速度反饋對多自由度微陀螺非線性影響的控制

郝淑英　宋宇昊　李偉雄　張琪昌　劉君　馮晶晶

摘要： 為揭示多自由度微陀螺非線性系統中速度反饋項對系統動力學特性的影響規律，探索減小或消除非線性影響的控制方法，以一類4自由度靜電驅動微機械陀螺為研究對象，應用多尺度法分析了時滯速度反饋控制反饋增益對微陀螺輸出響應的影響規律。研究發現：時滯量為零的條件下，反饋增益主要影響幅值大小;正的速度反饋增益會放大非線性的影響，系統出現新的不穩定區域，靈敏度穩定性遭到嚴重破壞;負的速度反饋增益對剛度非線性的影響有很好的控制作用，通過負增益的合理取值可完全消除剛度非線性的影響;提出了一種在不降低靈敏度的前提下利用速度反饋增益調阻作用來控制微陀螺靈敏度穩定性的方法，此方法為含剛度非線性多自由度微陀螺動態性能的優化和控制提供了理論依據。

關鍵詞： 非線性振動; 多自由度微陀螺; 多尺度法; 速度反饋; 剛度非線性

中圖分類號： O322; O318.2; TP271+.9 ? ?文獻標志碼： A ? ?文章編號： 1004-4523（2021）02-0227-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.002

引 ?言

1988年，美國德雷伯實驗室研制出了世界上第一款微機械陀螺?雙框架式微機械陀螺儀[1]，在隨后的研究中發現微陀螺系統存在明顯的非線性行為，其中剛度非線性和靜電力非線性最為常見。這些非線性因素會導致微陀螺出現明顯的頻率偏移、多穩態解、剛度的軟硬化特征以及軟硬特性過渡[2]，發生分岔甚至混沌等振蕩不穩定現象[3]，對微陀螺的靈敏度、帶寬和穩定性造成極大影響。為了提升微陀螺的精度、靈敏度和魯棒性等動態性能，時滯反饋控制[4]被廣泛應用到微陀螺系統中。時滯信號主要分為位移信號、速度信號[5]和加速度信號[6]三種，通過設計合適的時滯反饋控制器實現對系統穩定性的控制。Mehta等[7]利用位移正反饋振蕩器實現了微懸臂梁頻率輸出的控制，提高了基于微懸臂梁的化學和生物傳感器的靈敏度。李欣業等[8?9]對Duffing?van del Pol振子的動力學響應和時滯反饋問題進行了深入的研究，通過線性和非線性時滯反饋以及雙時滯反饋實現了對系統零解穩定性、極限環穩定性和振幅的控制。Morrison等[10]研究了時滯非線性Mathieu方程的動力學行為，研究發現通過施加足夠大的反饋增益和選擇適當的時間滯后量可以消除與參激相關的不穩定區域;在無阻尼系統中引入時滯項可加入有效阻尼。Alsaleem等[11]通過在直流和交流電壓驅動的MEMS諧振器中使用時滯反饋控制器，發現可將在動態吸合頻帶中工作的原本不穩定的部分變成穩定狀態，且在吸合附近對諧振器穩定性有較強的增強作用。張麗娟[12]分別研究了剛度非線性下單自由度微陀螺在受迫振動和參數激勵下的時滯反饋問題，分析了不同反饋增益對系統振幅的影響。Warminski[13]研究了由外部激勵和時滯輸入驅動的非線性自激和參激MEMS器件的振動，給出了頻率鎖定區域的確定方法和閉環控制的策略。程春等[14]提出了一種時滯立方位移反饋控制方法，發現施加反饋參數能夠有效地減小隔振系統共振區的位移傳遞率。李帥等[15]提出了一種時變參數時滯減振控制方法來改善時滯動力吸振器的性能，發現反饋參數對系統的位移、速度和加速度幅值均有很好的控制作用。上述研究主要集中在微諧振器、單自由度微陀螺、隔振器和動力吸振器，對多自由度微陀螺非線性系統的速度反饋的研究未見報道。

本文將研究速度反饋控制參數對微陀螺非線性動力學行為的影響，采用多尺度方法對系統非線性動力學方程進行攝動求解，通過所求的近似解析解分析4自由度微陀螺非線性系統中速度反饋項對系統動力學特性的影響規律，并通過影響規律探索對多自由度微陀螺剛度非線性的控制方法。

1 微陀螺的動力學建模

本文考慮一類典型的雙驅動雙檢測4自由度微機械陀螺儀[16]，其結構示意圖如圖1所示，此類微陀螺主要由驅動質量、解耦質量、轉換質量、檢測質量、彈性微梁以及梳齒電極組成。在圖1中，x方向為驅動方向，y方向為檢測方向，Ω_z為垂直于x?y平面的輸入角速度，解耦質量m_f和轉換質量m_2形成雙級解耦結構，起到隔離驅動模態和檢測模態的作用。微陀螺工作時，驅動質量m_1在梳齒驅動電極的作用下沿x方向振動，解耦質量m_f由于梁k_2的作用開始沿x方向振動，同時，轉換質量m_2在梁k_4的作用下隨解耦質量一起沿x方向振動;當系統在x?y平面垂直方向有角速度Ω_z輸入時，由于科氏效應，x方向的振動引起y方向的諧振，轉換質量m_2與檢測質量m_3在梁k_4，k_5和k_6的約束下沿y方向振動。檢測質量m_3在y方向的位移即為微陀螺的檢測輸出位移，其隨著角速度Ω_z的增大而增大。正是由于結構諧振時檢測輸出幅值與輸入角速度Ω_z成正比，因此通過測量輸出幅值即可測得載體的輸入角速度Ω_z。

4自由度微陀螺動力學模型如圖2所示，其中驅動質量塊m_1為驅動一、轉換質量塊m_2與解耦質量塊m_f組合為驅動二、轉換質量塊m_2為檢測一、檢測質量塊m_3為檢測二。考慮到此類微陀螺的工作環境為真空封裝環境，空氣阻尼相對較小，阻尼的非線性因素可以忽略，因此可假設此系統中驅動和檢測方向所受阻尼均為線性阻尼。由于微陀螺驅動梁存在由于幾何大變形引起的剛度非線性，所以在建立其模型時還需考慮加入剛度非線性項。

3 反饋增益對動態響應的影響

本節主要考慮速度反饋增益對微陀螺動態響應的影響，忽略時間滯后的影響，因此令時間滯后參數τ=0，分析不同的反饋增益對微陀螺幅頻響應的影響情況。分別取G=-350，0，350（即負增益、無增益和正增益）三種情況進行分析比較。

計算參數選取如下：激振力幅值F=3×〖10〗^（-5） ? N，ε=1，驅動一、二的共振頻率分別為ω_1=30940.1 rad/s，ω_2=31880.9 rad/s。此時σ_2=5.91×〖10〗^7，本文只考慮主共振下微陀螺的響應情況。根據式（12），（13）并結合式（14），得到微陀螺各自由度的穩態幅頻響應，如圖4所示。為了驗證多尺度法得到的理論解析解，對式（1）使用Runge?Kutta方法進行求解，得到了一系列數值結果，對比理論解可見有較好的吻合度。

當反饋增益值G=-350時，微陀螺各自由度的幅值均低于G=0時的幅值，兩峰值及其之間區域趨于平坦，剛度非線性表現出的硬化、幅值跳躍以及多穩態解現象基本消失，不穩定情況不再存在。當G=350時，微陀螺各自由度的幅值均高于G=0時的幅值，由于存在剛度非線性的影響，幅值增長幅度極為顯著，非線性特征也變得更為明顯;兩峰值之間部分的幅值相差很大，靈敏度穩定性遭到嚴重破壞（靈敏度與響應幅值的大小正相關，響應幅值在一定的頻率范圍內越穩定意味著微陀螺靈敏度的穩定越好），甚至在峰值處出現了新的不穩定區域，導致同時存在多處不穩定區域，如圖4（b）和4（d）所示，對微陀螺靈敏度的穩定性造成了嚴重的影響。

綜合圖4可知，在無時間滯后時，速度反饋的增益對各自由度幅頻響應的影響僅表現在對幅值大小的影響上。當速度反饋增益為負值時，穩態響應幅值和靈敏度隨負增益絕對值的增加而降低，且非線性的特征也隨之減弱;最終隨著反饋增益值持續的減小非線性幅值跳躍、多穩態解的現象也隨之消失，系統保持在穩定狀態。當速度反饋增益為正值時，穩態響應幅值和靈敏度隨增益值的增加而升高，非線性的特征也隨之增強，系統出現新的不穩定區域，進一步導致系統的失穩。

由于在微陀螺非線性動力學方程（4）中，時滯速度反饋項作用于狀態速度量，等效于系統阻尼項，因此具有控制系統阻尼的作用，也是對響應幅值的控制作用，此行為被稱為時滯速度反饋控制的調阻作用[19]。

在圖4（b）和（d）中，當G=-350時，驅動二與檢測二的響應幅值均有較高幅值的平坦區域且對應較寬的頻帶范圍，具有較高的靈敏度穩定性和較寬的檢測帶寬，這有利于微陀螺在工作中對輸出信號的監測和采集，且具有較強的抗干擾能力。為了利用時滯速度控制這一特點，同時彌補其帶來的靈敏度下降的缺陷，本文提出了一種考慮靜電力與速度反饋增益量的綜合影響，在保持靈敏度或響應幅值不降低的條件下，控制或消弱剛度非線性的影響，增加微陀螺靈敏度穩定性的方法。

4 速度反饋對靈敏度穩定性控制

由于靜電力幅值是影響微陀螺響應幅值的最大因素，所以本文通過適當提高靜電力以提升響應幅值使其高于設計的目標幅值，然后通過時滯速度負反饋進行控制，綜合考慮靈敏度和帶寬，最后使輸出響應幅值達到目標幅值同時兼具高靈敏度穩定性和動態穩定性，消除剛度非線性對微陀螺靈敏度動態穩定性和帶寬的影響。

為驗證這一方法，首先取一固定速度反饋增益值，然后確定此增益下靜電力幅值和穩態響應振幅的關系，得到響應振幅達到設計振幅時所需的靜電力幅值，最后比較設計振幅與使用此靜電力所得振幅值，從而確定微陀螺所需施加的靜電力幅值及反饋增益值。

設速度反饋增益值仍取-350，微陀螺驅動二與檢測二輸出響應與靜電力幅值的關系如圖5所示。從圖5可知未施加速度反饋時驅動二輸出的最大幅值為3×〖10〗^（-6）（原響應），檢測二輸出的最大幅值為4.3×〖10〗^（-9），也是該微陀螺的靈敏度最大值。依據圖5（a）可知驅動輸出響應達到此最大峰值所需的靜電力幅值為5.05×〖10〗^（-5） ? N，即只要施加該靜電力值，那么驅動二在速度反饋控制條件下仍可獲得相應的靈敏度;同理，依據圖5（b）中檢測二輸出響應可知，達到檢測2最大峰值所需的靜電力幅值為4.66×〖10〗^（-5） ? N。由此得到了兩個滿足條件的靜電力幅值，但需通過對比兩種情況下微陀螺的動態特性篩選出最佳控制方案。

當靜電力幅值取5.05×〖10〗^（-5） ? N時，無速度反饋和施加速度反饋控制條件下驅動輸出幅頻響應和檢測輸出幅頻響應關系如圖6所示。

由圖6可知，當靜電力幅值為5.05×〖10〗^（-5） ? N時，施加速度控制后的驅動輸出響應的峰值和原驅動輸出響應峰值達到一致，均為3×〖10〗^（-6） ? m，而優化后的檢測輸出響應峰值超過了原檢測輸出響應峰值。驅動和檢測的輸出帶寬在優化前后基本保持不變，在帶寬范圍內仍然不會受到非線性不穩定區域的影響;共振峰由兩個峰變為一個峰，靈敏度穩定性較控制之前明顯提高;由于靜電力幅值的提升，共振區外的穩定部分幅值也有所提高。另外，優化后非線性的影響被削弱，不穩定區域變小且遠離帶寬范圍，對系統穩定性的提升起到了重要作用。

當靜電力幅值取4.66×〖10〗^（-5） ? N時，驅動輸出幅頻響應和檢測輸出幅頻響應與原響應的對比關系如圖7所示。

由圖7可知，當靜電力幅值為4.66×〖10〗^（-5） ? N時，優化后的檢測輸出響應的峰值和原檢測響應峰值相同，均為4.3×〖10〗^（-9） ? m，而優化后的驅動輸出響應峰值略低于原驅動輸出響應峰值。與圖6的特征類似，驅動和檢測的輸出帶寬在優化前后基本保持不變，在帶寬范圍內仍不受非線性不穩定區域的影響;共振峰由兩個峰變為一個峰，靈敏度穩定性較優化前明顯提高，共振區外的穩定部分幅值也有所提高;優化后非線性的影響也被削弱，不穩定區域變小且遠離帶寬范圍，對系統穩定性的提升起到了作用。

在圖6和7中，由于共振峰均變為一個峰，因此在設定微陀螺操作頻率時可直接設定為共振峰值的對應頻率，可在保證穩定的前提下獲得最大的靈敏度。

靜電力幅值為5.05×〖10〗^（-5） ? N時，驅動和檢測輸出響應的峰值均稍高于靜電力幅值為4.66×〖10〗^（-5） ? N時的情況，這是外界傳遞能量高低所決定的。這兩種情況下的檢測輸出響應峰值均不低于原響應峰值，都可滿足微陀螺的工作需要，且兩種靜電力幅值下對帶寬、非線性穩定性影響基本相同，均可在保證檢測帶寬的前提下提升系統對剛度非線性的抗性、提高驅動檢測響應的靈敏度穩定性。雖然靜電力在5.05×〖10〗^（-5） ? N時響應幅值稍高，但相比于原靜電力幅值增長了68.35%，犧牲了較大的驅動力，而靜電力在4.66×〖10〗^（-5） ? N時相比于原靜電力幅值增長了55.38%，增長幅度比前者小，因此綜合考慮驅動力能量和性能，應選擇靜電力為4.66×〖10〗^（-5） ? N的控制方法， 即根據檢測二的靜電力與輸出幅值的關系確定靜電力激振力的幅值。

通過上述比較，在無時滯、速度反饋增益一定時，通過適當提升靜電力幅值可使微陀螺的輸出響應在同等靈敏度和帶寬下獲得更好的靈敏度穩定性和非線性抵抗能力。

5 結 ?論

1）提出了一種利用速度反饋增益調阻作用來控制微陀螺響應幅值的方法。該方法通過協調靜電力幅值和速度負反饋增益的綜合作用，在穩定微陀螺輸出靈敏度的同時提高其靈敏度穩定性，削弱非線性影響。

2）速度反饋增益對微陀螺幅頻響應的影響僅表現在對幅值大小的影響上。反饋增益為負值時，穩態響應幅值和靈敏度隨負增益絕對值的增加而降低，且非線性的特征也隨之減弱;最終隨著反饋增益值持續的減小，非線性幅值跳躍、多穩態解的現象也隨之消失，系統保持在穩定狀態。因此，通過負增益的合理取值可完全消除剛度非線性的影響。正的速度增益會放大非線性的影響，系統出現新的不穩定區域，靈敏度穩定性遭到嚴重破壞。

參考文獻：

[1] Boxenhorn B， Greif P. A vibratory micromechanical gyroscope[C]. AIAA Guidance， Navigation and Control Conference， Minneapolis， MN， USA， 1988：1033-1040.

[2] Tatar E， Mukherjee T， Fedder G K. Nonlinearity tuning and its effects on the performance of a MEMS gyroscope[C]. 2015 18th International Conference on Solid-state Sensors， Actuators and Microsystems， 2015： 1133-1136.

[3] Han J X， Zhang Q C， Wang W. Static bifurcation and primary resonance analysis of a MEMS resonator actuated by two symmetrical electrodes[J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 80（3）： 1585-1599.

[4] Shao S， Masri K M， Younis M I. The effect of time-delayed feedback controller on an electrically actuated resonator[J]. Nonlinear Dynamics， 2013， 74（1-2）： 257-270.

[5] Yamasue K， Hikihara T. Control of microcantilevers in dynamic force microscope using time delayed feedback[J]. Review of Scientific Instruments， 2006， 77（5）： 53703.

[6] Nayfeh A H， Nayfeh N A. Time-delay feedback control of lathe cutting tools[J]. Journal of Vibration and Control， 2011， 18（8）： 1106-1115.

[7] Mehta A， Cherian S， Hedden D， et al. Manipulation and controlled amplification of Brownian motion of microcantilever sensors[J]. Applied Physics Letters， 2001， 78（11）： 1637-1639.

[8] 李欣業，陳予恕，吳志強. 參數激勵Duffing-Van del Pol振子的動力學響應及反饋控制[J]. 應用數學和力學， 2006， 27（12）： 1387-1396.

LI Xin-ye， CHEN Yu-shu， WU Zhi-qiang. Response of a parametrically excited Duffing-Van der Pol oscillator with delayed feedback[J]. Applied Mathematics and Mechanics， 2006， 27（12）： 1387-1396.

[9] 李欣業，張振民，張華彪. Duffing-Van del Pol振子的時滯反饋控制研究[J].振動與沖擊，2010，29（10）： 118-121.

LI Xin-ye， ZHANG Zhen-min， ZHANG Hua-biao. Feedback control with time delay on Duffing-Van der Pol oscillators[J]. Journal of Vibration and Shock， 2010，29（10）： 118-121.

[10] Morrison T M， Rand R H. 2∶1 resonance in the delayed nonlinear Mathieu equation[J]. Nonlinear Dynamics， 2007， 50（1-2）： 341-352.

[11] Alsaleem F M， Younis M I. Stabilization of electrostatic MEMS resonators using a delayed feedback controller[J]. Smart Materials and Structures， 2010， 19（19）： 35016.

[12] 張麗娟.微陀螺系統非線性動力學及其時滯反饋控制[D].天津：河北工業大學， 2011.

ZHANG Li-juan. Nonlinear dynamics and delayed feedback control of micro-gyroscope system[D]. Tianjin： Hebei University of Technology， 2011.

[13] Warminski J. Frequency locking in a nonlinear MEMS oscillator driven by harmonic force and time delay[J]. International Journal of Dynamics and Control， 2015， 3（2）： 122-136.

[14] 程 ?春，李舜酩，王 ?勇，等.時滯立方位移反饋控制的高靜低動剛度隔振器動力學分析[J]. 振動與沖擊， 2017，36（13）：110-115，165.

CHENG Chun， LI Shun-ming， WANG Yong， et al. Dynamic analysis of a high-static-low-dynamic stiffness vibration isolator with time-delay cubic displacement feedback control[J]. Journal of Vibration and Shock， 2017，36（13）：110-115，165.

[15] 李 ?帥，周繼磊，任傳波，等.時變參數時滯減振控制研究[J].力學學報，2018，50（1）：99-108.

LI Shuai， ZHOU Ji-lei， REN Chuan-bo， et al. The research of time delay vibration control with time-varying parameters[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2018，50（1）：99-108.

[16] Wang W， Lü X， Sun F. Design of micromachined vibratory gyroscope with two degree-of-freedom drive-mode and sense-mode[J]. IEEE Sensors Journal， 2012， 12（7）： 2460-2464.

[17] Alsaleem F M， Younis M I， Ouakad H M. On the nonlinear resonances and dynamic pull-in of electrostatically actuated resonators[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering， 2009， 19（4）： 045012.

[18] Shao S， Masri K M， Younis M I. The effect of time-delayed feedback controller on an electrically actuated resonator[J]. Nonlinear Dynamics， 2013， 74（1-2）： 257-270.

[19] 韓建鑫.一類雙極板靜電驅動微梁諧振器的非線性振動及其控制研究[D].天津：天津大學，2016.

HAN Jian-xin. Nonlinear vibration and control analyses of a class of microbeam-based resonators actuated by two electrodes[D]. Tianjin： Tianjin University，2016.

Control of the nonlinear effect of velocity feedback on multi-DOF micro gyroscope

HAO Shu-ying1，2， SONG Yu-hao1，2， LI Wei-xiong1，2， ZHANG Qi-chang3， LIU Jun4，

FENG Jing-jing1，2

（1. Tianjin Key Laboratory of Advanced Electromechanical System Design and Intelligent Control， Tianjin University of

Technology， Tianjin 300384， China; 2. National Experimental Teaching Demonstration Center of Mechanical and

Electrical Engineering， Tianjin University of Technology， Tianjin 300384， China; 3. Tianjin Key Laboratory of

Nonlinear Dynamics and Control， Tianjin University， Tianjin 300072， China; 4. Zhengzhou Yutong Heavy

Industry Co. Ltd.， Zhengzhou 450001， China）

Abstract： To reveal the effect of velocity feedback on dynamic characteristics of multi-DOF micro-gyroscope nonlinear systems and explore control methods for nonlinearity， a class of 4-DOF electrostatically driven micro-gyroscopes is researched. The effect of the gain of the delay velocity feedback control on output response of micro-gyroscope is analyzed by multi-scale method. The research shows that the feedback gain mainly affects the amplitude when the time delay is zero. Positive velocity feedback gain amplifies the effect of nonlinearity and new unstable regions appear in the system， then the sensitivity stability is seriously damaged. The stiffness nonlinearity can be controlled well by negative velocity feedback gain and completely eliminated by the reasonable value of negative velocity feedback gain. A method for controlling the sensitivity stability of micro-gyroscopes by adjusting damping action of velocity feedback gain without reducing sensitivity is proposed， which provides a theoretical basis for the optimization and control of multi-DOF micro-gyroscopes with stiffness nonlinearity.

Key words： nonlinear vibration; multi-DOF micro-gyroscope; multi-scale method; velocity feedback; stiffness nonlinearity

作者簡介： 郝淑英（1962-），女，教授。電話：15122792706;E-mail： syhao@tju.edu.cn

通訊作者： 馮晶晶（1986-），女，副教授。電話：13652038139;E-mail： jjfeng@tju.edu.cn