《數學物理方法》定解問題的可視化仿真實驗設計

許 超，王 琪，陳玉艷，高森源，丁 勇*

(1.遼寧大學 物理學院，遼寧 沈陽 110036；2.威海市實驗高級中學，山東 威海 264200)

0 引言

《數學物理方法》是物理類、力學類、儀器類、電子信息類等學科的重要基礎課.其課程特點是將精妙的數學思想和數學方法應用在物理或交叉學科的實際具體問題中，通過物理現象建立數學模型，在分析模型和問題求解的過程中進一步研究物理現象，從而發現解決實際具體問題的途徑和方法.由于該課程理論性強、概念抽象、推導繁多、場圖復雜，要求學生具有較強的抽象思維能力和空間想象力.所以，課程的教學現狀往往是多數學生對基本概念掌握較好，但不會從實際問題出發，運用所學的知識去建立相關的數學模型，實際上就是對知識的掌握和運用不能協調，對知識掌握與實際應用之間脫節.

探索新工科建設模式，主動適應當前社會的新技術、新產業、新經濟發展，已經成為高校理工科專業的發展目標.怎樣培養具有創新創業意識、邏輯思維和跨界應用能力的“新工科”人才?這是高校理工科專業教師需要深入思考的問題.其解決途徑之一就是要在理論講授和實踐應用之間找到合適的教學平衡點[1-3].因此，教學團隊依托《數學物理方法》課程，選取數學物理方法的定解問題作為教學改革的突破點，將理論建模與三維仿真相融合、基礎知識與教學案例相融合、創新實踐與科學研究相融合，重點解決學生在《數學物理方法》部分章節學習時對教學內容理解困難和創新思維訓練不足的教學問題.

1 《數學物理方法》定解問題

《數學物理方法》是以物理學科或工程技術的實際應用問題作為研究對象，其研究步驟一般包括確定定解問題、定解問題求解和解的適定性.以工程技術的溫度監測為例，通常會分析溫度在測量區域的分布情況或研究其隨時間變化的規律.那么，將溫度分布及其隨時間變化的規律用數學語言描述出來，即數學物理方程；而溫度變化在測量區域所滿足的約束邊界條件和時間初值條件稱為定解條件.由于描述的是同一類物理現象的共同規律，反映的是物理量變化的最本質關系，所以這種方程也稱為泛定方程.確定定解問題就是求解某一具體問題時提出泛定方程和定解條件.

求解不同的定解問題，需要采用不同的方法一類一類求解.但具體問題研究時，僅僅求解出方程是遠遠不夠的，還必須考慮解的適定性，即存在性、唯一性和穩定性.依舊以溫度監測為例，需要考慮求解的溫度變化是否符合實際物理問題的意義，需要討論在什么樣的定解條件下溫度方程的解是唯一的，更要確保當定解條件有微小變化時，溫度方程的解也只有微小變化.只有定解問題的解具有存在性、唯一性和穩定性，那么在合理誤差范圍內所得到的解就可以看做是實際問題解的良好近似.只有得到符合實際問題的物理規律的解，這樣的解才是具有實際意義的.

2 基于新工科理念的可視化仿真教學模式

教學團隊積極探索新工科的教學理念，以解決實際問題和自主創新設計的能力作為本科學生的主要培養目標，將數學物理建模思想、三維可視化仿真方法、創新實踐的手段應用于《數學物理方法》課程的教學實踐中，重點實現了將理論建模與三維仿真相融合、基礎知識與教學案例相融合、創新實踐與科學研究相融合.其中，教學方法三維可視化使抽象、煩瑣的理論模型變得直觀、明了；教學案例項目化鍛煉學生動手實踐和解決問題能力；教學實踐創新自主化加強科研促教，引導學生開展自主研究型學習；教學內容的系統化更新了課程結構，充實了課程內容，完善了課程體系[4-5].可以說，《數學物理方法》的這種基于新工科理念的可視化仿真教學模式，既解決了前沿性的科研促教中缺乏實驗條件的問題，加強了創新思維實踐能力訓練，又改進了學生在部分章節學習時對教學內容理解困難的教學狀況，解決了課程教學模式單一且脫離實際應用的教學問題[6-8].

3 定解問題實例設計與仿真

教學團隊堅持新工科理念的可視化教學模式，開展了復變函數計算、留數計算、傅里葉變換、拉普拉斯變換、特殊函數仿真、本征值計算和偏微分方程求解等部分定解問題的案例式創新實驗.本文以穩態的溫度分布為例，闡述《數學物理方法》定解問題可視化教學實例.假設半徑為a，表面熏黑的均勻長圓柱，在溫度為0的空氣中受陽光的照射，陽光垂直于柱軸，熱流強度為q，試求柱內穩定的溫度分布.

解：定解問題為

其中

這個問題的解是

可以用MATLAB程序得到解析解的圖形(如圖1、圖2所示)。

圖1 解析解的曲面圖

圖2 解析解的等值線圖

在球面的邊界條件是cosωt即為Re(e-iωt)，在上面寫成了e-iωt，這要求在計算結果中也只取實部.

問題的解析解是

上式的實部就是所要求的解，在遠場取漸進公式近似，并取實部，得到的解為：

圖3是解析解動畫中的幾幅畫面，這是由球面向外傳播的球面波.

圖3 球面波解析解的動畫

教學團隊引導學生通過對柱體內溫度變化分析得出柱體溫度的泛定方程，借助于MATLAB軟件和程序語言得出其數值解及其解曲面的直觀圖形，實現了定解問題可視化，解決了教學環節中理論知識與實際應用脫節的缺陷，有助于學生學習理解專業問題.同時，課后可設計類似練習以鞏固編程能力和提升理論分析能力，比如實際生活中防護服的熱傳導、倉儲的柜體溫度分布等，都可以讓學生動手練習建立定解問題來求解.但需要注意的是設計問題時要考慮其可行性、復雜性、工程的延展性.

4 結論

《數學物理方法》課程的概念抽象、場圖復雜，教學團隊借助于MATLAB的可視化仿真教學和面向實際應用的教學案例，選取數學物理方法的定解問題作為教學改革的突破點.實踐表明，這種案例式可視化仿真教學構建了理論建模與三維仿真相融合、基礎知識與教學案例相融合、創新實踐與科學研究相融合，對具有“寬泛的專業知識、科學的創新能力、實踐的應用能力”的專業人才培養具有現實意義，解決了學生在專業知識學習過程中所遇到的典型問題，符合新工科建設理念.