿驅動結構實現了穩態維持、分析及控制功能，采用PID閉環控制系統和程序實現了對6自由度并聯連桿傳動機構的運動控制。該系統在飛行器、船舶、車輛以及機器人等的運動過程穩態維持及控制模擬中具有直接應用價值。