改進閾值函數的提升小波在人工震源數據處理中的應用

周云耀 王海斌 向 涯,3,4 呂永清,3,4 齊軍偉,3,4 吳 歡,3,4 何 彬

1 中國地震局地震研究所，武漢市洪山側路40號，430071 2 引力與固體潮國家野外觀測研究站，武漢市洪山側路40號，430071 3 中國地震局地震大地測量重點實驗室，武漢市洪山側路40號，430071 4 湖北省地震局，武漢市洪山側路40號，430071

隨機噪聲具有強烈的隨機性，在地震資料中普遍存在[1]，因此無論是天然地震還是人工地震，隨機噪聲的處理都是提高地震資料信噪比的關鍵之一。常用的地震信號隨機噪聲壓制方法有拉東變換、經驗模態分解、曲波變換與小波變換等[2]，其中小波變換具有多分辨率分析的特點，能夠同時表征信號在時域和頻域的局部特性[3]。經小波分解得到小波系數后，根據有效信號與隨機噪聲小波系數的不同而設定閾值，對隨機噪聲的小波系數進行處理后再對小波系數進行重構，可達到信號去噪的目的。

提升小波算法被稱為“第二代小波”，是一種基于時域運算的信號分析方法，可克服經典小波降噪方法局部信息丟失的缺點[4]。對于小波閾值去噪，閾值函數與閾值的選取對地震資料去噪的結果具有很大影響。經典的閾值函數包含硬閾值和軟閾值，其中硬閾值函數是當小波系數的絕對值大于設定的閾值時系數保持不變、小于閾值時系數為零，這會導致其在閾值處不連續，從而使重構信號產生一定的震蕩；而軟閾值函數可克服硬閾值函數在閾值處不連續的缺點，當小波系數的絕對值大于閾值時減去閾值，小于閾值時則進行置零處理，但經過軟閾值處理的小波系數與實際小波系數存在恒定偏差，從而影響重構信號的精度。

本文在經典軟、硬閾值函數的基礎上提出一種改進的閾值函數，從理論上證明該閾值函數可克服經典閾值函數的不連續與存在恒定偏差的缺點，并通過信號仿真證實經過該閾值函數處理后可很好地壓制高斯白噪聲，提高含噪信號的信噪比。最后將改進閾值函數的提升小波算法運用于氣槍震源，分析其在人工震源去噪方面的可行性。

1 改進閾值函數的提升小波變換

1.1 提升小波

Mallat算法利用多分辨率分析分解信號，從而去除信號間的相關性，而提升小波算法則是將信號分解為偶數采樣點和奇數采樣點[5]。由于相鄰數據的相關性較強，可通過奇數采樣點估計偶數采樣點，再去除包含在偶數采樣點中關于奇數采樣點的信息，從而消除信號間的相關性。提升小波算法的實現包含分裂(spilit)、預測(predict)和更新(update)。其中，分裂是將原始信號Si按照序列的奇偶性分裂為2個互不相關的子集，即偶數序列Se與奇數序列So。預測是利用原始信號相鄰數據間的相關性，用偶數序列Se與1個預測算子P來預測奇數序列So，得到P(So)，并將奇數序列So與奇數序列預測值P(So)的差值di-1作為小波系數，其中di-1=So-P(So)。更新則是為使分裂后得到的偶數序列Se保持原始信號的某些特性，構造一個更新算子U(di-1)對其進行更新，得到尺度系數ai-1[6]：

ai-1=Se+U(di-1)

(1)

1.2 閾值去噪

對含噪地震信號進行一維離散小波分解，得到一系列小波系數。由于有效信號在時間域或空間域具有一定的連續性，而噪聲信號則表現為隨機性，從而導致小波域中有效信號對應的小波系數值較大，而噪聲信號對應的小波系數值較小。根據該特點設置一個閾值，將小于該閾值的小波系數去除，即將噪聲主導對應的小波系數去除，再對剩余的小波系數進行重構，達到去除噪聲的目的，因此閾值與閾值函數的選擇具有重要意義：

(2)

(3)

研究表明[3,6-7]，隨著分解層數的增加，各層小波細節系數中噪聲含量會逐漸減小，因此閾值應當有所變化。經過一系列仿真實驗，本文使用一種改進的閾值，具體公式為：

(4)

式(2)～式(4)中，λ為去噪閾值，σ為噪聲強度，N為信號長度，cdn為小波分解后第n層高頻小波系數，j為分解層數。

在得到閾值后，可使用硬閾值函數和軟閾值函數對小波系數進行處理。硬閾值函數表達式為：

(5)

圖1為硬閾值函數圖像，從圖中可以看出，硬閾值函數在閾值±λ處不連續。

圖1 硬閾值函數圖像Fig.1 Function image of hard threshold

軟閾值函數表達式為：

(6)

圖2 軟閾值函數圖像Fig.2 Function image of soft threshold

1.3 改進的閾值函數

為彌補傳統閾值函數存在的缺點，本文提出一種改進的閾值函數，具體表達式為：

(7)

本文將從數學方面來分析改進的閾值函數在±λ處的連續性、改進閾值函數的漸近線及克服軟閾值函數的恒定偏差。

從圖3可以直觀看出，改進的閾值函數可彌補硬閾值函數在閾值±λ處不連續的缺點，并且在閾值之后能快速趨近硬閾值函數，從而彌補了軟閾值函數存在恒定偏差的缺點。

圖3 改進的閾值函數與軟硬閾值函數對比Fig.3 Comparison of improved threshold function and soft and hard threshold function

2 信號仿真

本文選用MATLAB中4種標準測試信號(Blocks，Bumps，Doppler，Heavy sine)分別加入標準偏差為8的高斯白噪聲，再使用本文改進的閾值函數及傳統的軟、硬閾值函數進行去噪。

從圖4～7可以看出，軟閾值函數與硬閾值函數去噪均會使原始信號嚴重失真，甚至變形。相比于軟閾值函數，硬閾值函數去噪結果存在較多“毛刺”凸起，這是由硬閾值函數在λ處不連續造成的。相比于硬閾值函數，雖然軟閾值函數可彌補其不連續的缺點，使得去噪后的信號較為光滑，但軟閾值函數在小波系數大于λ時減去λ，存在恒定偏差，從而造成去噪后的結果過于平滑，影響去噪效果。另外，改進的閾值函數能在很好地去除高斯白噪聲的同時，改進硬閾值函數的“毛刺”現象及軟閾值函數的過度光滑，使信號不失真。

圖4 Doppler信號去噪仿真Fig.4 Doppler signal denoising simulation

圖5 Blocks信號去噪仿真Fig.5 Blocks signal denoising simulation

本文將仿真信號的信噪比(SNR)、均方根誤差(RMSE)及能量比例(Per)作為去噪后的評價指標：

(8)

(9)

(10)

圖6 Heavy sine信號去噪仿真Fig.6 Heavy sine signal denoising simulation

圖7 Bumps信號去噪仿真Fig.7 Bumps signal denoising simulation

在4種信號中加入標準偏差為8的高斯白噪聲，利用控制變量法，選擇提升小波基為bior6.8，分解與重建尺度為5，分別使用改進的閾值函數與傳統的閾值函數進行去噪處理，評價指標結果見表1。通過SNR與RMSE可以看出，相比于傳統的閾值函數，改進的閾值函數可大大提高去噪后信號的信噪比，有效去除高斯白噪聲，同時保證仿真信號不失真，去噪效果明顯優于傳統方案。從去噪前后的Per可以看出，改進的閾值函數的提升小波在4種仿真信號中均保持較高比例，說明相對于軟閾值函數與硬閾值函數，改進的閾值函數可保留較多的原始信號能量成分，而軟閾值函數與硬閾值函數在去噪過程中不僅會去除噪聲，同時也會去除較多的有效信號。

表1 仿真信號去噪評價指標

3 實際氣槍震源去噪

3.1 改進閾值函數與傳統閾值函數實際去噪對比

地震波是研究地球結構的有效工具之一[8]，天然地震學與勘探地震學都面臨著提高地震資料信噪比的難題[9]。氣槍震源是應用于地球內部結構探測的一種新型人工震源[10]，相比于其他人工震源具有可控性好、低頻成分豐富、信號重復性高等優點。但氣槍震源信號較弱，受外界噪聲干擾較大，且傳播距離有限，衰減與噪聲干擾會使遠處臺站接收到的氣槍信號信噪比極低，難以分辨。

提高氣槍信號信噪比的常用方法是利用氣槍震源的重復性進行信號疊加[11]，并在此基礎上進行帶通濾波處理。由于氣槍信號的有效信號集中在2～5 Hz之間，通常使用2～6 Hz的帶通濾波處理氣槍信號[9]，但該方法存在一定問題，即不能有效濾除與有效信號具有相同頻率的噪聲。本文使用云南賓川氣槍信號發射臺2016年接收到的實驗激發數據，信號接收臺站是震中距為151.13 km的53252臺站和震中距為115.89 km的53253臺站。在疊加氣槍信號和進行2～6 Hz帶通濾波的基礎上對改進閾值函數的提升小波進行去噪處理(圖8～9)，結果表明，改進的閾值函數不僅可克服傳統軟、硬閾值函數不連續和存在恒定偏差的缺點，還可極大地提高氣槍震源地震資料的信噪比。

圖8 53252臺站接收到的信號去噪效果Fig.8 Denoising effect of signal received by station 53252

圖9 53253臺站接收到的信號去噪效果Fig.9 Denoising effect of signal received by station 53253

3.2 實際氣槍震源信號評價指標分析

為直觀對比改進的閾值函數的去噪信號與原始信號，將2個信號進行疊加，結果見圖10～11。結合圖8～11可以明顯看出，波軟閾值函數與硬閾值函數的提升小波在去噪過程中會濾除部分氣槍信號的相位信息，導致有效信號嚴重失真；而改進閾值函數的提升小波閾值去噪則在壓制噪聲的同時幾乎未造成有效信息的丟失。上述分析表明，改進的閾值函數在實際的人工地震信號去噪中比傳統的閾值函數表現更優。

圖10 53252臺站改進閾值函數去噪信號與原始信號對比Fig.10 Comparison of modified threshold function denoising signal and original signal of station 53252

圖11 53253臺站改進閾值函數去噪信號與原始信號對比Fig.11 Comparison of modified threshold function denoising signal and original signal of station 53253

從表2可以看出，相比于軟、硬閾值函數，改進閾值函數的提升小波在實際的氣槍信號去噪中信噪比有大幅提高，均方根誤差減小且能量比例接近1。傳統的閾值函數去噪能量比例較小，表明在去噪過程中傳統閾值函數的提升小波會去除許多有效信號，這與圖8～9的結果相符。分析結果表明，在實際的氣槍震源信號處理中，改進閾值函數的提升小波算法可克服軟閾值函數存在恒定偏差與硬閾值函數不連續的缺點，提升遠處臺站氣槍震源信號的信噪比是一種可用于氣槍震源信號數據處理的有效方法。

表2 遠處臺站信號去噪評價指標

3.3 改進閾值函數去噪與帶通濾波對比

圖8～9均為在進行900次氣槍信號疊加的基礎上通過2～6 Hz帶通濾波進行提升小波的閾值去噪處理，為比較提升小波閾值去噪與帶通濾波去噪的效果，對53253臺站接收到的信號進行500次疊加，并在此基礎上分別進行2～6 Hz與2～8 Hz的帶通濾波。

從圖12可以看出，氣槍信號在進行疊加后，改進的閾值函數的提升小波可較好地壓制氣槍信號的隨機噪聲，且未造成氣槍信號失真；而帶通濾波雖然可以濾除隨機噪聲，但同時也會濾除部分有效信號，如55～60 s信號，從而造成一定程度上的信號失真。

圖12 改進閾值函數去噪與帶通濾波對比Fig.12 Comparison of improved threshold function denoising and bandpass filtering

4 結 語

本文在傳統軟、硬閾值函數基礎上提出一種新的閾值函數，并從理論上證明其可在一定程度上彌補軟閾值函數存在恒定偏差及硬閾值函數不連續的缺點，同時將其運用到Blocks、Doppler、Heavy sine和Bumps四種加入高斯白噪聲的仿真信號中進行去噪實驗。從評價指標SNR和RMSE可以看出，改進的閾值函數去噪效果優于傳統閾值函數，并且仿真信號不失真。將改進的閾值函數運用到氣槍人工震源中發現，相比于傳統閾值函數，改進的閾值函數能在壓制隨機噪聲并提高遠處臺站信噪比的同時，保證有效氣槍信號的相位和幅值不失真。將氣槍信號進行疊加后發現，改進的閾值函數在保留有效信號方面優于帶通濾波。

致謝：云南省地震局“主動源創新團隊”提供氣槍震源數據，在此表示感謝。