一線三等角幾何模型在數學解題中的探究

陳麗冰

（福建省莆田渠橋第二中學，福建莆田 351142）

引言

數學模型是指把一種事物的特征和關系高度概括抽象，用數學中獨有的語言描述出來的結構[1]。數學模型對學生學習數學提出了更高的要求，加之新課程標準要求教師培養學生的數學敏感度和符號、空間、集合、運算等觀念、思想和能力，因此，數學模型成為數學教學的重中之重。教師在教學中應善于從整體出發，重點講授建立數學模型和求解的過程，引導學生領會其中的模型思想。

一、引導拓展探究

2011年江蘇省鹽城市的一道中考題引發了教師的思考。教師在教學一線三等角幾何模型時可以將這道問題呈現給學生，然后讓學生展開相應的探究，最后進行拓展延伸。整個過程中，教師需要引導學生逐漸深入，使學生對這一模型的理解呈螺旋式的上升趨勢，進而逐漸掌握這個模型，題目如下所示：

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A'C'D，如圖1所示，將△A'C'D的頂點A'與點A重合，并繞點A 按逆時針方向旋轉，使點D、A（A'）、B在同一條直線上，如圖2所示。

觀察圖2可知：與BC相等的線段是_________，∠CAC'=_________°。

問題探究：

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt △ABE和等腰Rt △ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論。

拓展延伸：

圖3

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H，若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數量關系，并說明理由。

圖4

問題探究的部分，教師可以根據學生的實際學習情況選擇出題。在△ABC中，AG與BC相互垂直交于點G，在此基礎上以點A為直角頂點，以AB、AC兩條邊為直角邊，向三角形ABC外作等腰直角三角形，過點E、F做射線GA的垂線（見圖3），垂足分別為P、Q，讓學生自主探究EP和FQ之間的關系。之后，教師根據學生的做題情況和思考情況進行拓展延伸。在解析時教師可以先讓學生進行情景觀察，根據兩個三角形相似，非常容易就可以得到兩條相等的線段及一個直角，這樣便可以順利開展教學。問題探究部分的題目類似，同樣運用相似三角形得到兩條相等的線段，進而同理得到另外兩條相等線段，最后就可以得出結果。拓展延伸部分的教學和解題方法同上。在此過程中，教師要注意先給出學生第一道題目，然后讓學生獨立思考，判斷學生的答題情況后再給出問題探究的題目。因此，教師需要提前準備多道備選題目，以便即時做出調整。但三個問題之間的難度一定是逐漸遞增的。學生能夠不斷突破自己的心理認知，從而展現自己的能力。教師可以給學生畫出具體的圖形，也可以讓學生自己畫，這樣可以考查學生的空間幾何能力，讓學生自己動手操作，從而提高數學解題的樂趣，體現自主探究的思想。在解題之前，教師也可以讓學生嘗試猜想，在猜想的基礎上探尋解題過程，可以大大提升學生的數學解題能力和幾何的學習體驗。

二、建立相應的模型

在問題情境與拓展的基礎上，教師要給學生建立一線三等角的模型，讓學生腦海中可以對這個模型形成明確的認知，并對這個模型進行整體上的講解，最后進行變式的拓展和應用。在拓展和應用部分，教師可以給出比較經典的例題，讓學生活學活用。

三、構造轉化模型

圍繞一線三等角模型的題目非常多，而且難度較高。因此，基本的模型學習遠遠不夠。教師可以在上課時對例題進行精心講解，對學生的思路進行引導。

教師可以讓學生觀察圖形，然后通過折疊的性質可以發現三個直角三角形，可以構成一線三等角的基本模型。學生發現一線三等角后便能順利解題。教師點題式的講解，能夠為學生解題提供良好的思路，可以讓學生嘗試用鉛筆在原圖形上面畫出一線三等角模型，然后在完成第一道題的基礎上發現第一題的結論可以幫助解決第二道題，但第二道題對學生來說有一定的難度。教師可以引導學生思考：求解三角函數值可以轉化為什么？學生認為可以轉化成線段比，可以利用相似和折疊的條件，但還要學會引入未知數。經過這道題，學生基本上對這一模型有了更為深入的了解，但與靈活運用模型仍存在一定差距。因此，接下來教師可以給學生出一些隱形模型的題目，進行構造轉化。2011年的安徽卷、浙江卷中也出現了類似的題目，這道題的得分率非常低，但考查的也是一線三等角模型。如今，中考題注重考查學生的綜合能力，將其與二次函數、全等三角形等知識點相結合，這就要求教師善于總結，引導學生徹底掌握一線三等角模型。

結語

綜上所述，在教學一線三等角模型時，教師要注重培養學生的數學思維，切忌過分強調建模的結果而忽視過程。教師應引導學生不斷探索，避免學生過分依賴某幾種解題方法，要使學生學會舉一反三，練就火眼金睛。與此同時，教師要引導學生善于發現和創造，對學過的數學知識和方法不斷內化，直至熟練掌握，進而延伸拓展到其他內容，鞏固基礎知識，這樣才可以真正提升學生的數學學習水平。