考慮聲固耦合效應的輸流管道聲振特性分析

陳德錦，嚴謹，羅楊陽，黃超，鄒律龍

1 廣東海洋大學 機械與動力工程學院，廣東 湛江 524088

2 廣東海洋大學 海洋工程學院，廣東 湛江 524088

0 引 言

輸流管道已成為軍工、海洋工程和機械等領域不可或缺的一部分，當機械運作或者流體流過管道時，會引起管道振動并在管道內發生聲波傳遞而產生噪聲[1]。對潛艇而言，管道振動噪聲將直接影響其隱蔽性；對船舶而言，管道振動噪聲會對船員的海上生活造成干擾并對航行安全產生威脅。聲波檢測是管道故障檢測的主要手段之一，因此，有必要準確掌握管道振動特性，對內部聲波傳導特征模態進行研究。

輸流管道聲振問題多年來一直是聲振領域研究的熱點之一。輸流管道的振動是一種典型的耦合振動，管內流體振蕩會引起管道產生機械振動，而管道的機械振動反過來又會影響管內流體的動態行為，這是一種復雜的現象，被稱為“典型的動力學問題”[2]。聲振問題則是該問題的一種衍生，側重于由振動所引起的聲波傳遞。因此，研究輸流管道的聲振不能僅考慮單向耦合，還需考慮管流的雙向耦合。研究輸流管道雙向耦合所用到的理論基礎有聲固耦合和流固耦合。其中，流固耦合系統計算繁瑣、不易收斂，且計算時間較長；聲固耦合簡化了管道流固耦合系統中的附加質量、附加阻尼和流固耦合項，其運用波傳播方法求解輸流管道的聲振特性，計算效率高，并能針對管道聲學特性實現有針對性的解釋與分析。目前，考慮聲固耦合效應研究管道聲振特性的方法主要有數值分析法、解析計算法和實驗測試法[3]3種，其中數值分析法最為普遍。文立超等[4]基于一種有限元的模式分析法，對于管道導波的模態頻散特性進行了求解，其只對管壁進行了網格劃分，證明該方法是有效的。楊國棟等[5]提出了一種Galerkin求解特征方程的方法，其針對浸沒圓柱殼結構，對聲固耦合模型的自振特性進行計算求解并與算例進行了對比，結果驗證了該方法的精確性和可行性。Scott[6]對無限長圓柱殼結構受流體載荷的聲振問題進行了研究，對考慮聲固耦合效應的圓柱殼結構的自由傳播模態進行了分析，對其色散關系的復根含義進行了解釋并給出了根的數值解。解妙霞等[7]采用數值分析方法對薄壁液壓管道的聲振響應予以了計算，對因聲固耦合效應而導致聲波在薄壁液壓管道內傳播的能量損失機理進行了探討。周玉志等[8]聯合ANSYS與ACTRAN軟件模擬分析了液壓輸送管道的聲學特性，得到了管內為水時輸流管道的聲壓強度分布。利用數值分析方法可以有效分析聲固耦合效應對管道聲振特性的影響，并可通過設置邊界條件來滿足實際測試時所需要的外部條件。總體來講，目前對于考慮聲固耦合效應的輸流管道聲振特性方面的研究較少，且更少有涉及聲固耦合影響下管道頻散特性和模態振型等機理方面的研究。

本文將通過對輸流管道進行數值模擬計算，分析比較考慮聲固耦合效應的彈性壁管道與不考慮聲固耦合效應的硬聲場壁管道的波數頻散曲線、管壁的壁厚不同時彈性輸流管道的波數頻散曲線，以及內部流體介質分別為水、空氣和原油時彈性壁管道的波數頻散曲線，計算特定激勵頻率條件下彈性壁輸流管道的管壁應力情況，然后通過結果分析得出不同管壁特性和管內不同介質時管道的頻散特性、管道應力與內部絕對聲壓的分布情況，以及管道中彈性波的動態特性。頻散曲線可有效區分每個彈性波的特征模態，而分析這些特征模態是管道聲波健康檢測的主要依據。

1 數值模型的建立

1.1 模型簡化假設

聲振現象需要滿足3個基本方程：運動方程、連續性方程和狀態方程。

3D管道模型轉化為2D管道模型時，假定如下[9]：

1） 管內為理想流體，聲波在管內傳播不損耗并且不具有黏滯性；

2） 聲波在傳播過程中未發生熵變；

3） 管道輕微振動，聲學參量忽略二階及以上的微量；

4） 忽略管內流體流動導致的噪聲；

5） 沒有聲擾動時，管道是均勻、靜止的；

6） 聲場情況只考慮垂直管道中軸線的截面內。

1.2 計算模型

以二維平面構建無限長管道模型，內部橫截面呈圓形。模型直徑60 mm，添加的管壁材料為AISI 4 340合金結構鋼。管內聲學域采用自由三角形劃分網格，管壁采用映射劃分網格，管道外壁采用自由邊界條件。二維管道模型如圖1所示，其中模型壁厚為3 mm，管道內壁邊界(粗藍線)即為聲固耦合邊界。

分別計算管道壁厚為3，4，5 mm情況下的管道波數頻散曲線，以及彈性壁（壁厚3 mm）管道內流體分別為空氣、水和原油情況下的波數頻散曲線，其材料參數如表1所示。

圖 1 二維管道模型圖Fig.1 Schematic diagram of two-dimensional pipeline model

表 1 材料參數Table 1 Material parameters

2 聲固耦合基本理論

2.1 聲學控制方程

聲波波動方程是從以下3個流體控制方程推演而來[10]。

質量守恒方程：

動量守恒方程:

能量守恒方程：

式中：ρ為介質密度；t為時間；p為聲學域總壓力；u為速度場；s為熵；M和F為可能存在的源項；Δ為哈密爾頓算子。

在經典的壓力聲學中，假設所有的熱力學為等熵過程。在密度為 ρ0（單位：kg/m3）、靜態壓力為p0（ 單位：Pa）的均勻穩定流動流體中，也即u0為常數時，進行小參數展開：

式中，p1，ρ1，u1，s1為微小聲學擾動量。因此，壓強微小變化量p1遠 小于p0， 密度微小變化量 ρ1遠小于 ρ0， 速度微小變化量 |u1|遠 小于聲速c。假設初始熵s0為0，將這些值插入控制方程，只保留聲學變量中的線性項，可得

式中：Qm為單極子源，1/s2，該源對應于式（1）中的一個質量源；qd為偶極子源，N/m3，其對應于式（2）中的一個定義域力源。

2.2 結構控制方程

固體的聲固耦合控制方程是根據動量守恒方程決定的。當管壁特性為彈性壁時，方程如下：

式中：ω為角頻率，a為第2類皮奧拉-克希荷夫應力張量，作用是聯系空間方向的作用力與原始未變形構型中的區域；Fv為體積力。

當管壁特性為硬聲場壁時，方程(7)中等號左邊項為0，即

2.3 邊界條件

聲固耦合邊界條件包括作用在結構上的流體載荷和流體所經歷的結構加速度[11]，其外部邊界條件為：

式中：n為 耦合面法向量；utt為 結構加速度； ρc為聲學介質的密度；pt為總聲壓；FA為結構所承受的載荷(單位面積力)。

得到的內部條件為：

聲學載荷由壓降決定。式（10）中，下標up，down指內邊界的兩邊。

當管壁特性為硬聲場壁時，utt=0，即管壁不受聲學域的聲壓影響而引起法向加速度變化，方程表示為

2.4 截止頻率方程

對頻域方程使用非齊次亥姆霍茲等式，得

式中，keq為徑向波數。在二維場中，

式中：cc為 聲學域中聲速； ω=2πf，為角頻率；κz為軸向波數，在激勵頻率f已知的情況下，不能傳播κz為負的模態。

根據式(13)，可以推導出各個模態的截止頻率計算公式。推導如下：

當不存在外載荷時，式（12）可以化簡為

將式（15）運用柱坐標系（坐標如圖2所示）下的拉普拉斯算符表示為：

式中：r為徑向坐標；φ為極角；z為軸向坐標。然后，再利用“分離變數法”解式（16），令p(r,φ,z)=R(r)φ(φ)Z(z)，則可求得波管中聲場的形式解為

式 中：An為 聲 壓 幅 值；φn為n階 聲 壓 初 相 位；Jn為n階貝塞爾方程的解。

圖 2 管道坐標示意圖Fig.2 Pipeline coordinate diagram

3 管道聲振模態分析

3.1 管道聲壓應力分布

為了驗證聲固耦合效應的影響，本文利用COMSOL Multiphysics多物理場仿真軟件中的聲學模塊與結構力學模塊，分析了考慮耦合效應的彈性壁和不考慮耦合效應硬聲場壁管道內部聲場的區別與聯系。

為了驗證計算結果的準確性，首先將COMSOL Multiphysics中頻域分析模塊對管道干、濕模態的計算結果與ANSYS Workbench中Modal和Acoustic模塊對管道干、濕模態的計算結果進行比較，流程如圖3所示。

圖 3 計算流程示意圖Fig.3 Schematic diagram of calculation process

計算得到前4階的固有頻率（單位：Hz）如表2所示。

表 2 COMSOL和ANSYS的計算對比Table 2 Comparison of calculations between COMSOL and ANSYS

由表2可以看出，兩者計算之間的差值均控制在4%以內，說明兩者的計算結果非常接近。其中，充液管道的固有頻率與空管相比有所降低，這主要是由內部液體與管道耦合作用所導致，結論與文獻[12]中的一致，說明使用COMSOL Multiphysics軟件進行聲固耦合效應的管道聲振特性研究計算結果可靠、準確。

將模式分析中的激勵頻率f設為10 000 Hz，搜索基 準 值 設為 1.1×k（其 中 波數k=2πf/c0，此 處2πf=ω，c0為水中聲速）。采用并行稀疏直接求解器求解特征值，計算絕對聲壓的應力分布，然后分別取計算所得相同面外波數的連續4階模式數情況分布圖進行合理、有效的對比分析，如圖4所示。其中：左、右圖分別為彈性壁管道和硬聲場壁管道絕對聲壓應力分布圖；每幅圖中左、右標尺數值分別表示結構總位移（單位：mm）和絕對聲壓（單位：Pa）。

圖 4 管道絕對聲壓應力云圖Fig.4 Absolute sound pressure stress contours diagram of pipeline

由圖4所示硬聲場壁管道絕對聲壓應力分布圖（右圖）可知，基于硬聲場邊界本身的特性，加速度法向方向為0，所以不考慮硬聲場管壁的形變情況。由圖4所示彈性壁管道絕對聲壓應力分布圖（左圖）可知，在給定激勵頻率f下，彈性壁管道擁有不同階的振型，每個波數對應一個振型。在絕對聲壓較高的地方，變形情況較為突出，這些不同位置的變形情況可為管道支撐提供一定的理論依據。從圖4可以看出，聲波垂直于截面向內傳播，隨著面外波數的增大，聲壓沿半徑方向逐漸增大。硬聲場壁無限長管道內部聲壓分布與彈性壁無限長管道的情況基本相同，即聲固耦合效應對內部為空氣的無限長輸流管道內部聲壓分布影響不大。從圖4(d)可以看出，當波數k=183.19時，硬聲場壁管道沒有傳播模式，說明沒達到此截止頻率，無法產生此模態。

3.2 管道頻散關系

3.2.1 管壁屬性的影響

為精確描述聲波在管道中傳播的動態特性，需進一步確定硬聲場壁與彈性壁無限長輸流管道的區別和聯系，以及壁厚不同和內部流體不同時管道的頻散特性，分析波數與頻率的關系。利用參數化進行掃描計算，頻率范圍為100～12 000 Hz，其中間隔取100 Hz，求解模式數設為6。硬聲場壁和彈性壁無限長管道的頻散關系曲線如圖5所示。

圖 5 管道頻散關系圖Fig.5 Pipeline dispersion relation diagram

由圖5可以看出，彈性壁無限長管道第1階彈性模態的截止頻率為2 400 Hz，硬聲場壁無限長管道第1階彈性模態的截止頻率為3 800 Hz。硬聲場壁管道的傳播模態數比彈性壁管道的少，彈性壁管道增加的模態數主要為管道的形變模態，例如徑向模態等，說明聲固耦合使彈性壁對管道內部聲波傳播的模態數產生了影響。由于聲固耦合效應，彈性壁管道平面波模態的波數有些可能大于硬聲場壁，在100 Hz處，根據式(14)，計算的硬聲場壁管道平面波模態的波數為1.832 rad/m，彈性壁管道對應的波數值為2.478 rad/m；在150 Hz處，計算的硬聲場壁管道平面波模態的波數為2.747 rad/m，彈性波管道對應的波數值約為3.039 rad/m。這些計算值求出的硬聲場壁模態截止頻率是純虛數，因此，硬聲場壁是沒有這種模態的。根據以上結論，可以準確得出管道彈性壁與硬聲場壁的區別，并通過頻散關系圖得出他們之間的頻散關系。

3.2.2 管壁厚度的影響

圖 6 不同管壁厚度下的頻散關系圖Fig.6 Dispersion relation diagram of different wall thickness

結構是影響管道聲振特性的因素，所以需要分析管壁厚度對硬聲場壁與彈性壁管道頻散關系的影響。本文分別取管壁厚度為3，4，5 mm，內部流體域為空氣，不同管壁厚度下的頻散關系曲線如圖6所示。由圖6可以看出，隨著管壁厚度的增加，不管是硬聲場壁還是彈性壁管道，頻散曲線的個數不變，斜率基本沒有變化，表示產生的彈性波特征模態形態基本不變；隨著管壁厚度的增加，頻散曲線均向高頻移動，除直通模式外，說明聲學模態的截止頻率發生了改變，因此管壁較厚的管道需要更大的激勵頻率才能激發出與管壁較薄的管道同階模態的導波模式。管壁厚度為3 mm的彈性壁無限長管道第1階彈性模態的截止頻率由上文已知為2 400 Hz，管壁厚度為4，5 mm時分別為3 300和4 200 Hz，即每增加1 mm壁厚，該階截止頻率向右平移900 Hz。

3.2.3 管內流體介質的影響

管內流體域介質也是影響管道聲振特性的一個重要因素。本文分別取管內流體為空氣、水和原油，內部為不同流體介質下的頻散關系曲線如圖7所示。由圖7可以看出，管道內部介質為空氣時的頻散曲線與內部介質為原油和水時的頻散曲線區別較大，說明內部介質為液體時與為氣體時聲波傳播模式是有較大區別的；內部介質為空氣時，硬聲場壁中的幾個導波模態與彈性壁中的導波模態能夠一一對應；內部介質為原油與內部介質為水時的頻散曲線較為相似，兩者在硬聲場壁條件下只存在直通模式，并且彈性壁和硬聲場壁的直通模式存在偏差；當內部介質為氣體時，在不同的掃描頻率段，彈性波波數明顯高于液體介質；內部介質為原油和水時其頻散關系的區別主要在于直通模式的斜率，原油的斜率要高于水的斜率，說明介質密度對頻散曲線有一定的影響。以上性質可以有效運用于管內流體域介質性質的區分。

4 結 語

本文考慮聲固耦合效應，通過數值計算，對二維硬聲場壁管道和彈性壁管道的聲振特性進行了研究。首先，分析管道的干、濕模態并驗證了聲固耦合模型的合理性；然后，在特定激勵頻率情況下，分別計算得出硬聲場壁管道和彈性壁管道的內部絕對聲壓分布圖，以及彈性壁管道的管壁變形情況；最后，針對不同壁厚和不同內部介質進行特征模態分析，通過參數化掃描計算其頻散關系，繪制了波數-頻率頻散關系曲線圖，分析表明聲固耦合會影響管道聲波傳播的模態數，彈性壁管道的模態數要比硬聲場壁管道的多。而且，結果顯示了彈性壁和硬聲場壁管道內部絕對聲壓分布情況基本一致；不同壁厚對管道的特征模態形式影響較小，隨著壁厚的增加，每階截止頻率也隨之增加；管內流體介質為氣體和液體時特征模態區別較大，液體之間的區別主要體現在直通模式上。

圖 7 內部為不同流體介質時的頻散關系圖Fig.7 Dispersion relation diagram of different internal fluids