不確定參數對約束阻尼板振動特性的影響分析

陳靜月

（200093上海市 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

粘彈性阻尼材料具有良好的減振降噪性能，廣泛應用于汽車領域，以提高車輛的NVH性能[1]。此類應用的特點是，粘彈性阻尼材料被插入到金屬或復合材料的基本彈性層之間組成約束阻尼板結構。在傳統的約束阻尼板結構分析中，材料參數均在確定的情況下，然而由于生產、制造、裝配過程中不可避免的誤差，約束阻尼板結構各層的幾何參數和物理參數均表現出顯著的不確定性[2]，此類不確定性會造成分析誤差大，影響其減振性能[3]，所以，探究不確定參數對結構振動性能的影響具有重要意義。

阻尼材料的頻變特征是約束阻尼結構的重要特征，對其性能有著重要影響。易少強[4]等采用模態應變能迭代法，研究粘彈性材料的頻變依賴性和溫度依賴性對約束型墊高阻尼材料的抗振性影響；Ledi[5]等提出一種逆迭代法，求解具有頻率依賴特性的約束阻尼梁結構的模態參數。

目前，對約束阻尼結構的不確定分析尚處于起步階段，主要集中在對約束阻尼梁等簡單結構不確定性傳播研究。Hernández W P等[6]研究粘彈性本構參數及厚度不確定對約束阻尼梁結構模態參數的影響，結果表明，粘彈性層厚度對固有頻率和阻尼比影響最大。Hamdaoui M[7]等引入模態穩定理論（MSP）結合蒙特卡洛法分析不確定參數對約束阻尼梁結構的固有頻率和阻尼比的影響。對于約束阻尼板結構不確定性傳播分析較少，所以，本文以約束阻尼板結構為研究對象，采用有限元法建立其動力學模型并進行有限元分析，考慮粘彈性材料的頻變特性，采用迭代法求解模態參數。用概率模型表征結構輸入參數的不確定性，采用蒙特卡洛法分析不確定性參數對具有頻變依賴特性的約束阻尼板結構振動性能的影響。

1 動力學建模和有限元分析

采用有限元法建立約束阻尼（CLD）板的動力學模型。圖1為所采用的二維、四節點復合單元模型，由基板層、粘彈性層和約束層組成。每個節點有7個自由度，分別是約束層中性面沿x，y方向的位移uc，vc，基板層中性面沿x，y方向的位移ub，vb，復合單元的橫向位移w，以及繞x軸，y軸的轉動自由度wx，wy。根據板殼理論以及能量法，可得CLD板結構動力學方程[8]如下：

式中：M——質量矩陣；K——剛度矩陣；X——位移矩陣；F——外力矩陣。

模態參數（固有頻率、阻尼比）可通過求解自由振動時的特征值獲得，則將式（1）轉化為

圖1 約束阻尼板的動力學模型Fig.1 Kinematic model of constrained layer damping plate

式中：λ——特征值；φ——特征向量。

由于粘彈性材料的頻變特性，其剪切模量隨頻率的變動而變動[9-10]，致剛度矩陣K隨頻率變化而變化。式（2）求解非線性特征值問題，其解很難獲得。本文采用迭代法[3]求解式（2），具體求解流程如圖2所示。

圖2 迭代法求解非線性復特征值Fig.2 Iterative method for solving complex nonlinear eigenvalues

2 不確定性的量化

為了探究不確定參數對結構固有特性的影響，需對輸入不確定參數進行量化，尋找隨機變動參數的概率特征以便探尋其對響應輸出的影響。輸入不確定參數有約束阻尼板結構各層的物理參數和幾何參數，記為φ=[X1，…，Xn]T∈RN，輸出響應有固有頻率和阻尼比，記為ψ=[Y1，Y2]T。若輸出響應與隨機輸出變量間滿足非線性關系，表達式為ψ=f（φ），則輸出的概率特征為

式中：π（φ）——輸入參數的概率密度分布；π（ψ）——輸出響應的概率密度分布；E（ψ）——輸出響應的期望值。

由于輸入與輸出間的非線性算子f很難用解析式表達，且式（3）需要進行多維積分，所以很難獲得輸出響應的概率特征。本文采用直接蒙特卡洛取樣仿真法計算輸出響應的概率特征[11]：

式中：n——取樣總數；μ——平均值；σ——標準差。

不確定參數的變異系數定義為CV=σ/μ×100%，由文獻[12] 知幾何參數的變異系數范圍為1%～10%，材料物理參數的變異系數范圍為5%～10%。

3 算例分析

約束阻尼板結構各層材料參數如表1所示。中心層粘彈性材料選用3M ISD112，其頻變特性如圖3所示。在27 ℃下，剪切模量頻變模型表達式如下[13]：

式中：G0——滯彈性剪切模量（shear modulus of delayed elasticity），G0=0.5×106Pa；Δj，Ωj——擬合參數，其值如表2所示。

表1 約束阻尼板結構各層材料參數Tab.1 Material parameters of CLD/plate

圖3 粘彈性阻尼材料3M ISD112的頻變特性Fig.3 Frequency-dependent characters of viscoelastic damping material 3M ISD112

表2 粘彈性阻尼材料3M ISD112在27 ℃下頻變模型參數Tab.2 Model parameters of viscoelastic damping material 3M ISD112 at 27 ℃

采用直接蒙特卡洛法分析不確定參數對約束阻尼板結構振動特性的影響，不確定性參數的概率特征如表3所示。將不確定參數劃分為4種情況，分別分析其對固有頻率和阻尼比的影響，計算固有頻率和阻尼比的平均值、方差、變異系數，并畫出概率密度分布圖。

表3 不確定參數概率特征Tab.3 Probabilistic features of uncertain parameters

情況1是考慮粘彈性層本構參數的不確定性，情況2是在情況1的基礎上增加粘彈性層厚度不確定，情況3是約束層本構參數不確定，情況4是在約束層本構參數不確定的基礎上增加約束層厚度不確定。

圖4—圖7分別為4種不確定參數類型下，約束阻尼結構前4階模態的固有頻率和阻尼比的概率密度分布圖。結果表明，固有頻率和阻尼比的波動服從高斯分布，且其均值與確定性參數得到的結果一致。

圖4 粘彈性層本構參數的不確定傳播Fig.4 Uncertain propagation of viscoelastic constitutive parameter

圖5 粘彈性層本構參數和厚度的不確定傳播Fig.5 Uncertain propagation for viscoelastic constitutive parameter and thickness

圖6 約束層本構參數的不確定傳播Fig.6 Uncertain propagation for constitutive parameter of constrained layer

圖7 約束層本構參數和厚度的不確定傳播Fig.7 Uncertain propagation for constrained constitutive parameter and thickness of constrained layer

表4—表7分別為4種不確定參數類型下，約束阻尼結構前4階模態的固有頻率和阻尼比的均值、標準差及變動系數。比較表1和表2、表3和表4，變動系數增長，表明粘彈性層厚度和約束層的厚度變動對結構振動特性均有影響，且約束層厚度變動影響更大；比較表1和表3，可得到約束層本構參數的變動對振動特性的影響更大。從表4—表7中均可得到不確定參數對固有頻率的影響小于對阻尼比的影響。

表4 粘彈性層本構參數不確定結果Tab.4 Result for for viscoelastic constitutive parameter

表5 粘彈性層本構參數和厚度不確定結果Tab.5 Result for viscoelastic constitutive parameter and thickness

表6 約束層本構參數不確定結果Tab.6 Result for constitutive parameter of constrained layer

表7 約束層本構參數和厚度不確定結果Tab.7 Result for constrained constitutive parameter and thickness of constrained layer

從研究結果看，不確定隨機參數對固有頻率和阻尼比的影響是顯著的，尤其對阻尼比的影響較大，其中，約束層本構參數和厚度參數不確定性對模態參數的影響最大。

4 總結

在本文中，用概率模型表征不確定參數，采用直接蒙特卡洛法分析輸入不確定參數對約束阻尼板結構模態固有頻率和阻尼比的影響。結果表明：模態固有頻率和阻尼比的波動都服從高斯分布，且均值與確定性參數所得到的結果一致；模態固有頻率的波動程度小于阻尼比的波動程度。通過對比不同類型的不確定參數得到約束層本構參數和厚度均不確定時，對模態參數的影響最大。