基于級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典稀疏表征的滾動(dòng)軸承復(fù)合故障診斷方法

鄭 勝， 劉 韜， 劉 暢， 李 華

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，昆明 650500)

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要組成部分，同時(shí)也是最容易損壞的組件。統(tǒng)計(jì)顯示，在使用滾動(dòng)軸承的旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，約有30%的機(jī)械故障都與軸承相關(guān)，其運(yùn)行狀態(tài)直接影響著設(shè)備的整體性能。在實(shí)際的工業(yè)環(huán)境中，考慮到成本等相關(guān)因素，機(jī)械設(shè)備通常在受到一定程度的損壞后才進(jìn)行檢修和零部件更換。此時(shí)機(jī)械設(shè)備中的軸承往往不再是一種故障，而是多種故障耦合在一起。與單一故障相比，復(fù)合故障中的多個(gè)故障相互干擾，對(duì)機(jī)械設(shè)備的危害更大，診斷難度也更大[1]。因此，對(duì)滾動(dòng)軸承復(fù)合故障的診斷是一個(gè)極為重要的研究領(lǐng)域。

稀疏理論最早由Olshausen[2]提出，并隨著不斷地發(fā)展和深入，逐漸成為聲音與圖像處理[3-5]、壓縮感知[6-7]和信號(hào)處理[8]等方向的研究熱點(diǎn)。Du等[9]提出了一種根據(jù)齒輪和滾動(dòng)軸承故障沖擊形態(tài)特征的不同，進(jìn)而構(gòu)造不同的冗余字典并與稀疏表征算法相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)齒輪和滾動(dòng)軸承復(fù)合故障的分離。唐承志[10]通過(guò)使用不同種類(lèi)的原子庫(kù)聯(lián)合構(gòu)建級(jí)聯(lián)原子庫(kù)對(duì)多種信號(hào)進(jìn)行稀疏分解實(shí)現(xiàn)了不同類(lèi)信號(hào)的稀疏表示。陳向民等[11]基于共振稀疏分解方法和信號(hào)各成分品質(zhì)因子差異，將軸承故障信號(hào)分解成高共振分量、低共振分量和殘余分量，進(jìn)而包絡(luò)解調(diào)低共振分量，提取了故障特征頻率。而 K-SVD(K-singular value decomposition)自適應(yīng)冗余字典[12]、相關(guān)濾波法Laplace小波原子優(yōu)選構(gòu)造過(guò)完備字典[13]等分別與正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)、FFT(fast fourier transform)進(jìn)行改進(jìn)的匹配追蹤算法結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了滾動(dòng)軸承的故障特征提取。文獻(xiàn)[14]基于改進(jìn)自適應(yīng)無(wú)參數(shù)小波變換(improved adaptive parameterless empirical wavelet transform，IAPEWT)和自適應(yīng)稀疏編碼收縮去噪(adaptive sparse coding shrinkage denoising，ASCSD)對(duì)故障軸承的信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)稀疏去噪，增故障強(qiáng)脈沖特征，有效識(shí)別了軸承故障。He等[15]以軸承阻尼二階系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)函數(shù)構(gòu)建過(guò)完備原子庫(kù)，通過(guò)相關(guān)濾波法從故障信號(hào)中識(shí)別出系統(tǒng)固有頻率和相對(duì)阻尼比，降低字典的冗余性；并在此基礎(chǔ)上，通過(guò)匹配追蹤算法對(duì)軸承故障信號(hào)分段進(jìn)行匹配，以提高在低信噪比下信號(hào)重建的效率和精度。Tang等[16]提出一種基于移不變稀疏編碼算法以實(shí)現(xiàn)對(duì)早期微弱故障的特征提取，并通過(guò)軸承和齒輪的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，取得較好的效果。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者將稀疏表征理論運(yùn)用于對(duì)滾動(dòng)軸承的故障診斷，并取得了很好的成效，但大多是對(duì)單一故障的診斷，較少是對(duì)復(fù)合故障的診斷。本文旨在通過(guò)級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典與以基追蹤降噪問(wèn)題為優(yōu)化原則的特征符號(hào)搜索算法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)滾動(dòng)軸承復(fù)合故障的分離和特征提取。文中首先簡(jiǎn)述了基于特征符號(hào)搜索算法求解基追蹤降噪約束問(wèn)題的基礎(chǔ)理論，給出了確定字典情況下最優(yōu)稀疏系數(shù)求解方法。然后，敘述基于相關(guān)濾波構(gòu)建級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典的方法，同時(shí)給出所提復(fù)合故障診斷方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程和流程圖。最后對(duì)方法的有效性通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證并給出結(jié)論。

1 稀疏優(yōu)化算法

信號(hào)的稀疏表征旨在冗余的原子字典里尋找最稀疏的表達(dá)方式，即用最少的原子來(lái)表示信號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)本質(zhì)的捕捉表達(dá)[17]。Chen等[18]提出的基追蹤算法使用l1范數(shù)作為稀疏系數(shù)s的稀疏性度量函數(shù)，可得到全局最優(yōu)解，其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)以矩陣形式表示為

min‖s‖1， s.t.x=As

(1)

式中：基函數(shù)矩陣A=[a1,a2,…,ai]；稀疏系數(shù)矩陣s=[s1,s2,…,si]T。信號(hào)含噪聲時(shí)，其模型可表示為

y=x+σz

(2)

式中：σ為噪聲方差，表示噪聲強(qiáng)度；z為噪聲；y為含噪聲信號(hào)；x為無(wú)噪聲信號(hào)。為了從y中恢復(fù)出x的信息，基追蹤降噪問(wèn)題等同于求解下列約束問(wèn)題[19]

(3)

式中，s與參數(shù)λ相關(guān)，它將原始信號(hào)可以分解為重構(gòu)部分和殘余部分

y=x+r

(4)

當(dāng)基函數(shù)A確定時(shí)，式(3)的求解等同于求解l1范數(shù)正則化最小二乘問(wèn)題，本文采用特征符號(hào)搜索算法[21]來(lái)求解此問(wèn)題。如果我們知道在取得最優(yōu)解時(shí)每個(gè)稀疏系數(shù)的符號(hào)(正號(hào)、負(fù)號(hào)或零)，此時(shí)‖s‖1中的l1范數(shù)便可無(wú)需考慮。若只考慮非零系數(shù)，便可將其簡(jiǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的無(wú)約束二次優(yōu)化問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)高效求解。然后根據(jù)求解后稀疏系數(shù)的符號(hào)和假定符號(hào)的異同來(lái)更新系數(shù)。算法基本流程如下:

步驟2在值為零的系數(shù)si中搜索i=arg maxi|?‖y-As‖2/?si|，并將滿足下述條件的i并入到active set集合中。

(a)若?‖y-As‖2/?si>λ，則θi=-1；

(b)若?‖y-As‖2/?si>-λ，則θi=1。

(5)

步驟4查看最優(yōu)條件

(a)若?si≠0，都有?‖y-As‖2/?si+λsign(si)=0，都有成立，則查看條件(b)，否則返回步驟3；

(b)若?si=0，都有成立|?‖y-As‖2/?si|≤λ，則輸出系數(shù)s，否則返回步驟2。

2 級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典構(gòu)建與軸承復(fù)合故障診斷

2.1 基于相關(guān)濾波構(gòu)建級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典

除了稀疏求解算法，稀疏字典的選取和構(gòu)建也極大影響著稀疏表示效果，字典原子越符合信號(hào)的特征，就越有利于實(shí)現(xiàn)信號(hào)的稀疏表征。一般而言，字典存在兩種類(lèi)型：①由數(shù)學(xué)模型來(lái)表示的分析字典，如Gabor字典、余弦字典、Dirac字典、Fourier字典、Laplace小波字典等；②通過(guò)訓(xùn)練算法識(shí)別信號(hào)本身特點(diǎn)而學(xué)習(xí)得到的學(xué)習(xí)字典。分析字典在信號(hào)稀疏表示上具有精度高、不易受噪聲干擾的特點(diǎn)，本文選用分析字典構(gòu)建級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典。

通過(guò)分析點(diǎn)蝕或剝落故障軸承的旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型及其加速度振動(dòng)信號(hào)時(shí)域特征，本文選用軸承阻尼二階系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)函數(shù)構(gòu)建稀疏字典，該基函數(shù)與軸承點(diǎn)蝕剝落故障信號(hào)匹配度高，其定義為

t∈[u,u+ws]

(6)

式中：r={fn,ξ,u}為參數(shù)矢量，fn為故障沖擊激發(fā)的系統(tǒng)共振頻率，ξ∈[0,1)為黏滯阻尼比，表示沖擊響應(yīng)的阻尼衰減特性，u為時(shí)移參數(shù)；ws為基函數(shù)支撐區(qū)間寬度。某參數(shù)值下字典原子波形如圖1所示。

圖1 字典原子波形Fig. 1 Dictionary atomic waveform

本文以存在兩種故障信號(hào)為例，構(gòu)建級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典。假設(shè)復(fù)合信號(hào)x(t)=x1(t)+x2(t)+n(t)，其中x1(t),x2(t)為故障信號(hào)，n(t)為噪聲信號(hào)。參數(shù)(fn,ξ,u)的取值對(duì)稀疏分解的結(jié)果有著極為重要的影響，這里我們采用相關(guān)濾波法(correlation filtering，CF)[22]來(lái)識(shí)別故障沖擊信號(hào)波形的頻率、阻尼比，并擇最優(yōu)作為原子的形態(tài)參數(shù)fn，ξ，時(shí)移參數(shù)u取值采樣頻率的倒數(shù)。通過(guò)相關(guān)濾波可得到信號(hào)x(t)與基原子ψr(t)的相關(guān)系數(shù)曲線，分析曲線上的峰值點(diǎn)，可分別得到與信號(hào)x1(t)和x2(t)相關(guān)性最佳的原子，并取其對(duì)應(yīng)的頻率和阻尼比值，即(fn1,ξ1)和(fn2,ξ2)。將得到的最佳原子形態(tài)參數(shù)值代入式(6)中，并通過(guò)不同的時(shí)移參數(shù)張成級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典A，其表達(dá)式為

(7)

2.2 軸承復(fù)合故障診斷方法

滾動(dòng)軸承發(fā)生復(fù)合故障時(shí)，其故障沖擊可能會(huì)激起多個(gè)共振帶或同處一個(gè)共振帶內(nèi)，對(duì)此需對(duì)振動(dòng)信號(hào)頻譜作分析，確定其共振頻帶帶寬和個(gè)數(shù)，以減少搜尋范圍，增強(qiáng)相關(guān)濾波的計(jì)算效率。為便于區(qū)分和提取參數(shù)，可針對(duì)不同頻帶分開(kāi)繪制相關(guān)系數(shù)曲線圖。本文提出的基于級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典與特征符號(hào)搜索算法的滾動(dòng)軸承復(fù)合故障診斷方法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1對(duì)采集到的故障振動(dòng)信號(hào)去均值、分析頻譜，確定其共振頻帶帶寬；

步驟2根據(jù)步驟1確定的頻帶帶寬確定共振頻率fn集合F，選取SNR較高的一段信號(hào)進(jìn)行相關(guān)濾波，根據(jù)所選信號(hào)時(shí)長(zhǎng)指定參數(shù)u的集合T，根據(jù)信號(hào)衰減特性指定阻尼比ξ的集合Z；

步驟3基于相關(guān)濾波得到信號(hào)x(t)中不同故障信號(hào)最佳相關(guān)原子，取對(duì)應(yīng)的頻率和阻尼比值，并結(jié)合時(shí)移參數(shù)構(gòu)建級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典A；

步驟4將構(gòu)建的級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典A代入特征符號(hào)搜索算法中，計(jì)算信號(hào)在級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典中的最優(yōu)稀疏系數(shù)s；

步驟5將最優(yōu)稀疏系數(shù)結(jié)合對(duì)應(yīng)的字典原子分別進(jìn)行稀疏重構(gòu)，得到分離后的不同故障信號(hào)，如式(8)所示，實(shí)現(xiàn)軸承復(fù)合故障信號(hào)的分離和降噪。

x(t)=x1(t)+x2(t)+n(t)=A1s1+A2s2+n(t)

(8)

步驟6對(duì)降噪重構(gòu)后的信號(hào)進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)譜分析(envelope spectrum analysis，ESA)，提取軸承復(fù)合故障的各故障特征頻率，原始信號(hào)的殘余部分可認(rèn)為是噪聲干擾成分。算法流程圖如圖2所示。

圖2 軸承復(fù)合故障診斷算法流程圖Fig.2 Flow chart of bearing compound faults diagnosis algorithm

3 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真驗(yàn)證

根據(jù)滾動(dòng)軸承在內(nèi)圈、外圈和滾動(dòng)體上發(fā)生剝落故障時(shí)的特點(diǎn)構(gòu)造故障仿真信號(hào)x(t)，其表達(dá)式[23-24]

(9)

且

(10)

式中：Ai為周期為1/Q的調(diào)制幅值；Q為旋轉(zhuǎn)周期(轉(zhuǎn)頻fr=1/Q)；CA為幅值隨機(jī)常數(shù)(CA>A0)；s(t)為點(diǎn)蝕故障引起的沖擊；T為沖擊周期；ξ為黏滯阻尼比；fn為系統(tǒng)的共振頻率；隨機(jī)變量τi為第i次沖擊相對(duì)于平均周期T的微小滑動(dòng)；n(t)為隨機(jī)噪聲。

設(shè)置內(nèi)圈故障仿真信號(hào)xi(t)參數(shù)為：幅值A(chǔ)i=2，采樣頻率fs為25 600 Hz，內(nèi)圈故障共振頻率fn為4 000 Hz，故障特征頻率fp=54 Hz。設(shè)置外圈故障仿真信號(hào)xo(t)參數(shù)為：幅值A(chǔ)o=2，采樣頻率fs同樣為25 600 Hz，外圈故障共振頻率fn為2 000 Hz，故障特征頻率fp=36 Hz。軸承的轉(zhuǎn)速設(shè)為600 r/min(fr=10 Hz)，將內(nèi)外圈仿真信號(hào)疊加構(gòu)成復(fù)合故障信號(hào)，并加入信噪比為-5 dB的加性高斯白噪聲n(t)。軸承內(nèi)外圈仿真故障信號(hào)及復(fù)合故障信號(hào)，如圖3所示。

ws=round(fs/fp)

(11)

式中：fs為采樣頻率；fp為軸承故障特征頻率。

將構(gòu)建的級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典代入稀疏優(yōu)化算法中，對(duì)原始復(fù)合故障信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，分離和重構(gòu)不同脈沖響應(yīng)的信號(hào)，即內(nèi)外圈故障信號(hào)。觀察圖5所示重構(gòu)后的內(nèi)外圈故障信號(hào)時(shí)域波形圖，其基本去除了噪聲，同時(shí)故障信號(hào)得到了較好提取。對(duì)稀疏重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行Hilbert解調(diào)可得各自的包絡(luò)譜，如圖6所示，可見(jiàn)故障特征明顯易分辨，噪聲得到了很好的抑制。

圖3 內(nèi)外圈故障及其復(fù)合故障仿真時(shí)域波形Fig.3 Time domain waveform of inner and outer loop fault and its compound fault simulation

圖4 復(fù)合故障仿真信號(hào)頻譜圖Fig.4 Spectrum of composite fault simulation signal

從上述仿真分析結(jié)果可知，基于級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典與特征符號(hào)搜索算法可有效地將含噪的復(fù)合故障信號(hào)進(jìn)行分離和降噪，稀疏重構(gòu)的內(nèi)外圈故障信號(hào)的包絡(luò)譜也可十分清晰的看到其各自的故障特征頻率以及倍頻、邊頻分量，且無(wú)相互干擾的頻率成分存在。表明本文所提方法可將含噪軸承復(fù)合故障仿真信號(hào)中的內(nèi)、外圈故障信號(hào)高效準(zhǔn)確地逐一分離提取出來(lái)，現(xiàn)通過(guò)實(shí)驗(yàn)信號(hào)對(duì)其有效性進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。

圖5 復(fù)合故障仿真信號(hào)的分離與重構(gòu)Fig.5 Separation and reconstruction of composite fault simulation signal

圖6 復(fù)合故障仿真信號(hào)的特征提取Fig. 6 Feature extraction of composite fault simulation signal

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證數(shù)據(jù)為滾動(dòng)軸承疲勞壽命實(shí)驗(yàn)采集得到。實(shí)驗(yàn)設(shè)備采用杭州軸承試驗(yàn)研究中心有限公司ABLT-1A軸承壽命試驗(yàn)機(jī)，結(jié)構(gòu)如圖7所示，實(shí)驗(yàn)對(duì)象為NSK公司6205深溝球軸承。轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速為3 000 r/min (轉(zhuǎn)頻fr=50 Hz)，采樣頻率為51 200 Hz，從實(shí)驗(yàn)起始到軸承失效共持續(xù)了269 h，均方根RMS達(dá)到21 mm/s，此時(shí)軸承完全失效，拆解實(shí)驗(yàn)軸承發(fā)現(xiàn)其內(nèi)圈和外圈皆發(fā)生點(diǎn)蝕剝落故障。NSK6205深溝球軸承內(nèi)外圈理論故障特征頻率為：外圈fo=181.73 Hz，內(nèi)圈fi=268.27 Hz。NSK6205軸承故障區(qū)放大圖如圖8、圖9所示。

選取發(fā)生故障后某一時(shí)刻的全壽命數(shù)據(jù)，其時(shí)域波形如圖10所示，同時(shí)繪制其頻譜、包絡(luò)譜如圖11、圖12所示。

圖7 ABLT-1A軸承壽命試驗(yàn)機(jī)Fig.7 ABLT-1A bearing life testing machine

圖8 6205軸承內(nèi)圈故障拆解圖Fig.8 6205 disassembly drawing of bearing inner ring fault

圖9 6205軸承外圈故障拆解圖Fig.9 6205 disassembly drawing of bearing outer ring fault

圖10 復(fù)合故障信號(hào)時(shí)域波形Fig.10 Time domain waveform of composite fault signal

圖11 復(fù)合故障信號(hào)頻譜圖Fig.11 Spectrum of composite fault signal

圖12 復(fù)合故障信號(hào)包絡(luò)譜圖Fig.12 Envelope spectrum of composite fault signal

圖13 外圈重構(gòu)信號(hào)時(shí)域波形圖Fig.13 Time domain waveform of outer circle reconstruction signal

圖14 內(nèi)圈重構(gòu)信號(hào)時(shí)域波形圖Fig.14 Time domain waveform of inner circle reconstruction signal

圖15 外圈重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜Fig.15 Envelope spectrum of outer circle reconstruction signal

圖16 內(nèi)圈重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜Fig.16 Envelope spectrum of inner circle reconstruction signal

從全壽命實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果可知，基于級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典與特征符號(hào)搜索算法同樣可準(zhǔn)確有效地分離實(shí)測(cè)復(fù)合故障信號(hào)。分離后的信號(hào)包絡(luò)譜表明，該方法很好的提取到了各故障的特征頻率以及倍頻、邊帶成分，且相互間干擾的頻率很小，譜圖也較為干凈。從重構(gòu)的故障信號(hào)圖和各自的包絡(luò)譜可看出，其實(shí)現(xiàn)了很好的降噪，故障特征頻率易識(shí)別。對(duì)此實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提方法在軸承復(fù)合故障分離和特征提取方面具有可行性與有效性。

4 結(jié) 論

本文利用相關(guān)濾波來(lái)估算構(gòu)建與軸承點(diǎn)蝕剝落故障信號(hào)相匹配的級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典的參數(shù)，然后將構(gòu)建的級(jí)聯(lián)字典與以基追蹤降噪問(wèn)題為優(yōu)化原則的特征符號(hào)搜索算法相結(jié)合，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)軸承復(fù)合故障的分離和特征提取。仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，本文所述稀疏優(yōu)化算法可高效求解信號(hào)在級(jí)聯(lián)過(guò)完備字典上的最優(yōu)稀疏表示系數(shù)，且通過(guò)稀疏系數(shù)結(jié)合對(duì)應(yīng)的字典原子可有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的分離和重構(gòu)，并達(dá)到信號(hào)降噪的目的。對(duì)分離重構(gòu)后的信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析，其可清晰準(zhǔn)確地提取到各類(lèi)故障的特征頻率。