基于火箭殘骸實時定位信息的落點計算模型

(西昌衛星發射中心，四川 西昌 615000)

0 引言

隨著陸地火箭落區地方經濟發展、人口增加和基礎設施建設，需要保護和關注的重要目標和重點部位越來越多，對殘骸快速回收的要求也越來越高。然而，由于殘骸落點計算精度不高，地面搜索范圍較大，嚴重制約了殘骸搜索回收的工作效率。

為減輕航天發射任務落區工作負擔，提升落區應急處置速度，亟需建設一套火箭殘骸回收系統。即在火箭分離體上(分離后稱為殘骸)安裝有衛星導航定位以及發送定位數據的殘骸自定位裝置，利用北斗短報文實時發送殘骸在空中的位置、速度信息，當殘骸到達預定高度后，則進入傘控或舵控等可控墜落回收模式。

通過殘骸墜落幾次實測試驗表明，當殘骸高速進入稠密大氣層后，其自定位裝置可靠性不高，獲取的有效定位信息較少甚至會完全失聯，嚴重后果會導致殘骸失控失聯以致地面搜尋不到殘骸。進入稠密大氣層前，殘骸自定位裝置工作穩定可靠。

本文基于工程實際經驗和需求，以能夠收到50 km高度殘骸自定位信息為前提，研究建立一種精簡的適用型精確落點計算模型，實現殘骸墜落過程中在預定高度落點位置的快速精準計算。模型的工程應用價值在于，當殘骸自定位裝置工作異常后，模型可以實現預定高度(傘控或舵控工作點)落點位置精確計算，再根據傘控或舵控的可控墜落軌跡即可準確獲取殘骸的落地位置，從而實現快速回收。根據火箭殘骸回收系統工程實際應用需求，要求模型計算精度為 ：50 km高度以下，高度相差20 km以內的預測落點位置偏差不大于1 km。

1 火箭殘骸墜落過程的彈道特性分析

真實環境下火箭墜落過程的彈道非常復雜，受很多因素干擾，包括空氣動力、空間目標特性、地球物理攝動影響、地球扁率和旋轉等因素。其中空氣動力又包括大氣風場力和空氣阻力，由于火箭在無控墜落過程中速度非常大，因而受空氣阻力影響很大，而受大氣風場力影響較小[1-2]。

圖1 墜落段運動參數隨時間的變化規律

在彈道頂點，空氣非常稀薄，而且速度也非常小，空氣阻力接近為零，地球引力垂直于空氣阻力，可認為此時火箭速度達到最小。當火箭飛行過頂點后，地球引力的切向分量與速度方向相同，而與阻力方向相反。由于引力的作用較阻力大，速度逐漸增大。隨著火箭高度的降低，空氣密度逐漸增大，空氣阻力也在增大，當空氣阻力與地球引力的切向分量再次相等時，此時的速度達最大值。隨著飛行高度的急劇下降，空氣密度急劇增加，空氣阻力也相應地增加很快，加速度絕對值增大，速度不斷減小。之后因速度減小，阻力也減小，同時也因速度傾角的絕對值增大，引力的切向分量增大，故加速度又有所回升，但仍為負值。

由以上分析可知，當火箭高速進入稠密大氣層，由于空氣阻力的作用，加速特性變化劇烈的氣動加熱和復雜的大氣環境會產生較大的落點偏差。因此，在火箭的落點計算中加入空氣阻力模型對提高落點計算精度是非常有必要的。

2 落點計算模型

2.1 建立運動微分方程

根據墜落過程的彈道特性分析，忽略大氣風場力，考慮空氣阻力的影響，火箭飛行速度為V對當地水平線的傾角為θ，空氣阻力為X，墜落過程的運動特性如圖2所示。

圖2 考慮空氣阻力的墜落段運動特性

墜落段動力學運動微分方程組為[3]：

(1)

當火箭以高速進入稠密大氣層時，在巨大的空氣阻力作用下，將有一個較大的負加速度，速度會急劇下降。實踐表明，火箭墜入50 km以下大氣層，空氣阻力均遠遠大于引力，而且加速度g變化較小，可將其視為常數。

X=CxSmρV2/2

(2)

Cx為空氣阻力的阻力系數，不但與飛行速度有關，而且由于實際大氣存在粘性，空氣阻力中還含有比重不大的粘性摩擦阻力，粘性摩擦阻力隨著高度的增大而減少，因此阻力系數應是速度與高度的函數[6]。但是阻力系數在50 km高度以下的墜落過程中變化很小，若視為變量模型將非常復雜，因此，為簡化模型，實現模型的可解性和適用性，本文應用于殘骸回收系統的落點計算模型的阻力系數視為一個定量，可通過試驗數據擬合求得。

而火箭的質量m，為火箭殘骸的總質量減去燃料的消耗量。殘骸墜落過程的空間面積特性變化非常復雜，但由于墜落速度很快，受空氣阻力很大，必然致使殘骸姿態趨近速度方向，因而殘骸的阻力受力面積Sm取最小截面積。

2.2 過程參數計算

以殘骸墜落過程實時自定位位置、速度信息[xkykzkvxkvykvzk]為模型彈道參數點的輸入，墜落飛行速度V、速度傾角θ、地心徑向距離r，計算式如下[7]：

(3)

對于墜落段飛行時間、射程角t、β的計算，可根據所求解出的條件，采用時域有限積分算法，選取一定的時間步長逐步積分算出最終結果。“龍格—庫塔”法是一種在工程上應用廣泛的高精度單步積分算法，采用四階“龍格—庫塔”法，以數據采樣點頻率為步長進行數值積分計算。

四階“龍格—庫塔”法需要進行四次計算，是可以自啟動的單步法，需要存儲的數據量少，計算精度較高。取時間步長為h，其基本公式如下[8-9]：

(4)

以中心機數據采樣率為基準，取時間步長τ=0.05s，以火箭墜落過程實測的彈道參數點數據(自定位速度、位置信息)為初值，采用四階“龍格—庫塔”法實現火箭墜落段的計算，具體實現方法如下：

對于墜落段射程角，利用三角正弦定理計算得到，βi初值為0，計算式如下：

(5)

(2)判斷控制：單步計算的結果作為下一步計算的初值，按此策略順序計算，其落點判斷控制為r

2.3 落點參數計算

模型建立和落點計算以收到高度50 km以下的殘骸自定位數據為輸入。考慮到火箭墜落段高度50 km以下，彈道傾角較大，射程較近，地球攝動以及形體扁率影響很小，可忽略不計，模型不做地球攝動和扁率修正。以β為最終射程角，通過球面三角形公式求得經緯度。

落點位置的地心緯度φc：

(6)

式中，φk是用于模型計算的彈道參數所在位置的地心緯度，σk是起始位置的彈道參數點的速度偏航角，σkc是用于模型計算的彈道參數點至落點方位角，J2為地球引力場二階帶球諧系數，ae為地球赤道半徑，P是地球橢圓的焦準距。

預定高度的落點位置與用于模型計算彈道參數點的經度之差：

(7)

最終獲得落點位置的大地經緯度為：

(8)

其中：Lk是用于模型計算的殘骸自定位信息的彈道參數點大地經度。

3 模型驗證及分析

3.1 精度分析方法

模型的精度檢驗以模型計算的落點和實際測量的落點位置之間的距離ΔS作為評價參數。若模型計算的落點經緯度為(Lc,Bc),而實際落點為(Lo,Bo),那么兩點之間的距離ΔS可由下述公式得到[10]：

(9)

3.2 精度驗證分析

關于火箭殘骸墜落過程的自定位數據，目前基于火箭殘骸回收系統的先期試驗，獲得了兩個型號火箭殘骸墜落過程中相對比較完整的北斗短報文實測自定位數據，采用實測數據對模型進行精度驗證。

1)型號Ⅰ數據驗證：

型號Ⅰ火箭殘骸自定位數據通過北斗短報文下傳的實測數據較少，因早期殘骸自定位裝備可靠性不高，高度50 km以下只獲取高度40 km左右至10 km左右的數據。對模型的驗證可基于高度40、30、20 km左右的實測數據，代入模型計算獲得較低高度的預測落點，并與較低高度的實測落點(經緯度)進行比較來分析模型精度，即是模擬利用墜落過程中自定位數據通過模型計算預定高度(傘控或舵控工作點)的落點位置。其中，模型中阻力系數Cx可近似取值為常數，基于實測數據通過正交擬合法求得為0.2，溫度設定為30 ℃。

(1)以高度10 km左右的實測位置為落點參照：以高度40、30、20 km左右的實測數據為模型輸入數據，利用建立的模型計算高度10 km的落點位置，與高度10 km實測位置進行比較計算偏差，以偏差大小評價模型精度，計算的落點結果比較如圖3所示(圖中方形為實測位置，菱形為計算位置，下同)。

以高度40 km左右的實測數據為輸入，通過模型計算高度10 km左右的落點位置與實測位置偏差1.36 km；以高度30 km左右的數據，計算高度10 km左右的落點位置偏差為0.92 km；以高度20 km左右的數據，計算高度10 km左右的落點位置偏差為0.78 km。

(2)以高度30、20 km左右的實測位置為落點參照：以高度40、30 km左右的實測數據為輸入，計算高度20 km左右的落點位置偏差；以高度40 km左右的數據，計算高度30 km左右的落點位置偏差。計算的落點結果比較如圖4所示。

以高度40 km左右的實測數據為輸入，通過模型計算高度20 km左右的落點位置與實測位置偏差0.52 km；以高度30 km左右的數據，計算高度20 km左右的落點位置偏差為0.14 km；以高度40 km左右的數據，計算高度30 km左右的落點位置偏差為0.97 km。

圖3 型號I火箭殘骸以高度10 km左右的實測位置為落點參照的計算結果比較

圖4 型號I火箭殘骸以高度30、20 km左右的實測位置為落點參照的計算結果比較

結果分析為：高度相差10 km，計算的位置與實測位置平均偏差為0.63 km；高度相差20 km，平均偏差為0.72 km；高度相差30 km，偏差為1.36 km。

2)型號Ⅱ數據驗證：

型號Ⅱ火箭殘骸自定位數據獲取較完整，且在預定高度采用了傘控墜落模式，按照設計的可控墜落軌跡墜落到預定地點。為與型號Ⅰ火箭對比分析模型精度，仍選用高度40 km左右至10 km左右的數據對模型精度進行驗證。其中，模型中阻力系數Cx基于實測數據通過正交擬合法求得為0.194，溫度設定為20 ℃。計算結果如圖5～6所示。

圖5 型號Ⅱ火箭殘骸以高度10 km左右的實測位置為落點參照的計算結果比較

圖5中，以高度40 km左右的實測數據為輸入，通過模型計算高度10 km左右的落點位置與實測位置偏差1.27 km；以高度30 km左右的數據，計算高度10 km左右的落點位置偏差為0.82 km；以高度20 km左右的數據，計算高度10 km左右的落點位置偏差為0.45 km。

圖6中，以高度40 km左右的實測數據為輸入，通過模型計算高度20 km左右的落點位置與實測位置偏差0.66 km；以高度30 km左右的數據，計算高度20 km左右的落點位置偏差為0.21 km；以高度40 km左右的數據，計算高度30 km左右的落點位置偏差為0.87 km。

圖6 型號Ⅱ火箭殘骸以高度30、20 km左右的實測位置為落點參照的計算結果比較

結果分析為：高度相差10 km，計算的位置與實測位置平均偏差為0.51 km；高度相差20 km，平均偏差為0.74 km；高度相差30 km，偏差為1.27 km。

3.3 分析小結

通過以上對型號Ⅰ、Ⅱ火箭殘骸墜落過程實測數據的計算分析驗證可知，代入模型計算的實測自定位數據，高度相差越小，計算落點位置與實測位置越接近，模型預測精度越高，且高度越低模型預測精度越高。而且計算結果表明，模型對于50 km高度以下高度相差20 km以內的落點位置預測，偏差均小于1 km，而且通過殘骸墜落幾次實測試驗表明，殘骸自定位裝備已穩定可靠，能夠保證40 km以上墜落過程中實時自定位信息的完整獲取。模型適用性很好，滿足火箭殘骸回收系統工程指標要求。

該模型基于殘骸墜落過程的實時自定位信息可實現落點的精確預測，不僅能夠應用于自定位裝置異常情況實現預定高度落點位置精確計算，也能推廣應用至當傘控或舵控故障情況下實現殘骸落點1 km以內的精確預測，大大減少殘骸搜索回收的工作量。同時，模型可推廣應用至基于可靠的彈道測量數據對火箭落點進行精確的預測計算。

另外，從位置偏差可以看出，落點預測誤差呈現無規律性，主要原因是存在高空風影響。模型計算過程中忽略了高空風影響，未進行地球攝動和扁率修正，阻力系數也為近似擬合值，但最終計算結果較為理想。可深入研究，在模型中加入高空風的大氣風場力，并輔以地球攝動、扁率等因素的精確修正，從而進一步提升模型的落點位置預測精度。

4 結束語

基于火箭殘骸回收系統工程需求，通過對火箭殘骸墜落過程的彈道特性分析，建立了考慮空氣阻力的動力學落點計算模型，模型以殘骸墜落過程中的實時自定位信息為輸入，以四階“龍格—庫塔”法求模型運動微分方程解。最后基于火箭殘骸墜落實測數據對模型驗證分析。

分析結果表明，實時任務中若能獲得預定高度以上20 km以內的殘骸自定位數據，預定高度落點位置的預測精度可達到1 km以內。建立的基于火箭殘骸墜落過程中實時定位信息的落點計算模型簡化適用、精準有效，計算結果較為理想，非常適合應用于火箭殘骸回收系統中，對墜落過程中的傘控或舵控工作點位置進行精確預測，從而最終實現殘骸的快速回收，可大大縮小落區搜索范圍，提高工作效率。而且模型擴展性好，可推廣應用其他場景需求，通過模型精度可進一步研究提升。