感應電機等效磁路模型及轉子偏心分析

劉官瑞

（重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶 400000）

電機由于其效率高和成本低等優點，在旋轉機械中越來越受歡迎。理想的電機氣隙是均勻的，然而由于制造誤差、裝配誤差和運行磨損等，電機氣隙在圓周方向上不再均勻分布，其導致的不平衡磁拉力將轉子運動中心拉得更遠，引發了電機機械系統的穩定性問題。

早在1987年Belmans[1]計算了兩極感應電機的徑向偏心力并研究了電機中同極磁通量大小。郭丹[2]通過麥克斯韋方程組建立了偏心引起的磁拉力表達式，表明系統非線性程度與偏心大小成正比。Guo[3]等利用麥克斯韋應力張量推導了徑向偏心力的解析解。劉清[4]建立了電機彈性轉子運動的微分方程，通過分析發現不平衡磁拉力的線性部分與非線性部分對轉子的運動特性影響不同。Pennacchi[5]得出了偏心條件下氣隙長度的更精確表達方式，并用梁單元對發電機進行建模，以研究由于徑向偏心力引起的轉子動力學行為。劉鋒[6]等利用多尺度法得到了轉子渦動引起的不平衡磁拉力表達式，發現了不平衡磁拉力的非線性特性，使得轉子渦動振幅隨時間改變。何成兵[7]建立了裂紋轉子系統在渦動下的彎扭耦合振動微分方程，分析了裂紋轉子系統的非線性動力學響應。然而，上述文獻都是用解析法和集中參數法模擬電機的不平衡磁拉力，忽略了電機的大部分特性，是一種理想的情況。雖然基于有限元模擬的電機能反映真實的情況，但是轉子的運動特性卻不能包含在內，同時需要消耗大量的時間進行分析。為了平衡模型的精度和計算時間，MEC模型被用于研究轉子偏心問題。Vandevelde[8]建立了感應電機MEC模型，并通過能量法計算了徑向偏心力。Han[9]研究了徑向力和切向力對轉子振動穩定性的影響。綜上所述，基于MEC方法研究電機轉子偏心特性與實際情況更加符合。目前，所有的文獻都沒有考慮MEC建模電機下的轉子彎扭耦合動態特性。本文基于文獻[10]中的感應電機MEC模型，結合Jeffcott轉子模型，考慮轉子彎扭耦合、磁路飽和以及電機開槽等內部激勵對機電系統的影響，建立了機電耦合模型。

1 感應電機MEC模型

圖1為轉子偏心下感應電機的部分MEC模型。電機分為4層，分別是定子軛部、定子齒部、轉子齒部以及轉子軛部。每一層的磁動勢分別用F1、F2、F3，F4表示。將定子軛部和齒部按照定子齒數(k)平均分割，得到的磁阻分別表示為Gsy(i)和Gst(i)，其中i=1,2,…,k。將轉子軛部和齒部按照轉子齒數n平均分割，得到的磁阻分別表示為Gry(j)和Grt(j)，其中j=1,2,…,n。Φst(i)、Φrt(j)分別表示齒部磁通量，G(i,j)表示氣隙磁導，Gsδ、Grδ分別表示槽間漏磁導。

根據劃分規則，由磁場基爾霍夫定理得到節點方程組：

式中，A11和A44分別表示定、轉子軛部磁阻矩陣；A22和A33分別表示定、轉子齒部磁阻矩陣；A23表示定子磁阻與氣隙磁阻的合成矩陣，A23=AT32；Φst和Φrt分別表示定、轉子齒部磁通量矩陣。

圖1 轉子偏心電機MEC示意圖

電機定子齒部和轉子齒部還應滿足如下關系：

式中：ψS和ψR分別表示定、轉子磁鏈；MSψ和Mrψ分別表示定、轉子磁鏈傳輸矩陣；FS和Fr分別表示定、轉子齒部磁動勢，均與電流相關。

FS和Fr可表示為：

式中：Mstmmf和Mrtmmf分別表示定轉子繞組傳輸矩陣，與電機的連接方式有關[7]；IS和IR分別表示定轉子繞組電流。然而，目前上述方程還無法求解，因為方程只描述了各個節點間的磁勢關系而沒有引入外部磁鏈方程。

定子磁鏈方程可表示為：

式中，VA、VB、VC分別表示三相繞組的電壓，ψSA、ψSB、ψSC分別表示三相繞組的磁鏈，IA、IB、IC分別表示三相繞組的電流，RA、RB、RC分別表示三相繞組的電阻。

轉子磁鏈方程可以表示為：

到此，感應電機的MEC方程已經建立完成，接下來將計算電機轉子偏心下的氣隙磁導，其中氣隙磁導的計算是MEC模型的重點。

本研究中電機氣隙并不均勻。由圖1可知，在不同的空間角度，氣隙長度不同。當電機轉子出現混合偏心時，氣隙長度可以表示為[2]：

式中：δs和δd分別表示靜動態偏心率；g表示平均氣隙長度；wr表示轉子角速度；θ表示轉子外圓機械角度。

最大氣隙磁導率為：

式中：μ0表示真空磁導率；Smax表示定轉子之間的最大重疊面積。于是，可得到混合偏心下氣隙磁導率RG(i,j)：

θt′和θt取決于轉子齒面寬度和定子齒面寬度[7]。當氣隙磁導和電機的磁壓降確定后，電磁轉矩Te和徑向電磁力Fx、Fy分別為：

式中：r和l分別表示轉子鐵芯半徑和長度；Br和Bt分別表示徑向和切向磁通密度，可以由麥克斯韋張量法結合氣隙磁導率計算得到。

2 轉子彎扭耦合模型

電機轉子偏心系統可以被假設為Jeffcott轉子模型[9]。整個系統中，系統受到的非保守力為阻尼力、不平衡磁拉力以及電磁扭矩。根據非保守系統的拉格朗日方程，得到轉子系統的彎扭耦合振動方程為：

式中：m2表示轉子集中質量；e表示總的偏心距；x和y表示轉子的振動位移；θm表示轉子扭轉位移；J表示轉子轉動慣量；k表示轉子軸彎曲剛度。

3 仿真分析

利用牛頓法求解電機MEC方程，并將每一步求解出的電磁轉矩和不平衡磁拉力帶入轉子彎扭耦合方程，通過龍格庫塔法求解該方程，最后得到機電耦合系統的動態特性。為了研究偏心程度對機電系統的影響，分別取e=0、e=0.1和e=0.2得到轉子的振動特性和電機定子電流時域圖，分別如圖2和圖3所示。

圖2 轉子振動特性

圖3 定子電流時域圖

由圖2可知，隨著偏心程度的增大，轉子振動范圍擴大。由于不平衡磁拉力非線性的影響，轉子運動變得復雜。由圖3可知，電機偏心使定子電流不呈標準的三角函數。電流順滑程度與偏心距成反比，但總體影響較小。

4 結語

本文通過電機MEC方程和轉子彎扭耦合的Jefcoot模型，建立了電機轉子機電耦合動力學模型。結合牛頓法和龍格庫塔法求解該動力學模型，得到了不同偏心程度對機電系統特性的影響結果。仿真結果表明，轉子振動特性與偏心距之間并不是線性關系。這是因為隨著偏心程度的加大，磁路接近于飽和，不平衡磁拉力不再增大，系統振動的劇烈性也逐漸減小。同時，通過研究發現，定子電流幅值受偏心的影響程度較小。