一道高考導數壓軸題的命制手法

福建省福清第三中學 (350315) 何 燈

王國維《人間詞話》總結人生三層境界：第一層“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”；第二層“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”；第三層“眾里尋他千百度，暮然回首，那人卻在燈火闌珊處”[1].其實數學解題也是有境界的，第一層境界“正確解題”；第二層境界“一題多解”；第三層境界“多題一解”；第四層境界“發現定理”；第五層境界“自己編題”.誠然，不是所有的人都具備編題的能力，但是，鉆研歷年高考真題，探究其命題規律，遵循規律進行解題、析題、命題、教題，不失為跳出“題海”，快速提升自身境界的一個行之有效的途徑.

本文筆者以2018年全國卷Ⅰ理科數學壓軸題為例，探究其命題手法，借助此手法，實現試題的一般性拓展，并編制出相同類型的試題.文中所述只是筆者對命題者命題過程的思考、揣測、推演，可能并非命題者的命題意圖，僅供讀者參考.

一、原題再現

(1)討論f(x)的單調性；

本題是考查學生邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養的一道好題.該題曾作為2011年湖南文科數學壓軸題，且設問類似.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個極值點x1，x2，記過點A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))的直線斜率為k.問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

將上述兩個試題相結合，不難管窺命題者的命題手法.

二、試題命制手法探究

第四步：進行合理設問，設定參數的取值.此處引入3個參變量，為了降低題目難度，需要對這個3個參變量進行賦值.為了體現題目的梯度，一道試題幾個設問往往具有一定的相關性，設問之間呈現層層遞進的關系，前一個設問常常是后一個設問的臺階，為后面問題的解答提供思考方向，埋下伏筆[2].

通過上面的分析，事實上我們得到了原試題的如下一般性拓展

三、基于此手法的試題命制

綜合上述討論，可得如下新的試題

題4 已知函數f(x)=x2-2ax+2lnx.

類似于題3，同樣可將題4作一般性的拓展.取不同形式的p(x)，還可命制出更多類似的試題，限于篇幅，此處不再贅述.

至此，我們實現了試題命題手法的揭示、試題的拓展遷移、試題的再命制，對試題有了更深入的認識，在這個探究過程中，提升了自己的解題境界.這種基于探究策略的試題研究，對提升數學教師的專業素養，提高審題能力、解題能力、析題能力、說題能力、變題能力、命題能力和教題能力有極大的裨益.