基于數(shù)字圖像相關方法的薄板結構振動功率流可視化

2021-06-04 05:59:00朱海華宋漢文

振動與沖擊 2021年10期

朱海華，孟帆，宋漢文

(同濟大學航空航天與力學學院，上海 200092)

本文對結構振強的實驗研究基于數(shù)字圖像相關方法(digital image correlation，DIC)，作為一種非接觸式的全場測量手段，數(shù)字圖像相關方法可對被測結構進行空間高分辨率的測量。因數(shù)字圖像相關方法的本底噪聲對于空間微分計算的影響較大，故有限差分方法不可取用。而基于波數(shù)域方法的空間微分計算，因非周期邊界條件帶來的吉伯斯效應影響極大，目前相關實驗研究大多集中于處理四邊夾支薄板。Arruda[26]提出一種退化傅里葉變換的方法以減小波數(shù)域譜的高頻成分，可獲得較好的微分計算結果。這種方法通過樣條外插對四邊固支或簡支板的位移場進行插值處理，使其滿足周期邊界條件，但是這種算法依賴于插值范圍及精度，故計算結果的精確性較難把握。

本文工作將基于數(shù)字圖像相關方法獲得薄板結構全場運動數(shù)據(jù)，并通過傅里葉級數(shù)連續(xù)延拓空間信號以消除吉伯斯效應所引入的高頻影響，提高空間微分計算精度，進一步得到振動功率流。通過對結構振強及其散度場的可視化，可實現(xiàn)對能量傳遞路徑及振源識別的直觀表征，為下一步的結構振動與噪聲控制奠定基礎。

1 基本理論

1.1 結構振強

在薄板結構中，功率流由板內廣義力與其相對應的速度作用產(chǎn)生，在克?；舴虮“宓募僭O下，彎曲波對板振動能量的貢獻最大[27]。圖1所示為各向同性的均質薄板在純彎曲狀態(tài)下的板單元所受內力狀態(tài)，單元所受的主要內力為剪力、彎矩及扭矩，結構振強定義為

(1)

(2)

式(1)和式(2)表示單位時間內，x，y方向單位截面的功率流。式中：Mx，My為彎矩，由法向應力合成；Mxy，Myx為扭矩，由面內切應力合成；Qx，Qy為剪力，由橫向切應力合成。各內力作用方向上對應的廣義位移分別為轉角θx，θy及橫向位移w。根據(jù)克希霍夫假設，式(1)和式(2)中各內力及速度分量可表達為關于撓度的物理量，則式(1)和式(2)可表示為

(3)

(4)

式中，〈〉t為時間上的平均量，以此表示單位時間內板單元內流過的能量即功率。

圖1 板單元受力狀態(tài)Fig.1 Generalized forces per unit in plate element

對結構振強進行流場可視化表達，流線上各點的切線方向與功率流矢量方向一致，因此其數(shù)學表達式為[28]

(5)

(6)

而對于板單元這樣的二維結構而言，式(6)可以簡化為如下形式以刻畫矢量場

(7)

通過流線可視化技術，可直觀表征振動能量傳遞的傳遞方式。若結構中包含能量的注入?yún)^(qū)域，則通過對式(8)所示結構振強的散度場的可視化表達，可明顯直觀地觀察到振源位置。

(8)

1.2 基于波數(shù)域的空間微分及濾波方法

由式(3)和式(4)可知，除材料的力學性質及薄板厚度外，結構振強的計算依賴于板的撓度和速度及其對空間的高階微分，若數(shù)值誤差較大，則會嚴重影響功率流及振源位置的可視化，故對于數(shù)值微分計算的精確性尤為重要。通過對二維場進行空間傅里葉變換(spatial fourier transform, SFT)，基于波數(shù)域計算數(shù)值微分的方法，具有全局性、精確性及克服噪聲影響等優(yōu)勢，高階微分可表示為

(9)

W(kx,ky)=F{w(x,y)}

(10)

式中：F為空間傅里葉變換算子；(kx,ky)為波數(shù)域坐標；(x,y)為空間域坐標；m，n分別為在x，y上的微分階數(shù)；W為空間二維信號w的空間傅里葉變換結果； j為虛數(shù)單位。

觀察式(9)可知，基于波數(shù)域的數(shù)值微分計算中，波數(shù)域中的高頻成分會在高階導數(shù)的計算中被急劇放大，從而極大影響計算結果的準確性。而對于DIC實驗而言，實驗所得位移場在波數(shù)域中所對應的高頻分量由兩部分原因造成：一方面是邊界條件的非周期性導致的吉伯斯效應，從而在波數(shù)域中引入高頻成分；另一方面是位移場中分布的空間噪聲。本節(jié)提出二維傅里葉連續(xù)延拓的方法構造空間周期信號，消除吉伯斯效應的影響；再針對空間去噪，引入波數(shù)域低通濾波。

1.2.1 傅里葉連續(xù)延拓

對于薄板結構實驗所測實際位移或速度場，在邊界處并不滿足周期性要求，存在吉伯斯效應，由此引入的高頻成分會在微分計算中導致很嚴重的誤差。本文改進文獻中信號延拓的方法[29]，使其適用于二維信號的處理，通過傅里葉級數(shù)擬合的方法，延拓原空間信號使其滿足周期邊界條件，消除吉伯斯效應。其數(shù)學表達式為

(11)

bx及by表示在x和y方向上的延拓周期，通常選為原信號區(qū)間的兩倍。即原信號區(qū)間為[0,ax]×[0,ay]時，則延拓后信號的區(qū)間為[0,bx]×[0,by]，其中bx=2ax，by=2ay。當My為偶數(shù)時，kn=n-My/2，My為奇數(shù)時，kn=n-(My+1)/2;當Mx為偶數(shù)時，km=m-Mx/2，Mx為奇數(shù)時，km=m-(Mx+1)/2。未知系數(shù)Amn可通過原信號得到最小二乘意義下的解

(12)

xp和yq分別表示x，y方向上的第p個、第q個坐標，w(xp,yq)表示區(qū)間[0,ax]×[0,ay]的原信號。將式(13)以矩陣形式表示，w(xp,yq)及Amn重構為一維向量

(13)

(14)

(15)

則上式表示為求解方程[B]{α}≈{w}在區(qū)間[0,ax]×[0,ay]上的解。通過對[B]進行SVD分解，則系數(shù)矩陣的解為

(16)

圖2所示為函數(shù)f(x,y)=0.1ex+y在區(qū)間[0,1]×[0,1]的圖形，經(jīng)過傅里葉連續(xù)延拓至區(qū)間[0,2]×[0,2]構成滿足周期邊界條件的二維信號，如圖3所示。

圖2 f(x,y)=0.1ex+y在區(qū)間[0,1]×[0,1]上初始信號Fig.2 Initial signal in[0,1]×[0,1]

圖3 經(jīng)延拓至[0,2]×[0,2]的周期信號Fig.3 Periodic signal after continuation in the interval[0,2]×[0,2]

1.2.2 波數(shù)域低通濾波

去除吉伯斯效應所引入的高頻影響后，再針對位移場中的空間噪聲引入的高頻分量進行剔除。與有限差分方法相比，對空間信號進行低通濾波再計算空間導數(shù)，波數(shù)域微分方法的精確性更不易受噪聲影響。本文采用Li等改進的波數(shù)域濾波方法，濾波效果由截止波數(shù)kc及參數(shù)s控制。窗函數(shù)表達式為

(17)

(18)

1.3 三維數(shù)字圖像相關方法(3D-DIC)

數(shù)字圖像相關方法作為一種非接觸式的光學測量方法，可獲得被測結構的三維全場運動信息。數(shù)字圖像相關方法首先在被測結構表面進行預處理，形成高對比度的二維隨機散斑。利用雙目高速攝像機記錄結構運動過程的系列圖像信息，并將圖像劃分為若干虛擬子集(見圖4)，通過對每個子集的追蹤可得到結構整體的二維運動。散斑的隨機性保障了子集匹配的唯一性，最后基于雙目視覺的三角測量原理(見圖5)，將像素坐標重構為三維世界坐標，獲得結構實際運動信息。

圖4 散斑子集示意圖Fig.4 Diagram of speckle subset and substep

圖5 視覺測量原理示意圖Fig.5 Principle of vision measurement

近年來，隨著攝像機性能的提高，以及計算機存儲能力的飛躍發(fā)展，國內外已有一定量的研究將數(shù)字圖像相關方法應用到結構的動力學測試中。文獻[30]利用數(shù)字圖像相關方法提取干燥箱面板的前三階振型，并與有限元計算結果對比，闡述了此方法在模態(tài)分析中的適用性。Reu等[31]使用數(shù)字圖像相關方法及激光多普勒測量儀分別對一塊鋁板進行模態(tài)分析，對比不同方法所辨識得到的模態(tài)參數(shù)，證明了數(shù)字圖像相關方法在振動測試中的優(yōu)越性。Rizo-Patron等[32]利用數(shù)字圖像相關方法對直升機旋翼葉片進行了工況模態(tài)分析，得到葉片模型在不同轉速下的前三階固有頻率。

目前數(shù)字圖像相關方法在結構振動測試中已有一定數(shù)量的研究工作，其有效性及精確性等優(yōu)點已得到證實。而基于此方法對結構振動能量相關的研究甚少，本文工作主要利用其非接觸式、空間高分辨率的全場測量優(yōu)勢，展開對薄板結構功率流可視化的研究，計算流程如圖6所示。首先通過數(shù)字圖像相關方法獲得結構表面振動過程的全場分布，通過傅里葉連續(xù)延拓重構為周期邊界信號，再進行波數(shù)域上的濾波以及微分計算，最后得到空間微分結果，進一步計算各方向上的振動功率流。

圖6 數(shù)據(jù)處理流程圖Fig.6 Flow chart of data processing

2 實驗研究

本文采用DIC展開振動功率流的實驗研究，測量并計算得到了薄板結構在不同激勵頻率下的工作變形形狀(operational deflection shape, ODS)以及結構振強。實驗對象為各項同性的復合材料薄板，相關材料參數(shù)見表1。薄板通過螺栓與型材框架固定，并將結構利用角鋼夾持固定在隔振臺上，利用激振器作為激勵源。雙目攝像機通過同步控制儀外觸發(fā)拍攝，圖像輸出到工控機內儲存，實驗裝置如圖7所示，其中圖7(b)為表面散斑。激勵位置離右下角水平距離為75 mm,垂直距離為50 mm，如圖7(b)所示。綜合考慮視場大小、測點的空間分辨率以及所關心的振動頻率，在相機硬件條件的允許下，相機設置及散斑等相關參數(shù)見表2。

表1 薄板相關物理參數(shù)Tab.1 Physical parameter of plate

圖7 實驗裝置圖Fig.7 Diagram of experiment setup

表2 相機及散斑相關參數(shù)Tab.2 Parameter of stereo camera and speckle

首先對薄板進行預實驗，通過雙目相機記錄結構在白噪聲隨機激勵下振動過程的圖像信息，并通過數(shù)字圖像相關方法獲得實際振動信號，進一步得到結構的前四階固有頻率，如表3所示。

表3 前四階固有頻率Tab.3 First four modal frequency

選取所關心的前四階頻率作為輸入頻率，對結構進行單頻正弦激勵，獲得各頻率下的工作變形形狀，如圖8所示；以及各頻率激勵下的ODS在波數(shù)域上的頻譜圖，如圖9所示。

因基于數(shù)字圖像相關方法測量的實驗往往在邊界處不能獲得良好的數(shù)據(jù)。在舍棄邊界值之后，ODS并不滿足理想的周期邊界條件，故因吉伯斯效應而在空間頻譜上引入了高頻分量，如圖9所示。為消除其在基于波數(shù)域的微分計算過程中的影響，采用1.2節(jié)所述的傅里葉連續(xù)延拓的方法，并聯(lián)合空間低通濾波。截止波數(shù)的選取依據(jù)有限元計算的理論結果，因位移場所對應的波數(shù)隨著振動頻率的升高而增大，故在本文所關心的頻率范圍內，選取有限元計算結果的第四階振型所對應的最高波數(shù)作為截止波數(shù)。圖10中：圖10(a)所示為第四階計算模態(tài)振型；圖10(b)和圖10(c)為其對應的波數(shù)域頻譜，可以發(fā)現(xiàn)波數(shù)分布集中在65 rad/m范圍內。故選取65 rad/m作為截止波數(shù)，以避免對實驗數(shù)據(jù)的過渡濾波。

圖8 不同頻率下歸一化的ODSFig.8 Operational deflection shape normalized by their respective maximum values

通過圖6所述數(shù)據(jù)處理流程基于波數(shù)域計算空間微分，進一步得到結構振強及其散度場，如圖11所示。

圖11(a)～圖11(d)中流線圖分別為71.6 Hz，120.8 Hz，167.0 Hz及207.4 Hz激勵下的結構振強矢量場，云圖表示結構振強所對應的歸一化散度場。通過觀察圖像發(fā)現(xiàn)，隨著激勵頻率的升高，功率流的傳遞路徑也愈加復雜，渦流表示能量出現(xiàn)了匯聚。盡管不同激勵頻率下結構振強的流線圖不同，但其對應的散度場大致相同。高亮區(qū)域為散度場的極值，即代表能量的注入點。通過與實驗中激振器激勵點進行對比，振源位置吻合良好。