沖擊載荷下分段線性剛度能量阱的優(yōu)化研究

崔泰毓， 張 雷， 賈學志， 魏 磊

(1. 中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130032；2. 中國科學院大學,北京 100049； 3. 長光衛(wèi)星技術有限公司，長春 130031)

在發(fā)射階段，衛(wèi)星會經歷運載火箭發(fā)動機點火，火工品爆炸等一系列沖擊激勵。對于光學遙感載荷而言，這種過度振動可能會使高度輕量化的光學部件產成不良影響甚至永久破壞。在航天器振動抑制領域，非線性能量阱吸振器以其以其振動能量耗散效率高，魯棒性好和質量小的特點[1-2]，已越來越多的被應用于航天設備振動抑制中[3-6]。非線性能量阱(nonlinear energy sinks,NES)是一種被動減振設備，它附加在主結構(即振動抑制對象)上，通過能量定向傳遞現(xiàn)象(target energy transfer,TET)對主結構的振動能量進行高效的吸收和耗散。

能量定向轉移是指一定條件下，主結構的振動能量可以向NES高效，單向傳遞的現(xiàn)象。這是NES實現(xiàn)振動抑制的主要原因，故研究NES觸發(fā)TET的參數(shù)條件一直是該領域的研究重點。Vakakis[1]最早發(fā)現(xiàn)帶有立方剛度的NES受初始沖擊載荷大于某個臨界值時，系統(tǒng)中才會發(fā)生TET。Gendelman等[7]和Lee等[8]研究了NES和主結構的質量比對系統(tǒng)TET的影響，研究證明NES需要在質量比足夠小的情況下才能發(fā)生TET。Shiroky等[9]引入了復變平均法，通過系統(tǒng)的慢變方程來研究非線性剛度對NES振動抑制效率的影響，結果說明合理的非線性剛度能提升NES吸振效率。熊懷等[10-11]研究阻尼對NES振動抑制的影響，推導了系統(tǒng)能夠實現(xiàn)TET的最小阻尼。

上述研究對象都是具有立方剛度的NES，但在工程應用中，完美的立方剛度難以實現(xiàn)，為了使NES更具有工程應用價值，帶有分段線性剛度的NES以其易實現(xiàn)，易調節(jié)等特點逐漸被學者們所關注。Lamarque等[12-13]通過半解析半數(shù)值的方法研究了分段線性剛度NES，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中兩振子能量關系與立方剛度類似，能夠實現(xiàn)TET現(xiàn)象。目前，尚未有研究直接針對分段線性剛度NES振動抑制效果進行優(yōu)化，但參考立方剛度能量阱的研究經驗，參數(shù)優(yōu)化會使NES性能有顯著提升，故對分段線性剛度NES參數(shù)優(yōu)化研究是有必要的。

本文研究沖擊載荷下分段線性剛度能量阱的能量傳遞特性及參數(shù)優(yōu)化。本文首先通過復變平均法推導了表示系統(tǒng)能量關系的慢變方程；得到了慢不變流形極值點的近似表達式；建立了以NES的能量耗散效率為目標的優(yōu)化模型；最后搭建了懸臂梁振動實驗平臺，對上述模型所的參數(shù)有有效性進行了實驗驗證。

1 非線性能量阱系統(tǒng)模型

1.1 耦合非線性能量阱系統(tǒng)的動力學模型

光學載荷上某敏感部件的振動抑制模型可簡化為如圖1所示的二自由度系統(tǒng)，該系統(tǒng)由一個具有線性剛度的單自由度主結構和分段線性剛度能量阱組成。

圖1 耦合非線性能量阱的系統(tǒng)模型Fig.1 Mechanical model coupled NES

該系統(tǒng)運動微分方程表示為

(1)

圖2 分段線性剛度Fig.2 Piecewise linear stiffness

(2)

式中：z=x1-x2為兩振子相對位移；a0為彈簧剛度間隙。

式(1)可簡化為

(3)

為計算兩振子能量，引入如下變換

(4)

則式(3)化為

(5)

1.2 慢變系統(tǒng)方程

為了分析上述動力學模型中NES觸發(fā)TET的條件，我們需要分析系統(tǒng)的能量傳遞特性，但式(5)由于非線性剛度項F2(z)的存在，難以直接求出精確的解析解，這里本文應用復變平均法求解系統(tǒng)能量的近似解析表達式。復變平均法是Gendelman等提出用于求解非線性動力系統(tǒng)的近似計算方法，該方法通過推導原系統(tǒng)的慢變方程得到能量傳遞關系和能量耗散的近似解。

應用復變平均法首先要引入復變量

(6)

式中:i虛數(shù)單位;ω0為系統(tǒng)主結構的固有頻率，由于1∶1內共振在能量傳遞中占據(jù)主導地位，本文主要針對1∶1內共振引起的能量傳遞，故虛部系數(shù)為ω0，若要考慮1∶3，1∶5等情況，虛部對應取3ω0，5ω0等。

將式(5)代入式(6)中，并消去久期項得

(7)

(8)

Gendelman[14]曾證明式(8)可化為

(9)

其中，

(10)

將系統(tǒng)的復變量方程式(7)進行如下多尺度展開，取一次近似

(11)

λ1ε(φ10+εφ11)-λ2ε(φ20+εφ21)-

iω0ε(φ20+εφ21)G(|φ21|2)=0

(12)

iεω0(φ10+εφ11)+iεω0(φ20+εφ21)G(|φ21|2)+

ελ2(φ20+εφ21)-iεω0(φ20+εφ21)=0

(13)

系統(tǒng)ε0和ε1系數(shù)分別對系統(tǒng)的應快變部分和慢變部分，其中式(12)和式(13)的快變部分為

(14)

iω0φ20=0

(15)

式(12)消去久期項后，慢變部分為

(16)

由復極坐標表示復變量φ10,φ20

(17)

將式(17)代入慢變部分式(16)中，分離實部和虛部后得

(18)

將式(17)代入快變部分式(15)中得

(19)

由上式可得

(20)

其中,

(21)

(22)

式(22)第一式表示慢變系統(tǒng)主結構能量耗散速率，可以看出其僅與兩振子能量和阻尼大小有關。

式(22)第二式表示慢變系統(tǒng)中兩振子的振動能量傳遞關系，該式不顯含時間，僅與系統(tǒng)結構參數(shù)有關，也就是說在沖擊載荷下，系統(tǒng)是否能發(fā)生TET現(xiàn)象是由主結構與NES結構參數(shù)決定的。

2 系統(tǒng)能量傳遞分析

繪出式(22)的慢不變流形圖，如圖3所示，圖中實線為穩(wěn)定分支，虛線為不穩(wěn)定分支，H,L為不穩(wěn)定點，這與立方剛度非線性能量阱推導得到的形式相同。通過龍格-庫塔法得到式(3)數(shù)值解如圖4所示，當小參數(shù)ε足夠小時，系統(tǒng)的振動能量會沿著慢不變流形流動。由于存在不穩(wěn)定分支，系統(tǒng)能量會發(fā)生跳躍，也就是產生TET現(xiàn)象。圖中參數(shù)ε=0.001，ω0=5，k=32，a0=3，λ1=0，λ2=5，下文分析中若無特殊說明均為此參數(shù)條件。

不穩(wěn)定點H,L對應慢不變流形中的兩極值點，慢不變流形的不穩(wěn)定點是否存在對系統(tǒng)是否能夠觸發(fā)TET有重要影響[15]。

圖3 系統(tǒng)慢不變流形Fig.3 Slow invariant manifold of system

圖4 慢不變流形與數(shù)值解對比Fig.4 Comparison between slow invariant manifold and numerical solutions

2.1 系統(tǒng)觸發(fā)TET的情況

能夠觸發(fā)TET的慢不變流形如圖5所示，在給定的初始條件x1(0)=4情況下，當系統(tǒng)初始能量大于，不穩(wěn)定點H時，兩振子的振動能量會迅速得從初始位置移動到系統(tǒng)慢不變流形的穩(wěn)定分支2上，并沿著該曲線緩慢移動到不穩(wěn)定點L，之后振動能量迅速的跳躍到穩(wěn)定分支1，并沿著該分支緩慢耗散至0。

圖5 觸發(fā)TET的慢不變流形Fig.5 Slow invariant manifold of systemthat can trigger TET

2.2 不觸發(fā)TET的情況

系統(tǒng)不能觸發(fā)TET分為兩種情況：①慢不變流形無不穩(wěn)定分支；②外激勵幅值過小。

當k=24時，慢不變流形無不穩(wěn)定分支的情況如圖6所示。此時，系統(tǒng)無不穩(wěn)定分支，振動能量會直接移動到穩(wěn)定流形上，沿著該流形緩慢移動到0，不會發(fā)生跳躍，系統(tǒng)不發(fā)生TET。

圖6 觸發(fā)TET的慢不變流形Fig.6 Slow invariant manifold of system that can not trigger TET

外激勵過小的情況如圖7所示，此時系統(tǒng)雖然有不穩(wěn)定區(qū)間，但兩振子初始振動能量無法到達穩(wěn)定流形2，會直接沿著穩(wěn)定流形1緩慢耗散，不會發(fā)生跳躍，此時系統(tǒng)不發(fā)生TET。故系統(tǒng)的初始能量需要大于不穩(wěn)定點L縱坐標E1+，NES才會有吸振效果。

圖7 外激勵過小無法觸發(fā)TET的情況Fig.7 The case that the excitation is too small to trigger TET

2.3 不穩(wěn)定點與能量返還的關系

初始條件x1(0)=4 時，主結構時域響應如圖8所示，理想情況下，系統(tǒng)振動能量都應在慢不變流形圖的穩(wěn)定分支2消耗。但我們可以觀察到，當不穩(wěn)定點L的縱坐標E1-不為零時，有部分振動能量從穩(wěn)定分支1跳躍回穩(wěn)定分支2，這部分返還的能量無法通過NES的阻尼進行消耗，會對吸振效果產生不利影響。故在設計NES時，應使不穩(wěn)定點L縱坐標越小越好。

圖8 觸發(fā)TET情況下主結構加速度時域響應Fig.8 Time domain response of acceleration of main structure under the condition of triggering TET

2.4 不穩(wěn)定點與能量耗散的關系

由圖8可知，當系統(tǒng)振動能量處于穩(wěn)定分支2時的主結構的能量耗散速率最高，遠遠大于穩(wěn)定分支1和穩(wěn)定分支2的能量耗散速度。根據(jù)式(22)第一式可知，在主結構阻尼較小的情況下，系統(tǒng)能量耗散速率主要取決于NES的阻尼和E2的大小。增大不定點L的橫坐標E2+會使系統(tǒng)在穩(wěn)定分支2和不穩(wěn)定區(qū)間的能量耗散效率隨之增大。不同E2所對應系統(tǒng)能量耗散率隨時間的變化曲線,如圖9所示。可見不穩(wěn)定點L橫坐標E2+越大，系統(tǒng)能量耗散效率越高。

圖9 系統(tǒng)能量耗散率與E2+的關系Fig.9 The relationship between the energy dissipation rate of the system and E2+

3 NES參數(shù)優(yōu)化

3.1 不穩(wěn)定點近似解

系統(tǒng)慢不變流形的極值點對系統(tǒng)是否能夠觸發(fā)TET有著重要影響，故求解極值點坐標是有助于NES的參數(shù)優(yōu)化設計，本文通過多項式近似替換的方法，推導極值點坐標的近似表達式。

(23)

則式(20)第二式化為

(24)

式(24)對Y的一階導數(shù)為

式(25)第一式僅在a0=0時其值為0，故非線性振子振幅小于剛度間隙時，不可能出現(xiàn)TET現(xiàn)象。

令式(25)第二式右端為0得

4k2arccos2(Y)=0

(26)

當式(26)有兩個解時，式(24)存在兩個極值點，滿足系統(tǒng)能夠發(fā)生TET的必要條件，令h=arccos(Y)，上式進一步化簡為

(28)

式中,z為與主結構參數(shù)有關的常量，則式(24)存在兩個極值點的條件為

(29)

滿足上式條件時，兩極值點位置對應橫坐標表達式E2-,E2+如式(30)所示

(30)

將上式代入式(24)中可得到兩極值點縱坐標E1-，E1+，兩極值點坐標。

式(22)通過數(shù)值方法易于得到極值點坐標E2N±，與近似表達式(30)的相對誤差為

(31)

如圖10所示，z取0.09時統(tǒng)計得到表達式相對誤差均值不超過5%，說明上述表達式的精度能滿足工程應用的需要。

圖10 極值點近似表達式的誤差Fig.10 The error of the approximate expression of extreme point

3.2 優(yōu)化目標

NES的能量和阻尼系數(shù)對系統(tǒng)能量耗散其主要作用，由式(22)第一式可知，NES能量越大，能量耗散速率越高，這可以描述為極小值點L橫坐標E2+越大，系統(tǒng)能量耗散效率越高，如圖6所示，其函數(shù)表達式為

min -E2+(a0,k,λ2)=

(32)

3.3 約束條件

3.2節(jié)的能量傳遞和耗散分析結果可知，為減少NES返還給主結構的能量，E1-應盡量降低。但由式(24)可知，只有當NES阻尼為0時E1-才可能為0，這種情況下振動能量會在兩振子間完全的相互傳遞，無法耗散。本文優(yōu)化目標以提高能量的耗散效率為主，為了同時兼顧能量傳回的情況，將E1-作為優(yōu)化模型的邊界條件，設計時需要確定一個允許的能量回傳的值即的E1-上限Ef，以放寬邊界條件對NES阻尼λ2的限制。式(30)代入式(24)中得到函數(shù)E1-約束條件的表達式為

(33)

式中：hE2+為極小值點處的h值;Ef為可以接受的NES返還主結構的能量。

式(22)第二式存在兩個極值點的約束條件

p>0

(34)

由于E1+與E2+相互耦合，觸發(fā)TET的閥值E1+設計過小可能會導致系統(tǒng)耗散速率降低，在設計時首先需要估計NES工作時受外激勵的范圍，然后根據(jù)外激勵的下限El進行設計，確保NES在外激勵的范圍內都能夠有效工作

(35)

一般情況下ω0和λ1由主結構給定，其余約束條件有

(36)

3.4 優(yōu)化模型

綜上所述，該優(yōu)化模型為

minf(a0,k,λ2)=-E2+(a0,k,λ2)

s.t.p>0

E1-

E1+

(37)

3.5 優(yōu)化結果及數(shù)值仿真

通過質量感應法測得某空間光學載荷次鏡處的等效單自由度主結構參數(shù),如表1所示。

表1 主結構結構參數(shù)Tab.1 Main structure parameter

為對上述優(yōu)化模型進行求解，本文選用隨機搜索法對模型進行優(yōu)化，隨機搜索算法的工作方式是先產生一族隨機初始點，然后從每個初始點用一個局部優(yōu)化方法收斂到一個局部極小值，最佳局部極小值被選為問題的解。

根據(jù)空間光學載荷振動抑制的實際要求取Ef=0.03，El=0.5，z=0.082，通過數(shù)值非線性最優(yōu)化對模型進行優(yōu)化。表2給出了優(yōu)化變量的取值范圍和和優(yōu)化值。

表2 變量取值與優(yōu)化結果Tab.2 Optimal and original parameter values

通過龍格-庫塔數(shù)值方法計算參數(shù)優(yōu)化前后主結構加速度響應,如圖11所示，系統(tǒng)能量耗散效率明顯增大。結果表明本文所用的優(yōu)化變量，目標，方法基本可行，優(yōu)化效果比較明顯。

圖11 優(yōu)化前后主結構加速度響應Fig.11 Acceleration response of main structure before and after optimization

4 實驗驗證

為驗證分段線性剛度能量阱對空間光學相機的振動抑制效果，本文為根據(jù)上述優(yōu)化結果，設計了分段線性剛度能量阱原理樣機，如圖12所示。將其安裝于空間光學遙感載荷，并在沖擊激勵工況下對分段性剛度能量阱的振動抑制效果進行試驗驗證。

本文通過力錘錘擊的方法對空間相機施加沖擊載荷，以空間相機次鏡處加速度響應衰減至90%所用時間作為判斷指標，對分段線性剛度能量阱振動抑制效果進行試驗，NES實際結構參數(shù)如表3所示。由于加工條件限制，剛度間隙a0取0.4 mm為最優(yōu)值，并設置a0取0.2 mm進行對比。

圖12 分段線性剛度能量阱機械結構圖Fig.12 Mechanical structure of nonlinear energy sinks with piecewise linear stiffness

表3 分段線性剛度NES參數(shù)Tab.3 Parameter of piecewise linear stiffness NES

搭建實驗平臺如圖13所示，分段線性剛度能量阱安裝于空間相機次鏡背板處，空間相機連接振動工裝安裝于基座上。沖擊傳感器安裝錘擊點附近，方向與激勵方向相同。沖擊傳感器信號由模態(tài)儀采集，力錘施加沖擊載荷峰值為450 N，沖擊激勵輸入如圖14所示。

圖13 沖擊激勵工況振動試驗Fig.13 Impact excitation test of NES

圖14 沖擊激勵輸入條件Fig.14 Impact excitation condition

圖15 沖擊載荷下測試點加速度響應Fig.15 Acceleration response of test point under impact load

次鏡處加速度響應衰減至90%時所用時間，如表4所示。實驗表明，安裝分段線性剛度能量阱后，測試點的振動能量耗散速率有所提高，而當NES參數(shù)為優(yōu)化值時，較未安裝NES時主結構加速度響應衰減至90%時所用時間減少33.2%，較非最優(yōu)化參數(shù)減少了26.9%。

表4 沖擊實驗結果Tab.4 The results of the impact test

實驗結果表明，根據(jù)本文優(yōu)化方法所選擇的NES參數(shù)有效，NES結構參數(shù)優(yōu)化后，系統(tǒng)能量耗散效率較未優(yōu)化有明顯提升。實現(xiàn)了通過安裝分段線性剛度能量阱提升系統(tǒng)振動能量耗散效率的目的。

5 結 論

本文通過復變平均法推導了分段線性剛度能量阱的慢變方程，研究得到系統(tǒng)慢不變流形極值點坐標的近似表達式，以此建立了分段線性剛度能量阱吸振效率的優(yōu)化模型，并針對某空間光學載荷進行了分段線性剛度NES的振動抑制實驗，研究結果表明：

(1)沖擊激勵下，分段剛度能量阱慢不變流形和立方剛度能量阱類似，不穩(wěn)定分支是否存在對系統(tǒng)能否觸發(fā)TET有重要影響。

(2)通過多項式近似替代可以得到極值點的近似表達式，經過與數(shù)值方法對比，該表達式進度較高，能夠滿足工程應用的需要。

(3)根據(jù)極值點的近似表達式構建了NES吸振效率的優(yōu)化模型，并對某空間剛光學載荷的分段線性剛度NES進行了優(yōu)化設計，優(yōu)化后系統(tǒng)達到90%能量耗散率所用時間降低了35.5%，較非最優(yōu)化參數(shù)降低了26.9%。，NES結構參數(shù)優(yōu)化后，系統(tǒng)能量耗散效率較未優(yōu)化有明顯提升，證明了本文所建立的優(yōu)化模型是合理的。

由于機械制造等限制，本文實驗結果未能完全達到參數(shù)的最優(yōu)值，將會繼續(xù)改進分段線性剛度能量阱機械結構的進行研究和改進。