CCD非線性效應對雙頻光柵三維面形測量的影響

喬鬧生，孫 萍

（1. 湖南文理學院 國際學院，湖南 常德 415000；2. 湖南省洞庭湖生態經濟區協同創新中心，湖南 常德 415000；3. 湖南文理學院 數理學院，湖南 常德 415000；4. 成都信息工程大學 光電工程學院，四川 成都 610225；5. 電子科技大學 電子薄膜與集成器件國家重點實驗室，四川 成都 6100054）

1 引 言

三維面形測量系統具有非接觸、高精度、快速、自動化等優點，廣泛應用于機械零件的在線質量檢測、服裝制作、醫學診斷等領域[1-6]，已在國內外取得了較多的研究成果[7-13]。但在測量過程中，CCD非線性效應會導致頻譜混疊，從而影響三維面形的測量精度，在這方面不少學者開展了大量研究[14-19]。如杜永兆等[6]分析了CCD非線性效應導致頻譜混疊的原因，提出了消除頻譜混疊的方法。于杰[7]提出了一種用于相移點衍射干涉儀的加權最小二乘相位提取算法，完全避免了CCD的二階響應非線性。蘇軻等[8]采用最佳的加權濾波窗口減弱了CCD非線性引起的頻譜混疊對測量的影響。

雙頻光柵投影的復雜物體三維面形測量應用廣泛，研究意義重大[9-12]。如FU Y等[9]采用計算機編制雙頻光柵程序投射到測量對象上，經拼接得到目標圖像，設計濾波器對高頻和低頻進行濾波，在低頻相位差的基礎上，計算出高頻相位差，實現了三維輪廓測量。武迎春等[10]提出了一種包含兩個調制頻率的復合光柵投影方法，利用低頻指導高頻進行相位展開提高解相精度，降低了相鄰載波通道中交流分量之間的傅立葉頻譜重疊度。PENG K等[11]提出將雙頻光柵用于在線三維測量，在相位計算中避免了濾波過程中的有效信息損失，將被測物體的整個調制方式與像素匹配，提高了三維重建精度。ERYI H等[12]通過獲取兩幅圖像中物體表面同一點對應的圖像強度，采用雙頻技術提取出無相位模糊的真實相位，對大臺階試樣的表面形貌進行了測量，取得了較好的實驗效果。

由于是用等效波長來衡量三維面形測量精度的[1]，為了減小雙頻光柵三維測量中由于CCD非線性效應導致頻譜混疊而影響測量精度，本文通過增大雙頻光柵的頻率。

針對CCD非線性效應對雙頻光柵三維測量的影響，本文分析了CCD非線性效應產生頻譜混疊的原因，討論了CCD非線性效應下的雙頻光柵測量原理，對雙頻光柵投影輸出的變形條紋進行了仿真與實際實驗測量，仿真與實驗結果得到的數據驗證了所提方法的正確性與有效性。

2 基本原理

2.1 CCD非線性效應對三維面形測量的影響

三維面形測量系統光路圖如圖1所示，P1P2是投影儀光軸，L0是CCD光心I2與參考平面之間的距離，d是CCD光心I2與投影儀光心P2之間的距離，A和C是參考平面上的兩點，D是物體表面上某點，h是點D到參考平面間的距離。

圖1 測量系統光路圖Fig. 1 Optical path of measurement system

設? (x,y)表 示包含被測物體高度信息h(x,y)的相位。對于圖1所示的測量系統，當L0?h(x,y)時，h(x,y) 與 ?(x,y)之間的關系可簡單地表示為[1]：

式中f0為光柵基頻。

由式（1）可見，三維物體面形的高度信息h(x,y) 可通過相位? (x,y)求出。

在實際工作中，現在的CCD精度很高，CCD輸出光強與輸入光強之間存在的二階與三階非線性效應是影響測量精度的主要因素，其他的四階和五階等高階非線性效應對測量精度的影響非常小，可以忽略不計。CCD輸出的干涉條紋光強為：

式中g0(x,y) 為輸入的歸一化光強度條紋,g(x,y)為實際捕獲的歸一化光強分布，eλ為系數。

對式（2）進行傅立葉變換可得頻譜為：

由式（3）可見，當CCD存在著非線性效應時，頻譜上多出了二倍頻、三倍頻等高級頻譜成份。因此在相位恢復過程中，二級與三級等高級頻譜分量可能會與包含物體高度信息的基頻分量發生混疊，從而影響基頻分量信息的提取，最終影響相位恢復及物體高度信息的三維測量。

2.2 CCD非線性效應影響下的雙頻光柵測量原理

復雜物體三維面形測量方法中，所采用的雙頻光柵測量集中了低頻光柵和高頻光柵各自的優點。投影低頻光柵產生條紋得到的包裹相位為φ1(x,y)， 其展開相位 ?1(x,y)相對容易展開，但精度較低。投影高頻光柵產生條紋得到的包裹相位為φ2(x,y)， 其展開相位 ?2(x,y)相對較難展開，但精度較高。

在CCD存在著二階與三階非線性效應情況下，投影雙頻光柵產生的變形條紋的光強分布為：

對式（4）進行傅立葉變換可得頻譜為：

式（5）中當k=1時 ，fk表示低頻光柵的基頻，當k=2時，表示高頻光柵的基頻（以下同），背景光強產生的系列頻譜能夠通過相移技術消 除[13], 其 中Qkλ(fx?λfk,fy?λfk)和Q?kλ(fx+λfk,fy+λfk)分 別 是和c?kλ(x,y)exp[?i2πλfk(x+y)經過傅立葉變換后得到的系列頻譜。

由式（5）可見，投影雙頻光柵產生的變形條紋經傅立葉變換后，頻譜中除了產生基頻外，還會產生二階、三階等高階非線性引起的高級頻譜成份，這些高級頻譜成份可能會與基頻發生混疊，從而影響基頻中包含物體高度信息的提取，使測量精度降低。

由于CCD非線性效應導致雙頻光柵測量中基頻與高級頻譜發生混疊，減小混疊使各級頻譜相互分離可以提高測量精度。測量精度是由等效波長來衡量的，等效波長由L0/d與fk來決定[1]。它們之間有以下關系：

式中L0/d與fk的比值越小則測量精度越大，而降低L0/d會影響測量范圍[1]。因而，在理想情況下保持L0/d不變，在保證CCD分辨率的前提下，通過增大光柵的基頻fk來增大測量精度，測量精度增大了也就意味著基頻與高級頻譜間的混疊減小了，這樣也就減小或消除了CCD的非線性效應。

根據式（1），在使用雙頻光柵投影測量三維物體面形時，對于高度為h(x,y)的物體上的某點，可得到如下關系：

由式（7）可得

由于只考慮了來自低頻光柵與高頻光柵的基頻。選擇適合的雙頻光柵基頻f1和f2，采用低通濾波器對消除了頻譜混疊的式（5）中的頻譜進行濾波，濾出雙頻光柵產生的基頻成份Q11(fx?f1,fy?f1)和Q21(fx?f2,fy?f2)， 可得到展開相位?1(x,y)與 ?2(x,y)。 展開相位 ?k(x,y)與 包裹相位 φk(x,y)之間的關系為：

式中n1(x,y) 和n2(x,y)分別為低頻光柵和高頻光柵產生的條紋整數級數。對于物體的同一點，存在如下關系：

聯合式（7）～式（10）可得

式中(INT){·}表示整數運算符，可以準確地確定與較高頻率相關的展開相位?2(x,y)。

可 見，n2(x,y) 能 夠 由mf、n1(x,y) 、 φ1(x,y)及φ2(x,y)確 定，代入式（9）可得到 ?2(x,y)，最后可由式（7）得到包含物體高度信息的三維物體面形。

3 計算機仿真及實驗結果分析

為了驗證基本原理分析的正確性，現用計算機仿真與實驗進行驗證。

3.1 計算機仿真結果及分析

設測量系統的幾何參數為L0/d=4，低頻光柵的頻率為， 高頻光柵的頻率為=1/9mm?1， 則模擬物體如圖2(a)所示，大小為512pixel×512pixel。設CCD為線性且存在著非線性效應，投影雙頻光柵產生的變形條紋光強分布為：g1(x,y)=g(x,y)、g2(x,y)=0.18+1.32g(x,y)?0.42g2(x,y)。兩種情況下的變形條紋光強經傅立葉變換后得到的沿著x軸方向的頻譜分布分別如圖2(b)、2(c)所示。

圖2 模擬物體及沿著x軸方向頻譜分布Fig. 2 Simulation object and spectrum distributions along x axis

可見，圖2(b)中只有低頻光柵與高頻光柵各自產生的基頻，而圖2(c)中因CCD的非線性效應的存在，還含有低頻光柵與高頻光柵各自產生的高階頻譜成份，且與基頻等頻譜發生了混疊。

設測量系統的幾何參數為L0/d=2.25，低頻光柵與高頻光柵的基頻分別為=1/32mm?1、=1/8mm?1，來自理想CCD系統的變形條紋光強為g(x,y)=0.5+0.5[cos(2πf1x+φ(x,y))+cos(2πf2x+φ(x,y))]，來自存在非線性效應系統輸出的變形條紋光強為g1(x,y)=0.15?0.13g(x,y)+2.34g2(x,y)。

模擬物體如圖3(a)所示，其高度的最大絕對值與平均絕對值分別為24.318 1 mm和1.083 9 mm；通過雙頻光柵后的變形條紋光強如圖3(b)所示；變形條紋光強經傅立葉變換后得到的沿著x軸方向頻譜如圖3(d)所示；恢復物體面形后的絕對高度差如圖3(f)所示，測量值與實際值之間的最大絕對高度誤差與平均絕對高度誤差分別為0.895 0 mm和0.062 2 mm。

保持系統的測量參數不變，使低頻光柵與高頻光柵的基頻分別增加為f1=1/16mm?1、f2=1/4mm?1，模擬物體通過雙頻光柵后的變形條紋、變形條紋光強經傅立葉變換后得到沿著x軸方向的頻譜及絕對高度差分別如圖3(c)、3(e)、3(g)所示，測量值與實際值之間的最大絕對高度誤差與平均絕對高度誤差分別為0.371 0 mm和0.023 2 mm。

比較圖3(d)與3(e)可見，增大雙頻光柵各自的基頻，可以使雙頻光柵各自產生的基頻較好地分離，同時使同一光柵產生的基頻與高級頻譜較好地分離。比較圖3(f)與3(g)可見，增大雙頻光柵各自的基頻，可以明顯提高三維物體的測量精度。

3.2 實驗結果及分析

為了進一步證明基本原理分析的正確性，采用如圖4所示的實驗裝置進行實驗。通過MATLAB軟件編寫程序得到低頻光柵與高頻光柵的基頻分別為=1/40mm?1、=1/10mm?1，則其頻率比為mf=4。再由式(4)得到雙頻光柵的變形條紋光強，投影雙頻光柵條紋到被測物體表面。

圖3 系統存在非線性效應時仿真結果圖Fig. 3 Simulation results when the system has nonlinearity effect

圖4 實驗裝置示意圖Fig. 4 Schematic diagram of experimental setup

系統為非線性時，在滿足抽樣條件下，投影雙頻光柵條紋到被測物體上產生的變形條紋如圖5(a)所示，變形條紋經傅立葉變換后所得到的頻譜如圖5(c)所示，恢復的三維物體面形如圖5(e)所示。再根據實驗結果，由MATLAB軟件編寫程序，得到提升的低頻光柵與高頻光柵的基頻分別為，因而使低頻光柵與高頻光柵的基頻都同等增加了2.5倍，此時得到新的雙頻光柵變形條紋、變形條紋經傅立葉變換后的頻譜、恢復的三維物體面形分別如圖5(b)、5(d)、5(f)所示。

比較圖5(c)與5(d)可見，兩個圖的頻譜中除了低頻光柵與高頻光柵各自的包含物體高度信息的基頻成份外，還有由各自產生的二階、三階等高階非線性引起的高級頻譜成份，兩圖中的基頻都與各自的二級、三級等高級頻譜成份混疊了。但是圖5(c)的基頻與二級、三級等高級頻譜間混疊較多，而圖5(d)的基頻與各高級頻譜間分離較好且混疊很少。

比較圖5(e)與5(f)可見，圖5(f)的恢復效果明顯比圖5(e)的效果好很多。圖5(f)的額頭、下巴、鼻子、臉頰等輪廓表面都比圖5(e)的清晰且平滑，圖5(e)的額頭恢復效果較差，明顯多出一道溝壑。

圖5 系統為非線性情況時的實驗結果圖Fig. 5 Experimental results when the system has nonlinearity effect

4 結 論

為了減小CCD非線性效應對復雜光學三維面形測量精度的影響，提出了采用雙頻光柵投影消除CCD非線性效應并提高測量精度的方法。分析了CCD非線性效應及高級頻譜成份產生的基本原因，討論了CCD非線性效應下的雙頻光柵測量原理，并給出了理論分析和解析推導。仿真物體最大絕對值與平均絕對值分別為24.318 1 mm和1.083 9 mm，得到最大絕對高度誤差與平均絕對高度誤差分別為0.895 0 mm和0.062 2 mm，雙頻光柵基頻都提高后，兩個值分別減小為0.371 0 mm和0.023 2 mm。在實驗結果中，當雙頻光柵的基頻都同等增加2.5倍后，頻譜中的基頻與高級頻譜間分離較好，測量精度明顯提高。