帶電粒子在復合場中的運動問題剖析

田長軍

帶電粒子在復合場中的運動問題綜合了洛倫茲力、牛頓運動定律、勻速圓周運動、能量觀點等重點知識，同時對數學運算能力、空間想象能力、作圖能力都有較高要求，是高考命題的熱點和重點。近年來，高考對帶電粒子在復合場中的運動問題考查比較頻繁，一般為計算題和選擇題，難度較大，綜合性較強，預計該考點仍為今后高考考查的熱點。筆者對近年來全國卷高考真題進行了研究，總結了帶電粒子在復合場中運動問題的命題規律，并給出了典型預測題及相應的備考策略，希望對同學們備考有所幫助。

一、近年全國卷真題命題規律

根據上表分析，近年來全國卷對此類問題命題有以下規律：

1.?考查題型：考查題型有單選題和壓軸計算題，預計今后仍然以電場和磁場的組合為高頻考點，出現壓軸多選題的可能性也較大。

2.?考向：非常熱的考向是帶電粒子在組合場中的運動，電場與磁場的組合是高頻考點;較熱的考向是帶電粒子在疊加場中的運動。預計今后仍以考查組合場和疊加場為主，不排除考查交變場的可能。還有可能將復合場問題與圖像問題、臨界問題、最值問題與現代科技綜合考查。

3.?難度：因本考點與力學知識的綜合，使考題的難度較大，常以中等題或難題形式出現。

4.?考查的物理核心素養主要為：物理觀念和科學思維。

二、2021年高考預測試題剖析與備考策略

【預測1】如圖1所示，平面直角坐標系xOy的第二、三象限內有方向沿y軸正方向的勻強電場，第一、四象限內有圓形有界磁場，有界磁場的半徑為?L，磁場的方向垂直于坐標平面向里，磁場邊界與y軸相切于O點，在x軸上坐標為（-L，0）的P點沿與x軸正方向成θ=45°角斜向上射出一個速度大小為v0的帶電粒子，粒子的質量為m，電荷量為q，粒子經電場偏轉垂直y軸射出電場，粒子進入磁場后經磁場偏轉以沿y軸負方向的速度射出磁場，不計粒子的重力。求：

（1）粒子從y軸上射出電場的位置坐標;

（2）勻強電場的強度大小及勻強磁場的磁感應強度大小;

（3）粒子從P點射出到射出磁場運動的時間為多少？

【解析】（1）粒子在電場中的運動為類平拋運動的逆運動，

水平方向L=v0cos?θ·t1

豎直方向y=?v0sin?θ·t1

解得y=?L

粒子從y軸上射出電場的位置為（0，?L）。

（2）粒子在電場中的加速度a=

豎直分位移y=?at12

解得E=

粒子進入磁場后做勻速圓周運動，以沿y軸負方向的速度射出磁場，運動軌跡如圖2所示，

由幾何知識得：AC與豎直方向夾角為45°

AD=?y=?L

因此AC剛好為圓形有界磁場的直徑，粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑：r=L

粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律得

qvB=m

其中，粒子的速度：v=v0cos?θ

解得B=?。

（3）粒子在電場中的運動時間t1=?=

粒子離開電場進入磁場前做勻速直線運動，

x=?L-?L

粒子做直線運動的時間：t2=?=

粒子在磁場中做圓周運動的時間：

t3=?T=?×?=

粒子總的運動時間：t=t1+t2+t3=?+?。

【備考策略】帶電粒子先經過電場偏轉后進入磁場偏轉，但“電偏轉”和“磁偏轉”的本質不同：

帶電粒子在組合場中運動的常見類型及處理方法：（以下情況均不計重力）

（1）從電場進入磁場

①粒子先在電場中做加速直線運動，然后進入磁場做圓周運動。在電場中利用動能定理或運動學公式求粒子剛進入磁場時的速度。

②粒子先在電場中做類平拋運動，然后進入磁場做圓周運動。在電場中利用類平拋運動知識求粒子進入磁場時的速度。

（2）從磁場進入電場

①粒子進入電場時的速度與電場方向相同或相反，做勻變速直線運動。

②粒子進入電場時的速度方向與電場方向垂直，做類平拋運動。

（3）從一種磁場進入另一種磁場

因磁感應強度不同，軌道半徑或運動軌跡會發生變化，銜接點的速度是聯系兩運動過程的橋梁。

（4）從一種電場進入另一種電場（兩電場的場強不同）

在電場中做勻加速直線運動或類平拋運動，分段分過程處理。

【預測2】如圖3所示，靜止于A處的離子，經加速電場加速后沿圖中圓弧虛線通過靜電分析器，從P點垂直CF進入矩形區域的有界勻強電場，電場方向水平向左。靜電分析器通道內有均勻輻射分布的電場，已知圓弧虛線的半徑為R，其所在處電場強度為E，方向如圖3所示。離子質量為m、電荷量為q，?=2d，?=3d，離子重力不計。

（1）求加速電場的電壓U;

（2）若離子恰好能打在Q點上，求矩形區域QFCD內勻強電場的電場強度E0的值;

（3）若撤去矩形區域QFCD內的勻強電場，換為垂直于紙面向里的勻強磁場，要求離子能最終打在QF上，求磁場的磁感應強度B的取值范圍。

【解析】（1）離子在電場中加速，據動能定理有qU=?mv2

離子在輻向電場中做勻速圓周運動，電場力提供向心力，由牛頓第二定律可得qE=m

解得U=?ER。

（2）離子在水平電場中做類平拋運動，有

=2d=vt，?=3d=?at2

由牛頓第二定律得qE0=ma

可得勻強電場的電場強度E0=

（3）離子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得

qBv=m?，可得B=

離子能打在QF上，則離子運動徑跡的邊界如圖4所示，

由幾何關系知?d

【備考策略】本題也屬于組合場的問題。按組合場問題處理的方法，粒子的運動可分為三個階段：

第一階段：粒子在勻強電場中做初速度為零的勻加速直線運動，加速結束后獲得了一定的速度v。

第二階段：以速度v進入靜電分析器通道內均勻輻射分布的電場，此電場的大小不變，方向始終與速度方向垂直，所以此電場只改變粒子速度的方向，即粒子在此電場中做勻速圓周運動。實際命題中，此電場可用勻強磁場代替。

第三階段：①若QFCD內為勻強電場時，粒子進入后做類平拋運動;

②若QFCD內為勻強磁場時，粒子進入后做勻速圓周運動。

可見，處理組合場問題時，應掌握粒子進入各個場中的運動情況及處理方法，然后分階段緊湊關聯。

【預測3】?如圖5所示，豎直平面內，在y軸右側為勻強電場區域，場強為E1，方向水平向左，在y軸左側為勻強電場和勻強磁場的疊加區域，勻強電場的場強為E2，方向豎直向上，勻強磁場方向垂直紙面向外且只分布在等邊三角形MNP區域內，NP與y軸重合。場強E1=E2=1.0×104?N/C，磁感應強度B=?×104?T。在A點（?m，?m）處有一質量為m=1.0×10-3?kg、帶電荷量為q=+1.0×10-6?C的小球由靜止釋放。（g=10?m/s2）

（1）求小球到O點時的速度大小和方向;

（2）若小球經過MNP區域后最終從NP邊經過y軸再次進入第一象限，對應有一個最小的等邊三角形勻強磁場的區域，求此時頂點M的坐標;

（3）若在線段OA上不同位置由靜止釋放該小球，請寫出小球通過NP邊后，速度第一次變為y軸負方向的所有位置點滿足的方程。

【解析】（1）由題可知，在y軸右側mg=qE1=0.01?N，其合力方向由A點指向O點，

由動能定理有mgy1+qE1x1=?mv2-0

解得v=2?m/s，方向沿AO指向第三象限。

（2）在y軸左側，mg=qE2=0.01?N，此二力平衡，洛倫茲力提供向心力

如圖6所示，設小球做圓周運動的半徑為R，則

qvB=m?，

R=?m

故頂點M的橫、縱坐標分別為

y2=Rsin?45°=?m

x2=-（2R+Rcos?45°）

=-?m

則頂點M的坐標為（-?m，?m）。

（3）設小球從（x，y）點釋放，其中y=x，且小球到達O點的速度為v1，在y軸左側仍然做勻速圓周運動，其半徑設為r，則v21=2×?g×?x

qv1B=m

出磁場時的坐標為（0，?r）

出磁場后，在y軸右側的運動為類平拋運動，如圖7所示，設速度第一次變為y軸負方向的時間是t，水平、豎直分加速度的大小均為g，則：

水平方向v1cos?45°=gt

豎直方向Δy=v1sin?45°·t+?gt2

故Δy=3x

故該點的縱坐標y=?r-Δy

所以，這些位置點所滿足的方程為y=?-3x。

【備考策略】帶電粒子在疊加場中運動的分析方法：

（1）弄清疊加場的組成，進行受力分析。

（2）確定帶電粒子的運動狀態，注意運動情況和受力情況的結合。

（3）畫出粒子運動軌跡，靈活選擇不同的運動規律。

①當帶電粒子在疊加場中做勻速直線運動時，根據受力平衡列方程求解。

②當帶電粒子在疊加場中做勻速圓周運動時，應用牛頓運動定律結合圓周運動規律求解。

③當帶電粒子做復雜曲線運動時，一般用動能定理或能量守恒定律求解。

（4）對于臨界問題，注意挖掘臨界條件和隱含條件。

【預測4】如圖8所示，長度為l、垂直紙面的兩平行板CD、MN間存在勻強磁場，磁場隨時間變化的規律如圖9所示，板間距離為2l，平行板右側有一水平方向的勻強電場。t=0時，一質量為m、電荷量為+q的粒子（不計重力），以初速度v0由MN板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁場且平行于板面的方向射入磁場區，以垂直于DN邊的方向進入電場區域，之后又回到磁場中，最后從平行板左端靠近板面的位置離開磁場，速度方向與初速度方向相反。上述m、q、l、v0為已知量。

（1）若粒子在TB時刻進入電場，求B0的最大值;

（2）若粒子在TB時刻進入電場，且B0取最大值，求電場強度E及粒子在電場中向右運動的最大距離;

（3）若B0=?，求TB滿足的條件。

【解析】（1）若粒子在TB時刻進入電場，畫出粒子在磁場中的運動軌跡如圖10所示。

臨界情況是經過?速度偏轉角為90°，此時粒子運動半徑具有最小值R0=

根據qv0B0max=

得B0max=?。

（2）粒子做勻速圓周運動的周期T0=?=

可知TB=?=

粒子在電場中運動的時間為

t=?（n=1、2、3、…）

由運動學規律得t=

由牛頓第二定律得qE=ma

解得E=?（n=1、2、3、…）

d=?×?=?（n=1、2、3、…）。

（3）由B0=?可知R=2l

則T=?=

設θ為粒子在0～?內的速度偏轉角，由分析可知

2nRsin?θ=l（n=1、2、3、…）

=?T

聯立可得TB=?，且sin?θ=?（n=1、2、3、…）。

【備考策略】帶電粒子在交變場中運動的分析方法：

（1）解決帶電粒子在交變電場、磁場中的運動問題時，關鍵要明確粒子在不同時間段內、不同區域內的受力特性，對粒子的運動情景、運動性質做出判斷。

（2）這類問題一般都具有周期性，在分析粒子運動時，要注意粒子的運動周期、電場周期、磁場周期的關系。

（3）帶電粒子在交變電磁場中運動仍遵循牛頓運動定律、運動的合成與分解、動能定理、能量守恒定律等力學規律，所以此類問題的研究方法與質點動力學相同。

【預測5】（多選）醫用回旋加速器的核心部分是兩個D形金屬盒，如圖11所示，兩金屬盒置于勻強磁場中，并分別與高頻電源相連。現分別加速氘核（21H）和氦核（42He）并通過線束引出加速器。下列說法中正確的是（???）

A.?加速兩種粒子的高頻電源的頻率相同

B.?兩種粒子獲得的最大動能相同

C.?兩種粒子在D形盒中運動的周期相同

D.?增大高頻電源的電壓可增大粒子的最大動能

【解析】回旋加速器加速粒子時，粒子在磁場中運動的周期應和交流電的周期相同。帶電粒子在磁場中運動的周期T=?，兩粒子的比荷?相等，所以周期相同，故加速兩種粒子的高頻電源的頻率也相同，A、C正確;?根據qvB=m?，得v=?，最大動能Ek=?mv2=?，與加速電壓無關，兩粒子的比荷?相等，電荷量q不相等，所以最大動能不等，故B、D錯誤。

【備考策略】復合場在現代科技中的應用問題，中學階段常見的有以下幾類：

試題無論以哪種裝置為背景呈現，解題無外乎用組合場、疊加場和交變場的處理方法。因此，涉及復合場在現代科技中的應用問題時，首先認真審題，根據物理情景建構相應的物理模型，然后根據相應的物理規律解題。

責任編輯?李平安