基于最小二乘法的橋式起重機機械臂關節控制系統設計

(青島理工大學(臨沂) 機械與電子工程系，山東 臨沂 273400)

0 引言

機械臂屬于一種復雜系統，具有高精度、多輸入輸出、非線性高、耦合性強的特點。機械臂的硬件結構有靈巧手、電路系統、連桿傳動裝置、控制器、驅動裝置，以及相關通信設備。除此之外，機械臂設計壽命普遍很長，而在軌過程中可能出現維護困難甚至無法維修的狀況[1]。由于機械臂通常具有比較大的輸出力矩，機械臂的失控可能造成很嚴重的，具有強破壞性的后果，所以機械臂的運行安全必須嚴格重視。

在工業生產率方面，傳統的起重機機械臂顯示性能較差，而且產品的生產成本較大，工作性能也并不全面[2]。為了改善傳統起重機的缺點，基于最小二乘法的橋式起重機被提出，它可以將起重機機械臂關節控制的部分模塊更加標準化，依據不相同起重需求，將所需的模塊進行處理，就可以獲得工作任務中所需的起重機類型和規格。通過這些不僅能夠滿足用戶需求，盡快地構造出需要的起重機類型，而且可以將整個起重機機械臂的工作性能有所改善。

1 硬件結構總體構架

機械臂是支撐部件，設計時需考慮 提升物體的重量、承重范圍、運動時的動載問題，還要考慮其轉動慣性[3]。在機械臂的可靠性與容錯性能方面，需要極高的標準[4]。圖1為機械臂的總體硬件構架圖。

圖1 機械臂總體構架圖

機械臂作為一個復雜系統，可能受外界因素干擾和未建模動態等因素影響。所以機械臂的建模模型同樣具備不確定性，針對不同的任務需求，對機械臂的相關運動進行設計與規劃，進而達到級聯組成末端位姿的使用效果[5-6]。

1.1 靈巧手

靈巧手是復雜的機器人系統，它的重要構成部件是本體、控制系統與檢測系統[7]。相對于被控制靈巧手，在原動機數量方面，欠驅動靈巧手自由度更小，由于驅動源不存在，因此關節執行為耦合隨動，耦合關節結構較為簡易，占用空間少、可控性高，靈巧手中占比最高的是欠驅動靈巧手[8]。靈巧手的結構模型如圖2所示。

圖2 靈巧手的結構模型

靈巧手的內部組成的其余構件還有盤式電機，同步帶傳動機構、機關節差動機構，一系列傳感器如位置傳感器、觸覺傳感器、二維力矩傳感器、諧波減速器、鋼絲耦合傳動機構[9-10]。

1.2 驅動裝置

線性傳動機械臂驅動裝置：機械臂固定在裝置板上，驅動線纜借助裝置接口將線路連接好后，再與擴線結構相連接。最終借助驅動構件和傳動單元模塊驅動線纜轉動進而帶動起重機的機械臂的運動。要確保驅動裝置能夠和線繩傳動機械臂準確相連接，使其準確連接到裝夾裝置的中心。全部的驅動結構分支構成支撐框架。

靈巧手驅動機構模型，2 個旋轉副、1 個球形副包含16個關機。內部設置10個驅動源。拇指、食指和中指借助 3 個關節自由度以及 3 個驅動源相連接，其他兩手指借助驅動源耦合進行傳動驅動任務。

1.3 連桿傳動裝置

連桿的作用是把活塞承受的力向機械臂軸進行傳遞進而推動曲軸進行旋轉運動。連桿長度通常選取較短的，原因是借助長度短的連桿，能夠縮小機械臂總體長度，連桿的剛性結構硬度亦能夠有所增強。

不同方面軸線的設計方式如下：腰關節一大臂繞豎直軸旋轉，肩關節一大臂相對于水平面俯仰，肘關節一小臂相對于水平面俯仰且關節軸線平行于肩關節，為了增加機械臂的靈活程度以及越過障礙物的能力，設置輔助關節，根據應用場合的差別，輔助關節會設置不同的軸線方式，腕關節位于機械臂末端，依據安裝的執行機構選定腕關節軸線位置。機械臂連桿模型如圖3所示。

圖3 機械臂連桿模型

如圖3所示圖中指尖、二指節、三指節均為不同形狀的三角形連桿，驅動連桿以及耦合連桿，為直線形式，K1以及K2為復位彈簧，當K1處的驅動連桿順/逆時針轉動時，手指做屈曲/前伸運動。

當曲柄按等角速度旋轉時，曲柄上的每一個點將曲桿端點中心作為支點圓心進行勻速率旋轉運動，活塞沿氣缸中心線做往復運動，連桿做復雜的平面運動，其大頭與曲柄連桿一端連接被帶動做等速率選擇運動，而連桿小頭將和驅動器的活塞相連接，由于位置的特殊性，將做連續的往返運動。當活塞位于輸入氣門的沖程終點位置時，連桿達到最大拉伸的拉伸程度，連桿小頭端的孔徑上出現活塞連接、堵塞的現象，同時往復的慣性力的存在，連桿的本身慣性作用力與連桿大頭端的孔徑的反作用力互相平衡。因此連桿的運動特定點是包括往復運動以及旋轉運動合成的復雜運動。

1.4 電路結構

低壓差線性穩壓器具備功耗低、高效率、噪聲低、高抗擾能力、體積占比小、重量輕等明顯特征，為線性電源一個關鍵器件。線性電源的使用應用保證了電源輸出電壓與電流的閉環調節能夠正常進行，又減少了開關電源的噪聲。靈巧手的微機系統工作方式為 I/O 進行輸入輸出，借助輸入設備將下發的指令進行接收，借助運算、測試后的數據結果信息對機械臂靈巧手的運動進行調節，達到靈巧手能夠正常運作的目的。

大部分的靈巧手借助 AT89C51 單片機進行工作，充當主控芯片，靈巧手的主頻大部分是 12 MHz；輸出電流最大值是 1.5 A；借助有線通信接口和主機相連接保證通信的進行；直流電機在進行角度的測量工作時需利用電動轉軸上裝備的傳感器。靈巧手的電路結構設計時，主頻72 MHz，理論運算速率能夠提高 6 倍；將芯片執行降壓處理，使得輸出電流的最大值是3 A，能夠將理論運算速度提高2倍；將TB6612作為電機驅動的芯片，芯片的占用面積在很大程度上有所減小；利用內置電位器對角度進行相關的測量，使得外置傳感器的數量減少許多；信息傳輸時借Wifi模塊進行。

2 橋式起重機機械臂關節控制

最小二乘法隸屬于數字優化技術之一，它的原理是借助最小化將誤差進行縮小以及運算出相應數據的最適宜匹配函數模型。借助最小二乘法能夠簡便的針對不確定的數據進行簡便運算，同時能保證運算所得數據值和實際中的誤差平方和的數值達到最小值。在機械臂設計的過程中，在進行曲線的擬合時亦需要借助最優化算法最小二乘法。

最小二乘法擬合的流程如下：

1)依據數據的本身性質，將最優擬合次數確定為n；

2)將正規方程組進行求解運算，將相關系數求出；

3)得到滿足以上條件的最優化結果；

(1)

誤差平方和為：

(2)

讓式(2)取得最小值，能夠獲得最小二乘正規方程從而得到系數B=[β1,β2,…,β21]，表達式為：

B=(DTD)-1(DTY)

(3)

式(3)中：設計矩陣為D由50個設計點的基函數構成，表達式是：

(4)

式(4)中,φi(x)是響應面函數的基函數；將所有的基函數項列在下面。調用有限元分析模型與機械疲勞壽命估算程序獲得50組響應值Y=[Y(1),Y(2),…,Y(50)]利用有關公式得到B=[β1,β2,…β21]的值。

(1)選取設計變量:

設計變量為起重機機械臂結構優化設計的能夠進行調整的關鍵數據參數，是一項重要的指標，普遍的設計變量包括起重機機械臂的某一構件的長、寬、高等基本尺寸。針對起重機機械臂，選取適當的截面尺寸參數為減少機械臂自身重量的有利途徑。在起重機機械臂結構優化模型設計中，相關設計變量能夠是機械臂的寬度B,高度H，機械板厚度A。

(2)確定狀態變量:

狀態變量普遍作用于在設計、操作過程中的因變量參數，為設計變量提供約束函數。針對起重機機械臂的結構優化，關鍵步驟是將機械臂的等效應力σmax≤[σ],進行有效控制。確使起重機機械臂剛性、硬度要求、強度需求得到滿足：

(5)

式(5)中,β代表機械臂材料的強度；n代表機械臂的安全系數。

(3)構建目標函數：

機械臂設計制造的優劣狀況通常借助目標函數進行判定，一般情況下將最小數據值的變量數據參數當作模型建立目標。

將關節控制模型簡化為一種存在于電機轉子和下一連桿之間的線性彈簧，忽略機械臂桿和關節之間的摩擦，可列出具體的數學模型式(6)如下：

TiQi=Mi

Xiδi=Miz

Mi=K(δi+Qi)

(6)

其中:Qi與δi分別為電機端與連桿端的移動位移；Xi與Mi為電機端與連桿端有效轉動慣量；Miz為電機端的轉動力度大小；Ti為與柔性關節連接的臂桿所承受的被動力度大小；K即為它們之間的剛度系數。

信號對機械臂關節點之間角度的影響線形圖如圖4所示。

圖4 信號與關節點之間角度線形圖

根據圖1的線形圖確定本文通過H-D參數法對機械臂末端運動關節間位姿誤差進行計算，根據位姿誤差推導出機械臂運動的誤差模型。H-D參數法是在機械臂各個末端關節點上設置虛擬坐標系，然后用多階矩陣表示每兩個相連接的末端關節的空間關系，如果機械臂末端關節空間關系出現不平衡情況，就會根據情況調節各個關節參數條件，達到機械臂末端位姿精確度。設置一個末端關節點，周圍關節點參數為a1、b1、c1、d1，具體參數公式如下所示：

Ai=

(7)

其中:d1是末端關節點變量；其余3個參數為可變幾何參數，a1是機械臂末端的長度；b1是機械臂末端方向偏置角；c1是末端運動的運動角，具體參數坐標系示意圖如圖5所示。

圖5 機械臂末端運動關節點虛擬示意圖

分別帶入一個機械臂末端運動的各個參數，如果Ai的值與設定的指標值相對誤差在0.05以內，都認定此時的機械臂末端運動不存在誤差；如果超出指標就認為存在位姿誤差。

以DETMAX算法為基礎，選擇末端的測量姿態，根據末端測量姿態判定結果實現振動控制。采用可觀性計算方法，計算姿態組中各姿態的客觀性指數，其選取步驟如下所示。

1)從姿態組T1中隨機抽取若干個測量姿態組為初始測量姿態，并采用DETMAX算法篩選。

2)向初始姿態中逐一增加測量姿態，計算出最大化姿態。

3)剔除最大化姿態保留最小化姿態。

4)計算姿態的可觀性指數，當數值到達一定數值時終止。

5)最后選取最小化姿態并畫出其變化規律。

將機械臂運行速度數據記錄在控制系統平臺中，并時刻檢驗平臺中的信息內容，設置中心調控空間整合檢驗參數，優化空間信息，主導外部實驗環境空間調配裝置，根據機械臂運行速度信息獲取其均勻性控制狀況，實現控制。

3 實驗結果與分析

3.1 實驗背景與參數設置

將SCARA 型工業機械臂作為實驗控制對象，針對該機械臂的軌跡跟蹤控制。在進行關節定位精度測試時，首先利用程控控制器控制磁粉制動器產生需要的負載力矩，然后控制關節按照一定的軌跡運動，同時采集關節里編碼器信號和測試平臺上編碼器信號，將測試數據進行處理，得到最終的測試精度。具體的測試平臺如圖6所示。

圖6 測試平臺

采用衰減法進行測量，通過衰減振動波形來計算振動系統固有頻率。用脈沖錘敲擊柔性機械臂，使用激光測試儀來測量機械臂的衰減振動波形。

圖7 機械臂的自由振動曲線

激光測振儀的輸出單位為1 mm/V，柔性機械臂的振動周期200 ms。

將控制系統的參考數據曲線作為線性標準進行實驗，對基于最小二乘法下的機械臂關節位移角與實際機械臂運動位移角在各個時間段的關節位移角差值表示出，借以代表運動軌跡的擬合度，進而反映對于機械臂運動的控制精度。控制精度由擬合度進行反映。

3.2 實驗結果與分析

對機械臂關節位移角與實際機械臂運動位移角在各個時間段的關節位移角差值表示出，畫出機械臂關節位移角的曲線圖，對機械臂運動軌跡的擬合度進行顯示，進而反映對于機械臂運動的控制精度。選擇0到1.6秒為實驗時間。

圖8 機械臂關節運動擬合度圖

0到1.6秒內，機械臂關節位移角與實際機械臂運動位移角在各個時間段的差值最大，隨著運行時長的增加，機械臂關節位移角與實際機械臂運動位移角在各個時間段的差值雖然有所減小但差值依舊很大，最終也沒能趨于平穩，代表擬合度并不是很高。

在跟蹤位置基準0.3 m，繩長固定為 0.6 m 時，控制效果如圖9所示。

圖9 控制仿真結果

由圖9可以看出，本文結構不僅可以有效的實現小車快速精準定位，而且在到達目標位置時可以抑制負載擺動。

機械臂采集的數據訓練樣本集大小為300，測試集樣本大小為100，約為訓練集大小的數據的30%。訓練樣本取值從10開始逐漸遞增，計算模型訓練誤差與測試誤差進行對比繪制學習曲線。訓練誤差計算公式為：

(8)

式中，xtrain表示訓練集回歸的解向量，A表示訓練樣本中關節角度計算出的系數矩陣，b表示訓練樣本關節驅動力矩組成的已知向量。

圖10 誤差仿真曲線

在系統剛開始輸入階躍信號時，柔性關節的輸出位置誤差加大，這是由于關節實際輸出位置信號相對于系統輸入的階躍信號存在一定的滯后引起的，隨著關節輸出位置滯后現象的減弱，位置跟隨誤差便快速見效，這一過程大約需要 0.05～0.2 s 的時間，之后位置跟隨誤差便能夠保持在較小的范圍之內，這可以證明，系統能夠快速對期望位置進行跟蹤，響應速度較快，產生的誤差在允許的范圍之內，因此證明基于力源控制的位置環對關節輸出位置的控制方法的可行性。

4 結束語

基于最小二乘法的機械臂控制實驗顯示，機械臂運動關節位移角的值與實際機械臂運動位移角在同一時間段內的差值小，代表擬合度高，控制機械臂運動精度高。得到了比較大的研究成果，具有重要意義，未來的發展前景廣闊，具有重要的歷史價值、實用價值。