初中高中兩相依，它山之石可攻玉*
——平幾知識在解幾中的應(yīng)用

福建省廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué) (363123) 王亞坤 林秋林

一、問題提出

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，在高考中有著重要的地位，是高考命題的熱點之一．一般來說，解析幾何綜合問題主要以圓錐曲線為載體，綜合各個模塊知識，全面考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，對邏輯思維能力與運算能力要求較高，有一定的難度.學(xué)生在解答解析幾何綜合問題時，習(xí)慣于先聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，再通過代數(shù)方法進行推理，往往導(dǎo)致運算量太大而不得不中途放棄．事實上，“解析幾何也是幾何”，其本身也隱含著平面幾何的思想方法.在解答某些解析幾何問題時，如果注重“初高中結(jié)合”，充分利用圖形的直觀性和平面幾何知識，靈活處理，不僅能避開繁瑣的代數(shù)運算，還能揭示問題的幾何本質(zhì).同時，借助幾何直觀，利用平面幾何的思想方法解決問題，有助于提高學(xué)生的實踐能力，提升創(chuàng)新意識，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

二、應(yīng)用舉例

1.應(yīng)用“勾股定理”

例1 (2020年高考全國Ⅰ卷)已知圓M:x2+y2-2x-2y-2=0，直線l:2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作圓M的切線PA,PB，且切點為A,B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( ).

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

2.應(yīng)用“三角形中位線”

圖1

3.應(yīng)用“相似三角形”

例3 (2019年高考全國Ⅰ卷)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0)，過F2的直線與C交于A,B兩點．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為( )．

圖2

4.應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”

圖3

5.應(yīng)用“等積法”

圖4

6.應(yīng)用“圓的性質(zhì)”

例6 (2014年高考課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)點M(x0,1)，若在圓O:x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是( ).

圖5

7.應(yīng)用“平行線和等腰三角形的性質(zhì)”

(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB．

圖6

三、結(jié)語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出：“教師要幫助學(xué)生完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，包括知識與技能、方法與習(xí)慣、能力與態(tài)度等方面”[1].平面幾何“討論點，直線，直線的平行和垂直，三角形，圓等.這是平面圖形中最基本、最簡單者，然而也是培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和進一步用坐標(biāo)法討論曲線的基礎(chǔ).”[2]圓錐曲線的學(xué)習(xí)中，一般是給出它們的幾何定義后，便用數(shù)形結(jié)合的代數(shù)方法——“坐標(biāo)法”來討論它們.基于此，在解答解析幾何問題時，要自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的思想，在圖形的研究過程中，注意代數(shù)方法的使用；在代數(shù)方法的使用過程中，加強與圖形的聯(lián)系.借助平面幾何的知識解決解析幾何問題，有助于把握問題的幾何本質(zhì)，有效控制運算量.更重要的是，在解決解析幾何問題時，回歸“圓錐曲線的定義”，靈活利用圖形的直觀性和平面幾何中的相關(guān)結(jié)論，其實質(zhì)就是重新審視數(shù)學(xué)概念并用概念解決問題，這是一種樸素而又重要的策略和思想，有助于使學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間的有機聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提升創(chuàng)新意識.