我國黃金期貨最小CVaR動態套期保值模型研究

程潘紅 許墨函

摘要：文章以CVaR最小為套期保值目標，考慮到黃金期現貨價格序列間的長期均衡關系及黃金期現貨收益率“尖峰厚尾”和“波動聚集”的特性，建立ECM-t-BGARCH模型，結合我國黃金期現貨日對數收益率數據，對模型進行實證研究。結果表明，當套期保值資產組合收益率服從正態分布時，綜合考慮套保有效性與單位風險收益兩方面，最小CVaR套期保值模型優于最小方差和最小VaR模型，能夠很好地規避現貨風險。

關鍵詞：最小CVaR套期保值;黃金期貨;ECM-t-BGARCH模型

一、引言

套期保值是期貨的一個主要功能。運用期貨對現貨進行套期保值操作的關鍵在于采用有效方法確定最優套保比率，即每一單位現貨頭寸所需的期貨頭寸，以取得較好的套期保值效果。張瑞穩（2019）等構建GARCH-CVaR動態套期保值模型，研究了我國滬深300股指期貨對股票組合的最優套保比率，并運用Ederington（1979）測度方法對套期保值有效性進行評價。任仙玲（2020）等基于Copula分位數構建skew-t-GARCH（1，1）模型來研究兩種不同原油市場狀態下的套保比率及套保效果。

本文在假定套期保值資產組合收益率服從正態分布的條件下，將描述序列之間存在長期均衡關系的誤差修正模型（ECM）與刻畫“尖峰厚尾”和“波動聚集”特性的二元波動率預測模型（t-BGARCH）相結合，計算以最小CVaR為套保值目標的我國黃金期貨套保比率，并與最小方差、最小VaR套期保值模型進行對比分析。

二、理論模型

（一）條件風險價值（Conditional Value at Risk，CVaR）

CVaR是指在特定的期限內、一定的置信水平1-α下，某證券組合的損失超過風險價值（Value at Risk，VaR）的條件均值。其數學表達式為CVaRα（X）-E（X|X≤-VaRα（X））。這里VaRα（X）表示在置信水平1-α下資產組合收益率在未來一段時間內的最大可能損失，用公式可表示為P（X≤-VaRα（X））=α。

考慮一個由一單位現貨頭寸和h單位期貨頭寸構成的套期保值組合，其中h為套期保值比率。設RS，RF分別為現貨和期貨的對數收益率，則期現貨組合的收益率RH=RS-hRF。

設該資產組合收益率RH服從正態分布，則

VaRα（X）=hμF-μS-σHΦ-1（α），CVaRα（X）=hμF-μS-σHkα

其中，μH=E（RH）=μS-hμF為資產組合的期望收益率，μS、μF分別表示現貨和期貨的期望收益率，σ=σ-2hσSF+h2σ為資產組合收益率的方差，σ為現貨收益率的方差，σ為期貨收益率的方差，σSF=ρσSσF表示期現貨收益率序列的協方差，Φ-1（α）為標準正態分布α的分位數，kα=-exp（-）/（α）。

對VaRα（X）、CVaRα（X）式分別關于h求一二階導數，得最小化VaR和CVaR的套期保值比率分別為

h=-，h=-

（二）ECM-t-BGARCH模型

本文研究黃金期貨對黃金現貨的最優套期保值問題，因此綜合考慮期現貨價格序列間的長期均衡關系及其收益率的“尖峰厚尾”和“波動聚集”的特性，我們構建ECM-t-BGARCH模型。簡單的ECM-t-BGARCH（1，1）模型可表達為：

條件均值方程：RS（t）=cS+ecm（-1）+εS（t），RF（t）=cF+ecm（-1）+εF（t），

條件方差方程：σ（t）=wS+αSε（t-1）+βSσ（t-1），σSF（t）=ρσS（t）σF（t），σ（t）=wF+αFε（t-1）+βFσ（t-1）。

這里誤差序列εS（t）、εF（t）服從t分布，ρ為兩誤差序列的相關系數，ecm（-1）為誤差修正項。對于該模型中的參數可以采用最大似然估計得到。

（三）套期保值有效性評價

為評價模型的套期保值效果，本文選用Ederington率先提出的方差降低百分比法。主要思想是：構建現貨與期貨的資產組合，套期保值資產組合的方差相比套保前的方差降低多少，其計算公式為He=。由σ=σ-2hσSF+h2σF，則He=。

三、 實證分析

（一）樣本數據選取與處理

選取黃金期貨與現貨自2018年1月2日至2019年4月30日的日收盤價數據，除去節假日及缺失數據，并將黃金期現貨數據進行配對處理，得到320組有效樣本。為保證黃金期貨價格樣本數據的連續性，選用黃金期貨主連合約之日收盤價，得到黃金期貨價格的對數序列F，數據來源于同花順IFind數據庫。現貨價格數據選取的是上海黃金交易所Au9999日收盤價，得到黃金現貨價格的對數序列S。為降低原始數據的波動性，分別對黃金期現貨價格的對數序列進行差分處理，得到319組日對數收益率數據，分別記為RF，RS。

下面對黃金期貨日對數收益率數據RF、現貨日對數收益率數據RS進行統計分析。首先，觀察黃金期貨與現貨的價格走勢，發現兩者的整體變動趨勢保持一致。并且經計算得到黃金期貨與現貨價格序列的相關系數達 97.8%，說明黃金期貨與現貨具有很強的相關性。因此，預計運用黃金期貨對現貨進行套保能夠取得較好的效果，從而達到規避風險的目的。

其次，對RF，RS的基本統計特征進行簡要描述，結果如表1所示。

由表1中偏度、峰度及J-B統計量的值可以看出，在樣本時間段內黃金期現貨收益率序列具有“尖峰厚尾”特性，因此拒絕黃金期現貨收益率序列服從正態分布。由表1中VaR和CVaR的值可知，在置信水平95%的條件下，樣本期內投資黃金現貨的日最大損失在0.6%以上，極端情形下的平均損失在0.8%以上，風險不容小覷。所以，當黃金現貨市場風險較大時，可以選擇黃金期貨對現貨進行套保以達到規避現貨損失的目的。

最后，對黃金期現貨價格的對數序列做平穩性和協整檢驗。通過ADF檢驗發現：我國黃金期現貨價格的對數序列均為一階單整序列。因此，可以采用E-G兩步法對價格序列S和F進行協整檢驗。通過檢驗發現序列S和F存在長期均衡關系，于是建立含有誤差修正項的RS和RF的誤差修正模型（ECM），模型表示為：

RS（t）=0.000042+0.832736RF（t）-0.062498ECM（-1）+εt

經測算，F統計量及其P值分別為719.3506和0.000000，調整的R2為0.818773，因此該回歸模型整體上是系數顯著的且擬合度較好。

對該模型的殘差進行ARCH LM檢驗，以此來確定是否可以建立ECM-BGARCH模型經測算，F和LM統計量均顯著，ECM模型殘差序列存在明顯的ARCH效應，因此可以建立ECM-BGARCH模型。又黃金期現貨日對數收益率序列拒絕服從正態分布，故本文采用ECM-t-BGARCH模型進行實證研究。

（二）最優套期保值比率的計算

1. 最小CVaR套期保值模型分析

假定組合收益率服從正態分布的條件下，采用ECM-t-BGARCH模型刻畫黃金期現貨收益率“尖峰厚尾”和“波動聚集”的特性，以CVaR最小為套期保值目標，計算每一單位黃金現貨頭寸所需的黃金期貨頭寸。

根據第二部分的理論模型，計算得到兩誤差項的相關系數為，且在置信水平為95%下，最小CVaR套保比率統計性描述如圖1所示。

由圖1可知，基于ECM-t-BGARCH模型計算得到的最小CVaR套期保值比率是一個序列，其均值具有一定的代表性，因此選用其均值0.819142表示一般性套保比率。

綜上，以CVaR最小為套期保值目標，ECM-t-BGARCH模型回歸結果表明用0.819142單位方向相反的黃金期貨頭寸對每一單位黃金現貨頭寸進行套期保值，以規避現貨風險。

2. 對比分析

采用Ederington測度方法比較分析基于ECM-t-BGARCH模型的最小方差、最小VaR和最小CVaR套期保值有效性，對比分析結果如表2所示。

由表2可以看出，最小CVaR、最小VaR在套期保值有效性和單位風險收益方面均優于最小方差套期保值，且在套期保值有效性方面，最小CVaR套期保值方差降低百分比最大，相比較最小方差套期保值提高約1.7%，說明最小CVaR套期保值效果最好。因此，本文建立的基于ECM-t-BGARCH模型的我國黃金期貨最小CVaR套期保值要優于最小方差、最小VaR套期保值模型。

四、結語

本文以CVaR最小為套期保值目標，構建ECM-t-BGARCH模型。實證研究表明，當套期保值組合收益率服從正態分布時，運用CVaR和VaR度量風險的效果是基本相同的，均優于最小方差套期保值。相比較VaR，CVaR是一致風險度量工具，且考慮了套期保值資產組合在極端情況發生時的平均超額損失，因此研究基于ECM-t-BGARCH模型的黃金期貨最小CVaR套期保值模型具有實用價值。

參考文獻：

[1]張瑞穩，趙沁怡.基于GARCH-CVaR的股指期貨套期保值模型的實證分析[J].統計與決策，2019（04）：170-172.

[2]Ederington L.H. The Hedging Performance of the New Futures Markets[J]. Journal of Finance， 1979， 34（01）：157-170.

[3]任仙玲，鄧磊.基于 Copula 分位數回歸原油期貨市場套保模型及效率研究[EB/OL].數理統計與管理. https：//doi.org/10.13860/j.cnki.sltj.20200512-001.

[4]遲國泰，趙光軍，楊中原.基于CVaR的期貨最優套期保值比率模型及應用[J].系統管理學報，2009，18（01）：27-33.

*基金項目：安徽省高校自然科學重點研究項目（KJ2018A0429）;國家級大學生創新創業訓練計劃項目（201810377003）。

（作者單位：滁州學院數學與金融學院）