Menger PM-空間中循環R-壓縮映射的不動點定理

劉孟遞，吳照奇，朱傳喜

(南昌大學數學系，江西 南昌 330031)

1 引言與預備知識

Menger在20世紀40年代引入了概率度量空間(簡稱PM-空間)的概念，為概率分析[1-2]這一新分支奠定了基礎。此后很多學者致力于研究概率度量空間理論，并且試圖應用它來解決其他的數學問題[3-6]。隨著研究的深入，關于Menger PM-空間中非線性算子的不動點問題研究在近年來取得了豐富的成果[7-17]。

首先回顧Menger PM-空間中的一些基本概念和性質。

記D為一切分布函數全體所組成集合，H表示如下特定的分布函數：

定義1.1[6]若映射滿足以下條件：Δ:[0,1]×[0,1]→[0,1]滿足以下條件：

(Δ-1)Δ(a,1)=a;

(Δ-2)Δ(a,b)=Δ(b,a);

(Δ-3)Δ(a,c)≥Δ(b,d),?a≥b,c≥d;

(Δ-4)Δ(a,Δ(b,c))=Δ(Δ(a,b),c)。

則Δ稱為三角范數(簡稱t-范數)。

t-范數的典型例子是Δmin，定義為Δmin(a,b)=min{a,b}，對一切a,b∈[0,1]。

定義1.2[6]若X是非空集，Δ是t-范數，F是從X×X到D的映射，且滿足(記F(x,y)為Fx,y)：

(PM-1)Fx,y(0)=0;

(PM-2)Fx,y(t)=H(t),?t∈R當且僅當x=y;

(PM-3)Fx,y(t)=Fy,x(t),?t∈R;

(PM-4)Fx,y(t+s)≥Δ(Fx,z(t),Fz,y(s))對一切x,y,z∈X和t,s≥0成立。

則稱三元組(X,F,Δ)為Menger概率度量空間(簡稱Menger PM-空間)。

在本文中，Pcl(X),N,N0,R和R+分別表示Menger PM-空間(X,F,Δ)的非空τ-閉子集全體所成集合、正整數集、非負整數集、實數集和正實數集。

Boyd和Wong在文[18]中引入了如下函數類的概念。

定義1.3[18]若函數φ:[0,+∞)→[0,+∞)是右上半連續函數且φ(t)0成立，則稱φ是Boyd-Wong函數。

對于X上的自映射f，若對一切x,y∈X及t>0，有Ffx,fy(t)≥Fx,y(φ(t))，其中φ是Boyd-Wong函數，則稱f是Boyd-Wong壓縮。

Khojasteh等人在文[19]中引入了模擬函數的概念，Shahzad等人為了便于驗證Boyd-Wong函數是模擬函數，在文[20]中改進了模擬函數的概念。同時，文[20]也引入了如下的R-函數的概念。下面，我們將R-函數的概念推廣到Menger PM-空間中。

定義1.4設A?R為一非空集，如果函數ρ:A×A→R滿足如下兩個條件：

則稱ρ是R-函數。

此外，Abbas等人在文[21]中給出了度量空間中R-壓縮的概念，我們將其推廣到Menger PM-空間中。

定義1.5[21]設(X,F,Δ)是Menger PM-空間，f是X上的自映射，如果存在ρ∈RA使得ran(F)?A和ρ(Ffx,fy(t),Fx,y(t))>0對一切x,y∈X且x≠y成立，其中RA是滿足條件(ρ1)和(ρ2)的函數ρ:A×A→R的全體構成的集合，ran(F)是F的值域，定義為ran(F)={Fx,y(t):x,y∈X且t>0}?[0,1]，則稱f是R-壓縮。

Kirk在文[22]中給出了如下定義。

定義1.6[22]設X是非空集，p是正整數，f是X上的自映射。如果{Bi:i=1,2,…,p}是X中的有限個非空子集構成的集合，使得

f(B1)?B2,f(B2)?B3,…,f(Bp-1)?Bp,f(Bp)?B1,

Kirk[22]等人在度量空間中引入了循環φ-壓縮的概念。我們現在將其推廣到Menger PM-空間中。

受上述定義啟發，我們給出如下Menger PM-空間中循環R-壓縮的概念，它是文[21]中定義1.15(考慮的是度量空間)的推廣。

(ⅰ)存在ρ∈RA,ran(F)?A；

(ⅲ)ρ(Ffx,fy(t),Fx,y(t))>0，對一切x∈Bi,y∈Bi+1,x≠y,1≤i≤p成立，其中Bp+1=B1。

則稱f是循環R-壓縮。

借助于這一概念，本文將證明Menger PM-空間關于循環R-壓縮的新的不動點定理，這一結果是文[21]及其他相關文獻中定理的推廣，并且豐富了Menger PM-空間中循環壓縮映射的不動點理論。

2 主要結果

在本節中，我們給出Menger PM-空間中關于循環R-壓縮的一個新的不動點定理。

ρ(Ffxn-1,fxn(t),Fxn-1,xn(t))=ρ(Fxn,xn+1(t),Fxn-1,xn(t))>0,?n∈N，

由R-函數的性質(ρ1)，有

(2.1)

下證{xn}是τ-柯西列。用反證法，假若不然，則存在ε0>0和λ0∈(0,1]，使得對一切k∈N，存在兩個子列{xmk}和{xnk}(nk≥mk≥k)滿足

Fxmk,xnk(ε0)≤1-λ0

不失一般性，可假定nk是確保上式成立并且大于mk的最小整數。選取jk∈{1,2,…,p}使得nk≥mk≥mk-jk且nk屬于mk-jk+1的剩余類。則xmk-jk和xnk在不同的相鄰集Bi和Bi+1中，其中i∈{1,2,…,p}。于是有

Fxmk-jk,xnk(ε0)≤1-λ0且Fxmk-jk,xnk-2(ε0)>1-λ0,?k∈N

(2.2)

對于任意滿足δ1+δ2<ε0的δ1,δ2∈(0,ε0)，有

Fxmk-jk,xnk(ε0)≥Δ(Fxmk-jk,xnk-2(ε0-δ1-δ2),Δ(Fxnk-2,xnk-1(δ1),Fxnk-1,xnk(δ2)))

(2.3)

令k→∞，由(2.1)式，可得

令δ1,δ2→0，由分布函數的左連續性和(2.2)式，可得

和

由此可得

(2.4)

類似地，對于任意滿足δ1+δ2<ε0的δ1,δ2∈(0,ε0)，有

Fxmk-jk,xnk(ε0)≥Δ(Fxmk-jk,xmk-jk-1(δ1),

Δ(Fxmk-jk-1,xnk-1(ε0-δ1-δ2),Fxnk-1,xnk(δ2)))

(2.5)

和

Fxmk-jk-1,xnk-1(ε0)≥Δ(Fxmk-jk-1,xmk-jk(δ1),Δ(Fxmk-jk,xnk(ε0-δ1-δ2),Fxnk,xmk-1(δ2)))

(2.6)

在(2.5)式和(2.6)式中，令k→∞，由(2.1)式和(2.4)式以及分布函數的左連續性，可得

由上式可得

(2.7)

結合(2.2)式，(2.4)式和(2.7)式，可得

ρ(Ffxmk-jk-1,fxnk-1(ε0),Fxmk-jk-1,xnk-1(ε0))=

ρ(Fxmk-jk,xnk(ε0),Fxmk-jk-1,xnk-1(ε0))>0

由R-函數的性質(ρ2)，可得1-λ0=1，即λ0=0，這與條件λ0>0矛盾。因此，{xn}是(X,F,Δ)中的τ-柯西列。

固定i∈{1,2,…,p}，使得x*∈Bi和fx*∈Bi+1。由上述證明過程，可選取序列{xn}的子列{xnj}，使得xnj∈Bi-1。因此

ρ(Ffx*,fxnj(t),Fx*,xnj(t))=

ρ(Ffx*,xnj+1(t),Fx*,xnj(t))>0,?j∈N

由R-函數的性質(ρ2)，可得

(2.8)

注意到

ρ(Ffx*,fy*(t),Fx*,y*(t))>0

3 例子

f1=f2=4,f3=f4=3

又定義ρ:[0,1]×[0,1]→R為

則ρ∈RA，即ρ是R-函數。事實上，設{an(t)}?(0,1]，使得ρ(an+1(t),an(t))>0，?n∈N,t>0成立，則an+1(t)>an(t)，且

進一步地，容易驗證ρ(Ffx,fy(t),Fx,y(t))>0,?x∈B1,y∈B2,x≠y及t>0成立，且ρ(Ffx,fy(t),Fx,y(t))>0,?x∈B2,y∈B1,x≠y及t>0成立。