一道質(zhì)檢導(dǎo)數(shù)壓軸題的探究

福建省福清華僑中學(xué) (350300) 王 鶯

福建省福清三山中學(xué) (350318) 林永光

試題再現(xiàn)：已知f(x)=ex，g(x)=x+alnx.

(1)討論g(x)的單調(diào)性；

本文擬從試題的命題立意、試題溯源、解法探析、試題延伸等方面對(duì)該試題進(jìn)行研討.

1 命題立意

本題考查直線與曲線相切，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、不等式的證明，考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸能力，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).試題較難.

2 試題溯源

曲線的公切線問(wèn)題，在高考中也曾出現(xiàn)過(guò)，如2016年全國(guó)卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)第16題：若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=.

兩道試題不同之處在于，上面這道真題中兩個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)均可具體求出，篇首試題中x1,x2均無(wú)法求出來(lái)，且消元后的表達(dá)式較為復(fù)雜.

3 解法探析

求解兩曲線的公切線問(wèn)題，通常采用的“先分后合”的方法，通過(guò)假設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)，分別算出切線方程，再由斜率及y軸上的截距相等，得到關(guān)于兩個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，消元，求解出某個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)，問(wèn)題得解.

求解本題難點(diǎn)有兩個(gè).其一：得到方程組之后，消元后的式子較為復(fù)雜，難以繼續(xù)下去；其二：x2的取值范圍與x1相關(guān)聯(lián)，變量x1,x2相互糾纏在一起，令學(xué)生望而生畏.

命題組給出(2)的求解思路如下.

解法一將x1表示為x2的函數(shù)，通過(guò)研究h(x)的單調(diào)性、最值，對(duì)x1的取值進(jìn)行限定，解題過(guò)程中用到了“虛設(shè)零點(diǎn)”這一方法，整個(gè)過(guò)程構(gòu)思巧妙.但對(duì)于大部分學(xué)生，較難想到用x2來(lái)表示x1，更難想到通過(guò)限定x1的取值，以確定x2的下界.解法二較常規(guī)，通過(guò)消元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究h(x)零點(diǎn)的范圍，學(xué)生容易想到，但由于h(x)的形式較為復(fù)雜，大部分學(xué)生未必有能力對(duì)h(x)進(jìn)行求導(dǎo).

事實(shí)上，解法二中求解h(x)零點(diǎn)x2的范圍，除了直接求導(dǎo)之外，常見(jiàn)的還可以將h(x)一分為二，通過(guò)研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的交點(diǎn)位置，定出x2的范圍.遵循這樣的思路，筆者得到了如下解法.

4 試題延伸

圖1

5 教學(xué)感悟

我們常說(shuō)，教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為主體，那么如何在教學(xué)中體現(xiàn)學(xué)生的主體地位？筆者認(rèn)為教師最基本應(yīng)該做到“設(shè)身處地”——站在學(xué)生的視角去思考問(wèn)題.在教學(xué)中，教師要時(shí)刻進(jìn)行如下評(píng)估：所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題是否在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生能夠跳一跳摘到“桃子”？所采用的的方法是否是學(xué)生熟悉的，讓學(xué)生能夠結(jié)合自己的認(rèn)知對(duì)新知識(shí)進(jìn)行建構(gòu)？對(duì)解法是否進(jìn)行了優(yōu)化，以幫助學(xué)生更好的理解掌握？是否引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行歸納總結(jié)，以助力學(xué)生解題質(zhì)量的提升？如果答案都是肯定的，那么，學(xué)生學(xué)習(xí)之“慧根”將會(huì)得到很好的啟迪，解題活動(dòng)之“道術(shù)”將會(huì)得到很好的展現(xiàn).