單向雙軸振動臺與結構相互作用的影響及補償

王巨科， 李小軍， 李芳芳， 李 娜， 張 斌

(1. 北京工業大學 城市建設學部，北京 100124； 2. 中國地震局地球物理研究所，北京 100081；3. 天津城建大學 天津市土木建筑結構防護與加固重點實驗室，天津 300384)

電液振動臺能夠較精確地復現研究對象所受的各種激勵，并被廣泛地應用于工程抗震研究[1-4]、汽車道路模擬[5]及航天振動測試[6]等領域。振動臺與研究結構的相互作用會對振動臺控制造成不利的影響，使得振動臺的使用頻帶降低，激勵復現精度下降等。這種控制與對象(結構)之間的相互作用同樣也存在于機械、航空航天等領域的柔性機械臂[7]、壓電結構[8]，土木工程領域的減隔震裝置[9-10]，以及車輛工程領域的振動控制系統[11]之中。國內外學者在建立了這些領域的系統模型的基礎上，研究影響相互作用的因素，并提出不同的解決方案。研究人員通常從結構系統和控制系統兩方面來開展相互作用的影響因素研究。結構系統的質量[12]、剛度和阻尼[13]等會對相互作用產生一定的影響。同時，控制系統的控制算法[14]和控制策略[15]也是影響相互作用的主要因素。此外，國內外學者從更專業的應用角度分析了影響相互作用的因素，主要有機械臂的柔度[16]、壓電結構的厚度及網格大小、電機驅動系統的齒隙的非線性[17]、風車電機的傳動比[18]、結構振動控制裝置的時滯時變[19]及座椅懸掛系統的剛度和阻尼等。針對控制與結構的相互作用帶來的影響，在機械，航空航天，以及車輛工程等領域，眾多學者提出了不同的結構/控制一體化設計方法[20-22]來改進結構系統和控制系統的設計。目前國內外的一體化設計研究尚不完善，且針對曲殼壓電結構、多電機伺服系統的一體化研究還值得進一步拓展。改進控制系統的設計是土木工程領域減小相互作用的主要措施，建立相互作用的精確模型[23]以及考慮多維度的相互作用[24]是研究工作的重點。

同上述領域中的研究思路基本相同，國內外學者在建立了振動臺與結構的系統模型的基礎上，進一步對影響振動臺控制性能的因素進行了研究。Blondet等[25]研究了結構與振動臺的質量比、結構阻尼比和頻率對控制性能的影響，得到了以下結論：隨著質量比和頻率的增大，在結構自振頻率及周圍的頻段出現的共振峰和反共振峰(峰谷效應)變大，而阻尼比的變化對控制性能產生了與質量比和頻率相反的影響。李喧等[26]研究了N個自由度的結構對控制性能的影響，結果表明：結構的非線性是影響控制性能的主要因素，同時提高振動臺與結構的質量比能夠提升振動臺的控制性能。唐貞云等[27]研究了不同自由度的結構的特性(質量比、阻尼比和頻率)對控制性能的影響，指出結構的頻率對控制性能的影響最大，阻尼比次之，質量最小。此外，研究還得出了以下結論：對于多自由度結構，只需考慮其前幾階振型中起控制作用的振型對控制性能的影響。除了研究不同的結構特性對控制性能的影響外，一些學者從振動臺角度研究了影響控制性能的因素。Maoult等[28]采用有限元驗證了大型振動臺試驗中結構頻率降低的結果，指出了振動臺的臺面變形是產生相互作用的主要原因。Li等[29]建立了雙振動臺臺陣與結構的系統傳遞函數矩陣(transfer function matrix，TFM)，該傳遞函數矩陣包含了每一個振動臺與結構的相互作用的傳遞函數和受相互作用影響的兩振動臺間的耦合作用的傳遞函數，研究結果表明：受相互作用影響的兩振動臺間的耦合作用在結構自振頻率及周圍的頻段會對振動臺的控制性能造成影響。李振寶等[30]在建立了振動臺與結構的系統模型的基礎上，分析了系統在剛性負載設計控制參數和空載設計控制參數下的穩定性，結果表明在空載設計控制參數下的系統穩定性更優。Conte等[31-32]研究了控制參數(proportion intergration differentiation, PID)控制參數、前饋和壓差控制增益)和伺服閥時滯對振動臺傳遞函數影響的敏感性，并指出伺服閥時滯對振動臺的傳遞函數有很大的影響。

在補償振動臺與結構相互作用的控制策略方面，眾多學者采用了離線和實時在線的補償控制策略。Fletcher[33]在得到系統逆傳遞函數的基礎上，通過多次離線迭代修正了控制信號，并提升振動臺的控制性能。然而多次迭代可能對結構本身造成不可恢復的損傷，進而影響試驗結果。Twitchell等[34]通過試驗辨識和校正得到了系統的傳遞函數，并在此基礎上根據系統的逆傳遞函數生成了離線的前置濾波器來修正控制信號，顯著地改善了振動臺在低頻段的控制性能。Dozono等[35]提出一種實時補償的控制策略，該策略根據結構的理論模型計算得到了振動臺與結構的相互作用的傳遞函數，并結合系統的逆傳遞函數生成了補償信號，提升了振動臺的控制性能。唐貞云等根據結構的理論模型近似計算結構反力，提出一種實時反力補償的策略，很好地補償了振動臺與結構的相互作用。Li等采用力反饋的控制策略實時地補償了雙振動臺臺陣與結構的相互作用，該策略采用激振器出力與振動臺所需推力相減的方法得到相互作用力的大小，并與閥控系統的逆傳遞函數相結合，從而得到補償信號。Seki等[36]采用自適應陷波濾波器辨識了非線性結構的動態模型，并在此基礎上實時地補償了振動臺與結構的相互作用。田磐等[37]采用自適應控制器對相互作用所導致的峰谷效應進行辨識，并相應地調整控制信號，從而補償了振動臺與結構的相互作用。Nakata[38]基于結構與振動臺的開環傳遞函數模型，提出了一種實時的加速度軌跡跟蹤控制策略，并通過試驗驗證了該策略對相互作用補償的有效性。Phillips等[39]提出了一種基于模型多參量的控制策略，通過傳遞函數離線迭代獲得前饋輸入信號，并利用線性二次型最優控制在線調節位移和加速度反饋信號的權重占比，從而提升了振動臺的控制性能。

綜上所述，國內外學者在建立了振動臺與結構的系統模型的基礎上，研究了結構(質量、阻尼、頻率、非線性和自由度個數等)和振動臺(臺面變形、振動臺間的耦合作用、控制參數和伺服閥時滯等)對控制性能的影響，并采用了離線補償和實時在線補償的控制策略來補償振動臺與結構的相互作用，提升振動臺的控制性能。但上述研究基本上都是基于單軸振動臺與結構的系統模型開展的，并未考慮相互作用對多軸振動臺各激振器間的耦合作用的影響，進而也未考慮該耦合作用對振動臺控制性能的影響。

本文以單向雙軸振動臺與中心對稱的結構為研究對象，采用軟件MATLAB建立了振動臺與結構的傳遞函數矩陣，研究了結構與振動臺的質量比，結構的阻尼比、頻率，以及結構與振動臺的轉動慣量比對傳遞函數矩陣的影響。研究了相互作用對兩激振器間的耦合作用的影響，以及對振動臺控制性能的影響。在分析了振動臺與結構的傳遞函數矩陣和分離出相互作用的傳遞函數的基礎上，提出一種實時補償的控制策略補償振動臺與結構的相互作用，并分別從頻域和時域驗證所提策略的有效性。

1 單向雙軸振動臺與結構的系統建模

單向雙軸振動臺與結構的系統建模的關鍵在于振動臺在單水平向由兩個激振器推動，二者相互耦合，系統為多輸入多輸出模型。此外，振動臺與結構的轉動慣量應在建模中予以考慮。系統建模的過程主要可分為單向雙軸振動臺與結構的動力學建模和單向雙軸振動臺與結構的液壓及控制系統建模兩步。

1.1 單向雙軸振動臺與結構的動力學建模

為簡化分析，假定結構為單自由度體系，單向雙軸振動臺與結構的整體模型，如圖1所示。同時，不考慮振動臺與連桿支撐之間的剛度和阻尼，則單向雙軸振動臺與結構的動力學模型，如圖2所示。其中：Mt為振動臺臺面質量；Ms為結構質量；K為結構剛度；C為結構阻尼；F1和F2分別為兩激振器出力；xt為振動臺臺面的絕對位移；xs為結構對臺面的相對位移；xts為結構的絕對位移；Fts為振動臺與結構的相互作用力。

圖1 單向雙軸振動臺與結構的整體模型Fig.1 Integral model of the unidirectional twin-axes shaking table and structure

采用李振寶等的分析方法對單向雙軸振動臺與結構進行動力學建模可得

Mts2xt-Fts=[Mt+MsHs(s)]s2xt=F1+F2

(1)

式中，Hs(s)為結構的絕對位移xts和振動臺臺面的絕對位移xt之間的傳遞函數，其表達式為

(2)

圖2 單向雙軸振動臺與結構的動力學模型Fig.2 Dynamic model of the unidirectional twin-axes shaking table and structure

進一步將振動臺與結構的動力學模型簡化為等效模型，如圖3所示。其中：AppL1和AppL2分別為兩激振器的出力；x1為激振器1的位移；x2為激振器2的位移；l為振動臺臺面中心線到激振器的距離；Me為振動臺和結構的等效質量；Je為振動臺和結構的等效轉動慣量；xt為等效質量的位移； φ為等效轉動慣量的運動轉角。

圖3 單向雙軸振動臺與結構的等效模型Fig.3 Equivalent model of the unidirectional twin-axes shaking table and structure

綜上可得單向雙軸振動臺與結構的動力學模型為

(3)

式中，Jt和Js分別為振動臺臺面和結構的轉動慣量。

1.2 單向雙軸振動臺與結構的液壓及控制系統建模

假定激振器1與激振器2的各個參數一致，對單向雙軸振動臺與結構的液壓及控制系統進行建模。依據三連續方程對液壓系統進行建模，其中三連續方程為[40]

(4)

式中：QL為伺服閥流量；Ap為活塞的有效承壓面積；V為等效油缸全容積；β為油的體積彈性模量；Cc為油缸泄露系數；PL為負載壓力；kq為滑閥流量增益；xv為滑閥閥芯位移；Kc為伺服閥壓力流量系數。

基于建立的動力學模型，并結合三連續方程，可得單向雙軸振動臺與結構的液壓系統模型為

(5)

式中：E1，E2分別為激振器1、激振器2的控制誤差信號；Gq為伺服閥的傳遞函數；G2的表達式為

(6)

基于建立的液壓系統模型，進一步對包含了三參量輸入裝置、反饋以及傳感器在內的控制系統進行建模，最終可得單向雙軸振動臺與結構的系統模型為

(7)

寫成傳遞函數矩陣的形式為

(8)

式中：H11，H22分別為受相互作用影響的激振器1、激振器2的傳遞函數；H12，H21分別為受相互作用影響的兩激振器間的耦合作用的傳遞函數；u1，u2分別為激振器1、激振器2的控制信號；H11，H22與H12，H21的表達式為

(9)

式中：G3為三參量輸入裝置的傳遞函數；G5與G6的表達式為

(10)

式中：G4為三參量反饋的傳遞函數；Ga為傳感器的傳遞函數。

單向雙軸振動臺的液壓及控制系統的基本參數，如表1所示。同時也列出了振動臺臺面的相關參數。

2 結構特性對傳遞函數矩陣的影響研究

基于建立的單向雙軸振動臺與結構的傳遞函數矩陣，研究了結構與振動臺的質量比(MR)，結構的阻尼比(Z)、頻率(F)，以及結構與振動臺的轉動慣量比(JR)對傳遞函數矩陣的影響。設計了如表2所示的工況1～工況12來定性地研究不同的結構特性對H11，H22和H12，H21的影響，研究的關注點為：傳遞函數矩陣受影響的頻段范圍、變化趨勢和敏感性。為便于觀察，對受影響的幅頻特性的細節進行了放大處理。

表1 單向雙軸振動臺的基本參數

表2 不同工況下結構的基本特性

2.1 質量比對傳遞函數矩陣的影響

為研究質量比對傳遞函數矩陣的影響，設計了如表2所示的工況1～工況3。不同工況下各傳遞函數的頻譜特性，如圖4所示。

圖4 質量比對傳遞函數矩陣的影響Fig.4 Effect of the mass ratio on the TFM

由圖4(a)可知，隨著質量比的變大，H11，H22在結構自振頻率處及周圍頻段的峰谷效應變大。由圖4(b)可知，隨著質量比的變大，H12，H21在油注共振頻率之前的幅頻特性整體抬升幅度變大，且在結構自振頻率處及周圍頻段的尖峰變大。

2.2 結構阻尼比對傳遞函數矩陣的影響

為研究結構阻尼比對傳遞函數矩陣的影響，設計了如表2所示的工況4～工況6。不同工況下各傳遞函數的頻譜特性，如圖5所示。由圖5(a)可知，隨著結構阻尼比的變大，H11，H22在結構自振頻率處及周圍頻段的峰谷效應變小。由圖5(b)可知，隨著結構阻尼比的增大，H12，H21在結構自振頻率處及周圍頻段的尖峰減小。

2.3 結構頻率對傳遞函數矩陣的影響

為研究結構頻率對傳遞函數矩陣的影響，設計了如表2所示的工況7～工況9。不同工況下各傳遞函數的頻譜特性，如圖6所示。由圖6(a)可知，隨著結構頻率的變大，H11，H22在結構自振頻率處及周圍頻段的峰谷效應幅度變大，影響范圍變廣。由圖6(b)可知，隨著結構頻率的增大，H12，H21在結構自振頻率處及周圍頻段的尖峰影響范圍變廣，峰值變大。

2.4 轉動慣量比對傳遞函數矩陣的影響

為研究轉動慣量比對傳遞函數矩陣的影響，設計了如表2所示的工況10～工況12。不同工況下各傳遞函數的頻譜特性，如圖7所示。由圖7(a)可知，隨著轉動慣量比的變大，H11，H22在振動臺液壓驅動開環系統的固有頻率(油注共振頻率)處及周圍頻段的幅頻特性減小。由圖7(b)可知，隨著轉動慣量比的增大，H12，H21在油注共振頻率處及周圍頻段的幅頻特性變大。

圖5 結構阻尼比對傳遞函數矩陣的影響Fig.5 Effect of the damping ratio of structure on the TFM

圖6 結構頻率對傳遞函數矩陣的影響Fig.6 Effect of the frequency of structure on the TFM

圖7 轉動慣量比對傳遞函數矩陣的影響Fig.7 Effect of the moment of inertia ratio on the TFM

綜上所述，就對傳遞函數矩陣影響的頻段范圍而言：質量比、阻尼比和頻率產生的影響集中在結構的自振頻率及周圍的頻段，而轉動慣量比產生的影響位于油注共振頻率及周圍的頻段；就對傳遞函數矩陣影響的敏感性而言：在結構自振頻率及周圍的頻段，頻率的影響最為敏感，阻尼比次之，質量比的影響最小。

3 相互作用對振動臺控制性能的影響研究

相比于以往對振動臺控制性能的影響研究，考慮了受相互作用影響的兩激振器間的耦合作用對振動臺控制性能造成的影響。選取了表2中的工況13進行相互作用對振動臺控制性能的影響研究。

相互作用對振動臺控制性能的影響，如圖8所示。由圖8可知：在相互作用影響的頻段范圍內，振動臺的控制性能出現了不同程度的下降。由圖8(a)可知，由于相互作用的影響，H11，H22在結構的自振頻率處及周圍頻段出現了峰谷效應，7.47 Hz處的共振峰峰值為8.07 dB，7.82 Hz處的反共振峰峰值為-9.24 dB；在油注共振頻率處及周圍頻段的幅頻特性略有下降，42.50 Hz處二者的差值為1.09 dB。由圖8(b)可知，由于相互作用的影響，H12，H21在全頻段范圍內的幅頻特性有了不同程度的抬升，且在結構的自振頻率處及周圍頻段出現了尖峰，7.47 Hz處二者的差值為64.64 dB。由圖8(c)可知，系統的傳遞函數在結構自振頻率處及周圍頻段出現了峰谷效應，7.47 Hz處的共振峰峰值為13.60 dB，8.00 Hz處的反共振峰峰值為-17.50 dB；在10～30 Hz頻段范圍內的幅頻特性有一定程度的下降(量化標準：二者差值<3 dB)。

圖8 相互作用對振動臺控制性能的影響Fig.8 Effect of the interaction on the control performance of the shaking table

此外，分析圖8可知：由于相互作用的影響，兩激振器間的耦合作用急劇變大，該耦合作用對振動臺控制造成了極為不利的影響。

4 實時補償的控制策略及仿真驗證

上述研究表明單向雙軸振動臺與結構的相互作用對振動臺控制造成了極大的影響。因此，提出了一種實時補償的控制策略來補償單向雙軸振動臺與結構的相互作用。該策略在分析了單向雙軸振動臺與結構的系統模型的基礎上，分離出相互作用的傳遞函數，并進一步結合振動臺閥控系統的逆傳遞函數來修正控制誤差信號，從而達到補償相互作用的目的。

以式(7)中的激振器1為例進行分析

(11)

為實時補償相互作用帶來的影響，不僅需要將相互作用對激振器1的影響消除，而且也要將激振器間的耦合作用中受相互作用影響的部分消除

(12)

假定補償傳遞函數分別為C1和C2，則

E1=G3u1-G4Gax1-C1x1-C2x2

(13)

結合式(12)和式(13)，可得

(14)

通過實時補償，激振器1的傳遞函數為

(15)

分析可知，結構對激振器1的影響被完全地補償，對于激振器2的補償同理。進一步同單向雙軸振動臺與結構的控制系統相結合，可得出實時補償的控制策略的框圖，如圖9所示。

圖9 實時補償策略的方框圖Fig.9 Block diagram of the real-time compensation strategy

選取表2中的工況13研究所提出的實時補償的控制策略是否有效，補償策略的有效性研究分別從頻域和時域展開。

4.1 頻域特性

采用上述補償策略，振動臺的控制性能如圖10所示。由圖10可知：補償后的振動臺的頻譜特性與空臺時的頻譜特性一致，提出的策略完全地補償了振動臺與結構的相互作用。圖10(a)表明：H11，H22在結構自振頻率處及周圍頻段的峰谷效應得到了補償；在油注共振頻率處及周圍頻段的幅頻特性雖略有上升，但與空臺時的幅頻特性相同。由圖10(b)可得出該補償策略對H12，H21的改善：兩激振器間的耦合作用大大減小，并與空臺時的耦合作用一致。圖10(c)表明：所提出的實時補償的控制策略完全地補償了單向雙軸振動臺與結構的相互作用。

圖10 實時補償策略下振動臺的控制性能Fig.10 The control performance of the shaking table under the real-time compensation strategy

4.2 時域特性

將6～10 Hz的隨機波和10倍壓縮的El-centro地震動記錄作為激勵信號輸入到系統中，通過分析振動臺的隨機波復現精度和復現的地震動記錄的傅里葉譜來研究所提出的實時補償的控制策略是否有效。

4.2.1 隨機波的復現

為研究所提補償策略的有效性，特選用隨機波(頻率：6～10 Hz，幅值：±1 m/s2)作為激勵信號輸入到系統中。波形的復現情況如圖11(a)所示，圖11(b)給出三組波形評價指標，對比補償前后的波形評價指標可得：采用了所提出的補償策略，波形相關系數提升了37.90%，誤差的峰值降低了79.78%，誤差的RMS值下降了72.56%。振動臺的隨機波復現精度得到了大幅提升，說明了該補償策略的有效性。

圖11 隨機波的復現Fig.11 Replication of the random wave

4.2.2 地震動記錄的復現

為進一步研究提出的補償策略在結構自振頻率處及周圍頻段的有效性，將10倍壓縮的El-centro地震動記錄作為激勵信號輸入到系統中。圖12(a)展示了記錄的復現情況，可大致地看出復現精度有所提升。采用了如圖12(b)所示的傅里葉譜來分析復現精度的提升情況，可以看出在5～15 Hz頻段范圍內的傅里葉譜得到了校正，說明了提出的實時補償的控制策略有效。同時，該結果與振動臺在頻域補償的結果高度一致，進一步說明了所提補償策略的有效性。

圖12 10倍壓縮的EL-centrol地震動記錄的復現Fig.12 Replication of the 10-time compressed EL-centro ground motion record

5 結 論

本文以單向雙軸振動臺和中心對稱的結構為研究對象，建立了振動臺與結構的傳遞函數矩陣，對振動臺與結構的相互作用進行了影響研究和實時補償，得出了以下結論：

(1) 結構與振動臺的質量比，結構的阻尼比、頻率，以及結構與振動臺的轉動慣量比都對傳遞函數矩陣有影響。質量比、阻尼比和頻率的影響集中在結構自振頻率及周圍的頻段；而轉動慣量比的影響位于油注共振頻率及周圍的頻段。

(2) 相互作用對單向雙軸振動臺兩激振器間的耦合作用的影響巨大，該耦合作用對振動臺控制造成了極為不利的影響。

(3) 提出的實時補償的控制策略有效地補償了單向雙軸振動臺與結構的相互作用，極大地提升了振動臺的控制性能。

本文的理論研究尚需進一步考慮實際工程情況和試驗驗證。