電機伺服系統快速自適應抗擾控制

方靖荃,鄧文翔,姚建勇,陳久輝,王鵬飛

(南京理工大學機械工程學院,210094,南京)

電機伺服系統在工業和國防領域有著廣泛應用,因此其高精度運動控制問題一直是相關領域的研究熱點[1-3]。然而,由于實際系統存在諸多模型不確定性,包括參數不確定性[4]和未建模干擾[5](如非線性摩擦等),嚴重制約系統控制性能的提升,給電機伺服系統的高精度運動控制帶來巨大挑戰[6]。

為解決上述問題,研究者們提出了各種不同的控制策略。Whitaker等人提出的自適應控制(AC)通過參數自適應律實現未知參數的在線更新,可以有效處理系統參數不確定性[7-8]。Yao等人提出的自適應魯棒控制(ARC),能夠同時處理系統參數不確定性與未建模干擾,在理論上保證了給定的瞬態跟蹤性能和穩態跟蹤精度,并且當僅存在參數不確定性時,還可以實現漸近跟蹤[9-10]。當系統未建模干擾較強時,ARC只能通過高反饋增益保證良好的控制效果,然而過高的反饋增益可能激發系統高頻動態進而引發系統失穩。Han等人提出的自抗擾控制(ADRC)利用擴張狀態觀測器(ESO)對廣義擾動進行估計,實現在不需要太多系統模型信息的條件下的干擾補償[11-13]。然而,ADRC未精確考慮系統的參數不確定性,當系統模型不確定性主要來自不確定參數時,其控制性能往往弱于傳統自適應控制。文獻[14-15]融合自適應控制和基于干擾觀測的補償控制的特點,提出了一種基于模型的自抗擾自適應控制方法(ADRAC)。ADRAC控制器在保留所融合的兩種控制方法優勢的同時,克服了它們各自的性能缺陷,但由于該控制策略中參數自適應律僅由跟蹤誤差和系統狀態估計誤差驅動,參數估計收斂速度較慢,進而導致了較差的系統瞬態跟蹤性能。

基于以上考慮,本文針對實際電機伺服系統,提出了一種快速自適應抗擾控制(FADRC)方法。考慮到未知參數和其估值間的誤差一般難以測量,通過引入一階低通濾波運算和輔助中間變量提取參數估計誤差,構造了一種由跟蹤誤差、參數估計誤差及狀態估計誤差復合驅動的新型參數自適應律,并與擴張狀態觀測器有效融合,實現系統未知參數估計指數收斂的同時可主動補償系統的未建模干擾。當系統存在時變干擾時,所提出的控制方法可保證一致最終有界的跟蹤性能,當系統只存在常值干擾時,還可獲得優異的漸近跟蹤性能。此外,得益于新型快速參數自適應律,系統的瞬態性能可以獲得有效提升。針對電機伺服系統的測試實驗驗證了本文所提出控制方法的有效性以及相比于現有方法的優越性。

1 數學建模

本文研究的伺服電機系統體系結構如圖1所示:位移控制器接收參考位置信號x1d(t)并將控制輸入u傳遞至電機驅動器,外部編碼器向位移控制器反饋電機位置信號構成位置閉環;運行于轉矩模式下的驅動器驅動永磁同步電機帶動慣性負載,驅動器內部的PID控制器完成電流閉環。控制器設計目標為:給定x1d(t),設計一個有界且連續的u使得系統輸出位移x1跟蹤x1d(t)的誤差盡可能地小。考慮到電機的電磁時間常數相較機械時間常數小得多,并且電流環的響應速度遠大于位置環的響應速度,故可忽略電流環動態,將其近似為比例環節處理。可建立慣性負載的動力學方程如下

圖1 電機伺服系統體系結構圖Fig.1 Architecture diagram of motor servo system

(1)

式中:y和m分別表示角位移和負載慣量;Ki表示力矩常數;u表示控制輸入;B表示黏性摩擦系數;f表示其他未建模干擾,如非線性摩擦、外干擾等。

(2)

為了便于控制器設計,作如下假設。

假設1系統參考位置信號x1d(t)二階連續可微,且其各階導數均有界。

假設2未知參數θ的范圍已知,即

θ∈Ωθ≡{θ:θmin≤θ≤θmax}

(3)

式中:θmin=[θ1min,θ2min]T、θmax=[θ1max,θ2max]T分別表示未知參數的已知下界和上界。

2 快速自適應抗擾控制器設計

針對電機伺服系統,本文提出的快速自適應抗擾控制(FADRC)方法的原理如圖2所示。一方面,通過設計參數自適應律降低系統參數不確定性;另一方面,通過構造擴張狀態觀測器估計系統未建模干擾。在此基礎上綜合考慮,設計控制輸入u。

圖2 快速自適應抗擾控制系統框圖Fig.2 Block diagram of fast adaptive disturbance rejection control system

2.1 參數自適應律設計

(4)

式中:Si代表向量S的第i個元素(i=1,2)。

采用如下參數自適應律

(5)

式中:Γ>0為對角自適應率矩陣;τ為自適應律函數。對于任意的自適應律函數τ,所使用的不連續投影映射均可以保證[9]

(6)

2.2 擴張狀態觀測器設計

根據文獻[16],可構造系統擴張狀態觀測器(ESO)如下

(7)

情形1令x3≡d(x,t),則基于系統模型可構造系統擴張狀態方程如下

(8)

式中:h(t)表示x3關于時間的導數。

系統狀態估計誤差動態可表示為

(9)

(10)

(11)

系統狀態估計誤差動態變為

(12)

由于矩陣A是Hurwitz矩陣,故一定存在正定矩陣J滿足如下Lyapunov等式

ATJ+JA=-E

(13)

式中E表示單位矩陣。

通過計算不難求出矩陣J

(14)

經過分析可以發現,無論如何定義系統的擴張狀態變量,所構造的ESO都是相同的,不同的只是狀態估計誤差動態的表達式。這一性質將有助于在不同情形下運用Lyapunov函數進行穩定性分析。此外,基于文獻[17]的結論可以推斷,所構造的線性ESO是穩定的,且理論上通過增大參數ωo,可以保證系統的狀態估計誤差任意小。

2.3 控制器設計

由反步法思想,設計快速自適應抗擾控制器的步驟如下。

步驟1定義如下誤差變量

(15)

式中:z1為系統跟蹤誤差;α1為狀態x2的虛擬控制律;z2為兩者之間的偏差。

對z1求導,可得

(16)

設計虛擬控制律如下

(17)

式中增益系數k1>0。由式(15)～(17)可得

(18)

步驟2設計第二通道的自適應律。為了便于理論推導,在情形1(即x3≡d(x,t))的條件下,假設系統的未建模干擾為常值,即h(t)=0,將式(2)中的第2個公式變形為

(19)

(20)

式中,k>0表示濾波運算系數。

另外,注意到

(21)

進一步,可定義如下輔助中間變量P、Q

(22)

式中l為濾波系數,是一個正值常數。

對上式進行積分操作,可得P、Q表達式如下

(23)

由上式可推得

Q=Pθ

(24)

進而可定義包含參數估計誤差信息的矩陣H

(25)

定義λmax(·)和λmin(·)分別表示相應矩陣的最大最小特征值,則有如下引理。

引理1如果回歸矩陣φ滿足持續激勵條件(PE),則矩陣P是正定的,使得其最小特征值λmin(P(t))可以滿足[18]

(26)

式中σ為常數。

在此基礎上,可定義參數自適應函數τ為

(27)

式中C1>0、C2>0、C3>0表示自適應增益系數。

不同于傳統控制方法的自適應律,式(27)提出的新型參數自適應律包含3項:第1項φTz2基于系統跟蹤誤差信息,第2項PTH/‖H‖基于參數估計誤差信息,第3項εTJB1φ/ωo基于系統狀態估計誤差信息。當取定系數C2=0時,式(27)退化為自抗擾自適應控制所采用的自適應律;進一步取定C3=0,則退化為傳統自適應控制對應的經典自適應律。

通過運用新型參數自適應律,可以在繼承傳統自適應律優點的基礎上,克服其參數估計收斂速度較慢,系統瞬態跟蹤性能較差等缺點,進而幫助改善控制性能。

基于獲得的參數估計值,設計實際的控制輸入u為

(28)

式中:k2>0為增益系數;ua是基于在線參數估計和系統狀態估計進行調整的模型補償項;us是線性魯棒反饋項,用來保證系統魯棒性。

3 穩定性分析及證明

對于由式(2)描述的電機伺服系統,所設計的快速自適應抗擾控制器(28)及參數自適應律(27)可保證如下有關系統穩定性的結論。

結論1當h(t)=0時,閉環系統所有信號均有界,且跟蹤誤差漸近收斂至0。

結論2當h(t)≠0時,閉環系統所有信號均有界。

基于Lyapunov穩定性理論,結合所提出的電機伺服系統快速自適應抗擾控制(FADRC)方法,對以上穩定性結論逐條進行證明。

結論1證明在情形1的條件下,可定義Lyapunov函數如下

0.5C3εTJε

(29)

將式(8)、式(15)～(17)及式(27)代入上式,同時假設h(t)=0,對上式求導可得

0.5C3ωo‖ε‖2

(30)

定義

Z=[z1,z2,ε1,ε2,ε3]T

(31)

Λ1=

(32)

可通過調整參數k1、k2、C1、C2、C3、ωo使得對稱矩陣Λ1正定,因此可得

(33)

結論2證明當未建模干擾項d(x,t)為時變的函數時,運用情形2來進行分析。此時假設h(t)有界(即|h(t)|≤ζ,ζ>0),可定義Lyapunov函數如下

V2=0.5z12+0.5C1z22+0.5C3εTJε

(34)

類似于上文的處理,對上式求導可得

0.5C3(ωo-1)‖ε‖2+C3η

(35)

式中,η定義為

(36)

定義

(37)

可通過調整參數k1、k2、C1、C2、C3、ωo,使得對稱矩陣Λ2為正定,則可得

(38)

對式(38)積分可得

(39)

由以上推導可知,對于該閉環系統而言,所有的信號都是有界的,系統的跟蹤誤差z1有界穩定,結論2得證。

(40)

對式(40)求導可得

(C1‖φ‖|z2|+C2‖ε‖‖JB1‖‖φ‖/ωo)]

(41)

由于z2→0且φ是有界的,所以存在某一時刻tf>0,當t>tf時有

(C1‖φ‖|z2|+C2‖ε‖‖JB1‖‖φ‖/ωo)<

0.5C3σ

(42)

(1)k1、k2、ωo和C1、C2、C3偏小會影響控制效果且可能導致矩陣Λ1,Λ2的不正定,偏大又會因為測量噪聲和高頻動態等因素導致系統不穩定、控制效果惡化。因此,通常從較小的初值開始謹慎地增加以提高跟蹤性能,直至達到滿意的效果。

(3)自適應矩陣Γ、濾波運算增益系數l、k主要影響系統參數自適應過程的速度和效果。一般而言,較小的k和較大的Γ有助于使得參數估計值收斂得更快更平穩。在此基礎上,通過反復試錯法完成參數調試取值。

4 實驗驗證

4.1 電動伺服實驗平臺搭建

為了驗證所設計的FADRC控制器的控制性能,搭建電動伺服實驗平臺以進行不同工況下的實驗驗證對比。該實驗平臺包含實驗系統、測控系統兩部分,實驗系統主體由支座、伺服電機和負載慣量盤組成,電機主軸與負載之間通過聯軸器連接,并配有角度編碼器和扭矩傳感器。測控系統由控制柜、顯示屏和鼠標鍵盤組成,控制柜內包含一臺搭載Ardence RTX7.0實時操作系統的工控機,A/D轉換板卡和D/A轉換板卡,光電編碼器數據采集卡、電源以及電機驅動器等。下位機控制程序在實時操作系統的基礎上由離散化的C++代碼編寫,并通過LabWindows CVI構建了相應的上位機可視化監控軟件,系統的控制采樣周期設定為0.5 ms。

圖3 電動伺服實驗平臺Fig.3 Electric servo experiment platform

電動伺服實驗平臺各關鍵元件具體型號規格見表1。

表1 關鍵元件型號規格Table 1 Types of key components

4.2 對比實驗及分析

通過在如下4種控制器間進行比較,驗證所設計的控制器的有效性和優越性。

傳統自抗擾自適應控制器ADRAC,其參數自適應律不包含參數估計誤差信息,故調整C2=0,其他參數與FADRC一致。

經典自適應控制器ARC,其參數自適應律僅包含跟蹤誤差信息,且該算法不含擴張狀態觀測器。故取ωo=0,C2=0,C3=0,其他參數不變。

自抗擾魯棒控制器RCESO與FADRC相比,該控制器不含參數自適應,故取控制輸入u表達式內參數項為其名義值即可,其余不變。

為了充分驗證控制器的控制性能,實驗驗證環節分為無干擾和有干擾兩種工況。

(1)無干擾工況。參考位置信號為x1d(t)=10sin(0.5πt),此工況下不同控制器的跟蹤誤差對比如圖4所示。

圖4 4種控制器在無干擾工況下的跟蹤誤差對比Fig.4 Tracking errors under non-interference condition

為了量化實驗數據,借鑒文獻[15],在表2中選取跟蹤誤差的最大值Me、平均值μ和標準差σ這3項指標以衡量不同控制器的控制性能。

表2 無干擾工況下的性能指標Table 2 Performance indexes under non-interference condition

對比表2數據可知,由于ADRAC控制器有效融合參數自適應律和擴張狀態觀測器,相較于單純的自抗擾控制器(RCESO)和自適應控制器(ARC),各項性能指標均有所提高;在此基礎上,FADRC同時考慮了跟蹤誤差、系統狀態估計誤差和參數估計誤差,優化了系統參數估計收斂速度和瞬態性能,跟蹤精度進一步提升,穩態誤差峰值縮小至0.033 2°,較ADRAC減小約13.8%。

圖5為2種控制器在無干擾工況下的參數估計對比。由數據分析可知,ADRAC控制器參數估計收斂耗時約25 s,本文設計的FADRC控制器僅用時約5 s,這是由于引入包含參數估計誤差信息的切換項,因而使得參數估計快速收斂,相較于ADRAC控制器參數估計速度提升約80%,充分證明了系統快速性的特點。

圖5 無干擾工況下的參數估計Fig.5 Parameter estimation under non-interference condition

(2)有干擾工況。該工況下參考位置信號不變,干擾是通過修改D/A板卡的控制輸出函數ur來模擬實現的。為了充分驗證所設計控制方法的抗擾性能,將ur修改為ur=u-0.05x1-0.05x2,式中x1,x2分別為位置干擾項和速度干擾項。

各控制器在該工況下的跟蹤誤差對比如圖6所示,量化數據列于表3中。

圖6 4種控制器在有干擾工況下的跟蹤誤差對比Fig.6 Tracking errors under interference condition

表3 有干擾工況下的性能指標Table 3 Performance indexes under interference condition

分析數據可知,當存在位置-速度干擾時,FADRC控制器性能指標雖然較無干擾工況有退化,如圖7所示。這是由于參數估計快速收斂,減輕了ESO的估計負擔[14],與其他控制器相比仍具有較好的控制精度,證明了FADRC自身具有良好的抗擾性能。

圖7 有干擾工況下擴張狀態觀測 Fig.7 Expanded state observation under interference conditions

綜上所述,本文所設計的FADRC控制器,相較于其他傳統控制器,在位置跟蹤的穩態誤差和在線參數估計的收斂速度等方面都有明顯改善,具有更為理想的控制性能,充分驗證了其有效性和相比于現有控制方法的優越性。

5 結 論

本文提出了一種電機伺服系統的快速自適應抗擾控制(FADRC)方法。所設計的控制器融合了自適應控制和基于干擾觀測器的補償控制,分別處理參數不確定性和未建模干擾,保留了兩種控制方法的優勢的同時,克服了它們的性能缺陷。所設計的參數自適應律中不僅包含跟蹤誤差項、系統狀態估計誤差項,還引入了與參數估計誤差有關的切換項,顯著提升了系統控制的穩態精度和在線參數估計的收斂速度,改善了系統控制性能。利用Lyapunov方法分析了閉環系統的穩定性,并通過實驗結果對比驗證了所提出的控制器的有效性和優越性。