考慮氣體擴散表面應力的納米梁非線性振動分析

萬 磊， 劉燦昌， 孔維旭， 賀成泰， 黨 壯， 周長城

(山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255049)

近年來，氣體物質擴散信息的檢測成為研究熱點問題之一，常用的檢測方法比如化學方法和生物方法存在檢測時間較長、檢測費用高等問題，利用物理方法(如傳感器)進行檢測可以避免這些問題。納米梁具有高固有頻率、高承載能力、高靈敏度和低功耗等特點，常用于制作各種傳感器，在生化傳感中有很好的應用前景。

物質擴散對納米梁的影響正逐步引起科研工作者的注意。Yang等[1-2]利用線彈性梁理論和Moutier方法分析了單層和雙層梁結構中擴散引起的梁彎曲，提出了線性黏彈性材料中擴散引起的應力差分形式的三維本構關系。孫靜[3]研究了固體的表面應力對納米梁的內力與屈曲的影響。劉同慶等[4]理論分析了吸附效應對雙端固支納米諧振梁特性的影響，推導了吸附效應影響下的頻率偏移。Boettinger等[5]計算了由于擴散引起的單相和雙相金屬片的依賴時間的彎曲，將梁理論和擴散彎曲耦合。Zhang等[6]研究了小尺寸和表面效應的軸向預拉伸黏彈性納米梁振動分析。Jou等[7]提出了一種通用公式，將層狀結構的彎曲曲率變化率與外涂層中的溶液擴散時間相關聯。Zhang[8]通過測量共振頻率的偏移來確定微懸臂梁所受的吸附誘導產生的表面應力和質量。Wang等[9]研究了具有表面效應的納米級壓電雙懸臂梁試件的非線性斷裂力學。Huang等[10]研究了吸附物和小尺寸懸臂的相互作用，建立了吸附引起懸臂共振頻率變化的模型。Dai等[11-12]建立了基于表面彈性理論的懸臂式納米開關非線性模型，研究表面效應對模型的影響，以及表面效應對懸臂納米梁非線性受迫振動的影響。

近年來，對于納機電系統的非線性振動分析與控制研究取得較大的進展。Esfahani等[13]研究了納米梁靜電激勵下的依賴尺寸的非線性振動，通過多尺度法進行分析獲得了系統的固有頻率和動態響應等結果。Shaat等[14]研究了納米材料的靜電驅動梁結構和尺寸大小對靜電驅動納米梁固有頻率和非線性動力學的影響。劉燦昌等[15]以彈性理論為基礎計算得到非局部效應和軸向非線性納米梁的固有頻率，研究了考慮非局部效應的納米梁主諧波共振響應。Khaniki等[16]利用Eringen兩相局部/非局部模型動態分析了嵌入變化非線性彈性環境中的納米梁。Zhao等[17]建立了考慮表面效應的懸臂梁橫向振動的力學模型，得到了納米梁非線性振動方程的近似解析解。Beni等[18]考慮卡西米爾力和彈性邊界條件的影響，對梁式納機電系統的靜態不穩定性進行了理論研究。Najar等[19]在考慮了小尺度效應下，研究了在非線性力和直流電壓作用下納米梁的動態響應。楊曉東等[20]研究了基于非局部效應的兩端鉸支納米梁的橫向非線性自由振動，重點分析了非線性項及非局部效應對固有頻率的影響。Bornassi等[21]利用Euler-Bernoulli梁建立了納米器件在靜電力和分子間力作用下的運動方程，利用微分求積法求解非線性動力學方程。

本文提出一種基于吸附應力的氣體濃度分析物理方法，可用于含氫環境中氣體濃度的檢測工作。利用氣體擴散環境的應力、應變與位移關系得到納米梁表面應力與氣體濃度和吸附時間的定量關系。研究在氣體擴散表面應力影響下的納米梁非線性振動，進行氣體信息的檢測。首先以Euler-Bernoulli梁作為非線性振動的物理模型，建立考慮氣體擴散表面應力的納米梁非線性振動方程，利用多尺度法得到納米梁主共振的幅頻響應方程，仿真得到幅頻響應曲線圖和參數變化圖，研究擴散氣體參數與納米梁振動之間的關系，分析減弱系統非線性和增強系統穩定性的方法。

1 氣體擴散表面應力原理

當氣體擴散濃度分布不均勻時，氣體擴散到納米梁表面引起納米梁彎曲。只考慮線彈性變形的情形。在歐拉-伯努利假設下對擴散引起的彎曲進行求值，得到歐拉-伯努利納米梁的軸向位移表達式為

u(x,z)=f0(x)+zf1(x)

(1)

式中：f0(x)和f1(x)為待定函數；x為梁軸向位移坐標；z為梁橫向位移坐標。

由應力、應變與位移關系得到軸向應變和應力為

(2)

(3)

式中：(′)為對x的一階導數；Ω為擴散氣體的偏摩爾體積；E為納米梁的楊氏模量；C為擴散氣體的濃度。

(4)

將式(4)代入式(2)中，軸向應變可以寫為

(5)

納米梁彎曲的曲率半徑為

(6)

擴散氣體對納米梁的彎矩為

(7)

式中：M為納米梁所受的彎矩；b為納米梁的寬度；h為納米梁的厚度；C0為擴散氣體的初始濃度；D為比例系數；t為擴散氣體的擴散時間。

由式(6)和應力彎矩關系進一步得到氣體擴散應力導致的納米梁彎矩為

(8)

氣體擴散會引起納米梁產生表面應力，該應力與擴散氣體的濃度和偏摩爾體積等參數有關，分布較為復雜，為簡化分析假設擴散應力均勻分布于納米梁的表面，擴散應力可以表示為

(9)

納米梁的應力突變會產生沿著梁軸線方向的附加壓力為

qs(x)=Hw″

(10)

式中：H為與表面應力和截面形狀相關的常數；w為納米梁的撓度；w″為納米梁的曲率。

對于矩形納米梁，參數H為

H=2τ0b

(11)

2 考慮氣體擴散表面應力納米梁振動模型

如圖1所示，以懸臂納米梁為動力學模型。AB為靜電控制極板來控制納米梁的振動。其中：xi為點到懸臂納米梁固定端的坐標值；d為納米梁與靜電控制極板的初始距離，納米梁右端下方為檢測振動信號的傳感器。

圖1 納米梁振動模型Fig.1 Vibration model of nano-beam

作用于納米梁與靜電控制極板間的控制電壓為

V=VD+Va=VD+V0cosωt

(12)

式中：VD為直流控制電壓；Va=V0cosωt為交流控制電壓。

考慮為納米梁表面氣體擴散，納米梁的動力學微分控制方程為

(13)

靜電力q在考慮邊緣效應之后可以表示為

(14)

式中，ε0為真空介電常數。

為便于分析，引入無量綱量

(15)

式中，l為納米梁的長度。

經過無量綱處理后納米梁的動力學方程變為

(16)

選取了我院2015年2月到2017年12月46例晚期惡性腫瘤患者作為研究對象，所有患者已經確診。男性31例，女性15例；年齡在65歲以上有38例，65歲以下有8例。本研究當中使用的阿帕替尼非適應癥用藥惡性腫瘤類型滿足前期臨床研究支持，患者自愿采用阿帕替尼，向患者家屬講述了用藥過程中可能出現的并發癥和風險，患者家屬簽訂知情同意書。

(17)

應用多尺度法將式(17)的近似解用以下形式進行表示

x(t,ε)=x0(T0,T1,T2)+εx1(T0,T1,T2)+…

(18)

式中，ε為小量參數。

考慮納米梁主共振的情況，取外激勵頻率近似等于固有頻率，則激勵頻率為

ω=ωn+εσ

(19)

式中，σ為激勵頻率調諧參數。

將式(18)與其對時間的導數代入式(17)，令式(17)左右兩邊ε同次冪的系數相等，得到一組線性偏微分方程，即

(20)

(21)

將式(20)的近似解表示成

(22)

(23)

分離式(23)的實部和虛部得到

D1a=m1a3+m2a+m3sin(σT1-β)

(24)

aD1β=m4a3-m5a-m3cos(σT1-β)

(25)

令φ=σT1-β，以上兩式可以轉化為自治微分方程

D1a=m1a3+m2a+m3sinφ

(26)

aD1φ=σa-m4a3+m5a+m3cosφ

(27)

(28)

(29)

求得系統的幅頻響應方程和相頻響應方程為

(30)

(31)

3 數值模擬及分析

本文以Euler-Bernoulli梁一階振動模態為例進行分析，納米梁的參數值如表1所示，仿真得到系統的幅頻響應曲線圖。

表1 納米梁參數值Tab.1 Parameters of nano-beam

如圖2所示，研究了偏摩爾體積不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，擴散氣體偏摩爾體積不同會對納米梁振動的非線性產生影響，并且對振動的振幅也產生較小的影響。當Ω=6.50×10-6m3/mol時，在共振頻率點左側出現系統振動不穩定的非線性區間，當Ω從4.00×10-6m3/mol減小到1.77×10-6m3/mol時，系統振動的非線性減弱且系統的振動逐漸穩定。由此可得擴散氣體的偏摩爾體積Ω的取值在選取參數范圍內時，擴散氣體偏摩爾體積越小，振動非線性越弱。

圖2 偏摩爾體積不同時的幅頻響應曲線Fig.2 Curves of the amplitude-frequency with different partial molar volume

如圖3所示，研究了初始濃度不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，擴散氣體初始濃度的不同會對納米梁振動的非線性產生影響。當C0=35 mol/m3時，在共振頻率點左側出現系統振動不穩定的非線性區間，當C0從20 mol/m3減小到5 mol/m3時，系統的振動逐漸穩定。由此可得初始濃度C0的取值在選取參數范圍內時，擴散氣體初始濃度越小，系統振動的非線性越弱。

圖3 初始濃度不同時的幅頻響應曲線Fig.3 Curves of the amplitude-frequency with different initial concentration

如圖4所示，研究了擴散氣體擴散時間不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，氣體擴散時間的不同會對納米梁振動的非線性產生影響。當t=0.1 s時，在共振頻率點左側出現系統振動不穩定的非線性區間，當t從0.4 s增加到1.0 s時，系統的振動逐漸穩定。由此可得擴散時間t的取值在選取參數范圍內時，氣體擴散時間越長，系統振動的非線性越弱。

圖4 擴散時間不同時的幅頻響應曲線Fig.4 Curves of the amplitude-frequency with different diffusion time

如圖5所示，研究了初始濃度不同時，非線性項隨納米梁長度變化曲線。將非線性項控制在合理范圍內有助于保證系統振動的穩定性。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，當擴散氣體的初始濃度一定時，非線性項隨納米梁長度的增加而減小。當納米梁長度一定時，在圖4中三條線交點左側，擴散氣體的初始濃度越小，非線性項越小，在交點的右側，擴散氣體的初始濃度越小，非線性項越大。

圖5 初始濃度不同時，非線性項隨納米梁長度變化曲線Fig.5 Curves of the nonlinear term varying with nano-beam length for different initial concentration

如圖6所示，研究了直流控制電壓不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，改變直流控制電壓會對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產生影響。當VD=15 V時，在共振頻率點右側出現系統振動不穩定的非線性區間，當VD從10 V減小到3 V時，系統的振幅減小且振動逐漸穩定。由此可得直流控制電壓VD的取值在選取參數范圍內時，直流控制電壓越小，系統的振幅越小，振動的非線性越弱。幅頻響應方程中系數m5含有直流控制電壓項，m5為負數，減小直流控制電壓會減小系數m5，這會使得圖像發生左移，出現圖中頻率發生變化的現象。

圖6 直流控制電壓不同時的幅頻響應曲線Fig.6 Curves of the amplitude-frequency with different ldirect current control voltage

如圖7所示，研究了交流控制電壓不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，改變交流控制電壓會對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產生影響。當V0=0.20 V時，在共振頻率點左側出現系統振動不穩定的非線性區間，當V0從0.10 V減小到0.04 V時，系統的振幅減小且振動逐漸穩定。由此可得交流控制電壓V0的取值在選取參數范圍內時，交流控制電壓越小，系統的振幅越小，振動的非線性越弱。

圖7 交流控制電壓不同時的幅頻響應曲線Fig.7 Curves of the amplitude-frequency with different alternating current control voltage

如圖8所示，研究了系統阻尼不同時，非線性項隨納米梁長度變化曲線。將非線性項控制在合理范圍內有助于保證系統振動的穩定性。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，當系統阻尼一定時，非線性項隨納米梁長度的增加而減小。當納米梁長度一定時，系統阻尼越大，非線性項越小。

圖8 系統阻尼不同時，非線性項隨納米梁長度變化曲線Fig.8 Curves of the nonlinear term varying with nano-beam length for different system damping

如圖9所示，研究了納米梁長度不同時，振動阻尼項隨系統阻尼變化曲線。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，當納米梁長度一定時，振動阻尼項隨系統阻尼的增加而減小。當系統阻尼一定時，納米梁長度越大，振動阻尼項越小。

圖9 納米梁長度不同時，振動阻尼項隨系統阻尼變化曲線Fig.9 Curves of the vibration damping term varying with system damping for different nano-beam length

如圖10所示，研究了系統阻尼不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，改變系統阻尼會對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產生影響。當c=1.0×10-6N·s·m-1時，在共振頻率點左側出現系統振動不穩定的非線性區間，當c從2.0×10-6N·s·m-1增加到3.5×10-6N·s·m-1時，系統的振幅減小且振動逐漸穩定。由此可得系統阻尼c的取值在選取參數范圍內時，系統阻尼越大，系統的振幅越小，振動的非線性越弱。

圖10 系統阻尼不同時的幅頻響應曲線Fig.10 Curves of the amplitude-frequency with different system damping

如圖11所示，研究了納米梁與極板間初始距離不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內以及其它參數保持不變的條件下，改變納米梁與極板間初始距離會對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產生影響。當d=450 nm時，在共振頻率點右側出現系統振動不穩定的非線性區間，當d從500 nm增加到550 nm時，系統的振幅減小且振動逐漸穩定。由此可得納米梁與極板間的初始距離d的取值在選取參數范圍內時，初始距離越大，系統的振幅越小，振動的非線性越弱。幅頻響應方程中系數m5的表達式含有納米梁與極板間的初始距離d，m5為負數，減小d會增大系數m5，這會使得圖像發生右移，出現圖中頻率發生變化的現象。

圖11 納米梁與極板間初始距離不同時的幅頻響應曲線Fig.11 Curves of the amplitude-frequency with different initial distance between the nano-beam and the plate

為了驗證本文模型的準確性，圖12給出了近似解與數值解對比算例。對近似解方法得出的圖線和數值方法計算得出的結果進行對比分析。數值方法(long time integration， LTI)在圖12中表示為離散點，多尺度方法近似解以實線表示。取擴散時間為0.1 s的數據，得到圖12的結果，從圖中看出由多尺度方法得到的近似解析結果與數值計算結果符合較好。兩種方法得到結果的相似性說明本文的模型及理論分析方法具有一定的合理性。

圖12 多尺度方法與數值運算比較Fig.12 Comparison of calculation between the multi-scale method and numerical integration

4 結 論

(1) 氣體擴散產生的表面應力對納米梁非線性振動有很大的影響，改變擴散氣體的偏摩爾體積、初始濃度和擴散時間都會影響納米梁的非線性振動，其中對振幅的影響較小，對振動非線性的影響較大。

(2) 不同擴散氣體環境下的納米梁非線性振動性質不同。理論上通過記錄下不同的擴散氣體所對應的不同納米梁振動行為，可以利用納米梁來進行擴散氣體信息的檢測。

(3) 在所選參數變化范圍內，系統阻尼、直流控制電壓、交流控制電壓和納米梁與極板間的初始距離等參數對系統振幅和振動非線性的影響都比較大。通過改變系統的參數，可以減弱系統的非線性振動。