解析法求解2020年高考全國理綜Ⅰ卷第18題

吳迎春 張曉明

摘 要：針對2020年高考全國理綜I卷第18題，綜合運(yùn)用平面解析幾何、平面坐標(biāo)變換和確定極值問題的數(shù)學(xué)方法，提出了解析分析和求解帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動時間問題的一種方法.在原題的基礎(chǔ)上，將部分磁場邊界推廣為具有任意半徑的半圓形，利用所提出的分析方法，得到嚴(yán)格的解析結(jié)果.

關(guān)鍵詞：有界磁場;帶電粒子;極坐標(biāo)方程;極值;解析法

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1008-4134（2021）03-0060-02

基金項(xiàng)目：教育部高等學(xué)校教研究項(xiàng)目“大學(xué)物理問題探究教學(xué)模式的深入探索與實(shí)踐”（課題編號：DJZW201927zn）.

作者簡介：吳迎春（1984-），女，安徽黃山人，碩士，中學(xué)一級教師，研究方向：中學(xué)物理學(xué)科教學(xué);

張曉明（1978-），男，山東臨朐人，博士，副教授，研究方向：理論物理.

帶電粒子在有界均勻磁場中的勻速圓周運(yùn)動問題既是“磁場”部分教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)，也是高考考查的熱點(diǎn).通常情況下需要學(xué)生借助作圖找到解題的必要條件，再利用平面幾何方法分析和處理[1-2]. 正確的精準(zhǔn)作圖和全力找出邊、角幾何關(guān)系式，是求解本類問題的難點(diǎn).2020年高考全國理綜Ⅰ卷第18題，以求帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時間為考點(diǎn)再次呈現(xiàn)這類問題.本文以此題為例，采用極坐標(biāo)和確定極值的初等數(shù)學(xué)方法[3]，提出了利用平面解析幾何方法分析求解此類問題的思路.

此題的物理情境也給筆者一些啟示，進(jìn)一步設(shè)計將原題部分磁場邊界推廣為具有任意半徑的半圓形，用本文提出的解析方法，得到了更為一般的解析結(jié)果.筆者期望這些研究將有助于拓展教學(xué)思路和豐富相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，提升學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力.

（2020年全國理綜Ⅰ卷 18題）一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖1中虛線所示，ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率.不計粒子之間的相互作用.在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子，其運(yùn)動時間為

A.7πm6qBB.5πm4qBC.4πm3qBD.3πm2qB

分析：在勻強(qiáng)磁場中，帶電粒子僅受到洛倫茲力的作用，做勻速圓周運(yùn)動.根據(jù)牛頓第二定律qvB=mv2r，由T=2πrv可得帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動周期為T=2πmqB，即在同一勻強(qiáng)磁場中，質(zhì)量和電量均相同的帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動的周期與其運(yùn)動速度大小無關(guān).利用比例關(guān)系可知，當(dāng)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動所對應(yīng)的圓心角為θ時，粒子運(yùn)動時間為t=θ2πT=mqBθ ，即粒子轉(zhuǎn)過的圓心角越大，用時越長.

1 用解析方法對原題的解答

以入射點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立二維直角坐標(biāo)系，如圖2所示.由上述討論可知，不同速度的帶電粒子在y<0區(qū)域內(nèi)運(yùn)動的時間相同，均為t1=πmqB，故只需求解在半圓ab與Ox軸所包圍的區(qū)域內(nèi)帶電粒子運(yùn)動的最長時間t2，二者相加的結(jié)果即為本題的正確選項(xiàng).

在Oxy坐標(biāo)系中，設(shè)半圓ab的圓心坐標(biāo)為2R，0，半徑為R，半圓ab區(qū)域磁場邊界的方程為

（x-2R）2+y2=R2 （1）

設(shè)帶電粒子進(jìn)入半圓ab磁場區(qū)域運(yùn)動時的軌道半徑為r，則其運(yùn)動軌跡的圓心O′的坐標(biāo)為（r，0），其運(yùn)動軌跡方程為

（x-r）2+y2=r2 （2）

由式（1）和（2）可得兩圓交點(diǎn)所滿足的方程

2xr-4xR+3R2=0 （3）

以（r，0）為極點(diǎn)，O′x和θ分別為極軸和極角，建立極坐標(biāo)系，有x=r（1+cosθ），將其代入上式，得

2（1+cosθ）r2-4R（1+cosθ）r+3R2=0（4）

解得

cosθ=3R22（-r2+2rR）-1=3R22f1（r）-1 （5）

其中f1（r）=-r2+2rR=a0r2+b0r+c0，這里a0=-1<0.利用拋物線開口向下求極值的公式可知，當(dāng)r=-b02a0=R時，f1（R）=4a0c0-b204a0=R2為最大值，cosθ=12為最小值，而圓心角取最大值θm=π3.由此可得帶電粒子在半圓ab磁場區(qū)域運(yùn)動的最長用時為t2=mqB·π3，在磁場中運(yùn)動的最長用時為 t=t1+t2=4πm3qB，即為選項(xiàng)C.

利用上述解析方法，我們還可以從理論上解釋“放縮圓”定性分析此題的結(jié)果[4].由（5）式可看出，“放縮圓”所刻畫的運(yùn)動圓軌道半徑r在R逐漸增大到1.5R的過程中，cosθ先減后增，θ先增后減，臨界半徑r=R與最大圓心角所對應(yīng).

2 將原題中的半圓形磁場邊界推廣為任意半徑

高考試題不僅具有考查學(xué)生對本學(xué)科知識的理解、掌握和綜合應(yīng)用能力的功能，而且透過試題對我們從事相關(guān)教學(xué)的教師也有很好的引領(lǐng)和啟發(fā)作用[5].受此啟發(fā)，若將原題設(shè)定的“ac間的距離等于半圓的半徑”條件稍加推廣，設(shè)定這兩者之間為任意的倍數(shù)關(guān)系，即 R=αac___=αD，其中D為ac間的距離，α取正實(shí)數(shù).筆者期望從一般的相關(guān)長度條件出發(fā)，保持原題的設(shè)問不變，總結(jié)出這類問題的規(guī)律性.下面僅做簡單的分析和討論.

磁場邊界的方程改寫成

[x-（D+R）]2+y2=R2（6）

由（2）和（6）式，得

2xr-2x（D+R）+D（D+2R）=0（7）

引入極坐標(biāo)后，有x=r（1+cosθ），代入（7）并整理得

1+cosθ=D（D+2R）2（-r2+（D+R）r）=D（D+2R）2f2（r）（8）

同樣利用二次函數(shù)最大值的解法，可得：當(dāng)r=r*=D+R2時，f2（r*）=（D+R）24，而cosθ所取的最小值為

cosθ=1-2R2D+R2=1-2α21+α2=1+2α-α2（1+α）2（9）

結(jié)論：當(dāng)軌跡圓的圓心和半徑分別為（D+R2，0）與D+R2時，獲得最大圓心角;圓心角由（9）確定;當(dāng)α=1時，cosθ=12，θm=π3 ，即回到原題欲求的最大圓心角（求時間的步驟略）.

綜合平面解析幾何、極坐標(biāo)和初等數(shù)學(xué)求極值等方法，將其運(yùn)用到解決帶電粒子在磁場中運(yùn)動時間的問題上，不僅得到嚴(yán)格的解析結(jié)果，而且還可以對“放縮圓”方法得出的定性結(jié)果給出定量的解釋.平面解析幾何中圓的知識為高中數(shù)學(xué)必修，在學(xué)生已掌握的情況下，結(jié)合實(shí)際物理問題的運(yùn)用，更有利于學(xué)生綜合能力的提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]李瑋.同源帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的臨界極值問題[J].中學(xué)物理，2020，38（13）：63-65.

[2]李瑋.妙用“連心線”巧解“帶電粒子在圓形磁場中的運(yùn)動”問題[J].中學(xué)物理，2020，38（07）：64-65.

[3]陳澤，陳娜娜.高考物理壓軸題中極值問題解法的研究[J].物理通報，2013（11）：92-94+97.

[4]張磊.借助數(shù)學(xué)方法巧解2020年高考全國Ⅰ卷第18題[J].中學(xué)物理，2020，38（15）：51-52.

[5]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北 京：人民教育出版社，2019.

（收稿日期：2020-09-28）