基于磁矩量法的地磁指紋構建方法研究

王威 魏東巖 袁洪

（中國科學院空天信息創新研究院 北京市 100094）

1 引言

地磁是由地球產生的一種磁現象，基于磁現象來進行導航定位的方式稱為地磁導航。人們對于地磁導航的研究最早可以追溯到宋朝，指南針的發明，就是地磁導航最早的應用案例，經過多年的發展，目前的地磁導航已經發展成一種較為成熟和完善的導航方式。地磁導航由于其范圍廣、時效長、誤差小，抗干擾能力強的特點，近年來已經在很多領域發揮出獨特的優勢。

地磁導航主要的應用場景有水下導航、飛行器導航、車輛導航和行人導航等[1-3]。特別是在車輛導航方面，目前車輛導航使用的全球衛星導航系統存在信號遮擋問題，特殊場景下無法定位，由于地磁的分布是無處不在的，地磁導航在這些場景下依然能夠進行定位，使得地磁導航作為一種輔助導航的手段在車輛導航方面發揮出較大的優勢，值得廣泛的推廣應用。

針對車輛導航，目前主流的地磁導航方法[4-5]是基于地磁圖的匹配導航方法。這種方法的主要的流程是先建立待導航區域的地磁指紋庫，然后導航時使用實時傳感器數據與指紋庫內數據進行匹配來得出載體的實時位置，實現定位功能。這種方法能夠得到較好定位效果的前提是其使用的高精度的地磁指紋庫，地磁指紋庫的精度會直接影響地磁導航的精度，所以為了實現精準的地磁匹配定位，對地磁指紋構建方法進行研究是十分重要的。

車輛地磁導航時所使用的地磁指紋主要是導航區域內的地磁異常場，所以標準的中國地磁參考場(CGRF2010)模型是無法使用的，其尺度較大，匹配導航時無法得到有效位置。針對車輛的地磁導航，目前主流的地磁指紋構建方法是通過遍歷采集導航區域內所有位置點的方式，實現區域內地磁指紋的構建。此種方法優點是精度高，實時匹配時誤差小，定位效果較好。但是此方法也有缺點，遍歷采集需要對待導航區域內所有點進行密集采集，人力物力消耗比較大，為了解決人力消耗問題，目前業內主要采用眾包和插值的方法來減小采集工作量。眾包采集可以在采集區域得到較多數據，數據量較為完善，但是不同車輛以及不同傳感器之間參數差異較大，數據難以統一，此方法應用不成熟。插值的方法是使用現有的采集數據，通過已有的插值模型擬合的方式，來計算出未采集點的數據，進而減小采集工作量。

截至目前，國內外研究人員已經提出了一些插值的算法。張曉明，趙剡等人在文獻[6]中，提出一種基于克里金插值的局部地磁圖構建方法，論述了克里金插值理論能夠描述地磁場的結構分量，為地磁場的構建提供理論基礎。喬玉坤，王仕成等人在文獻[7]中提出一種采用矩諧分析和支持向量機的地磁基準圖構建方法，在導航區域中心采用矩諧分析法來預測基準數據，以提高地磁基準圖的精度并加以修正，在導航區域邊緣采用支持向量機法來預測基準數據，減弱邊界效應的影響。譚斌，林春生等人在文獻[8]中根據已有地磁測量點數據，采用徑向基函數對缺少磁測資料的邊界區域進行插值的方法，補充邊界區域地磁測量值，加強邊界約束，改善區域地磁場模型的邊界效應，提高模型精度。楊云濤，石志勇等人在文獻[9]中采用泰勒多項式擬合法建立高精度區域地磁場模型，對測量點進行整體擬合，建立滿足地磁匹配導航的高精度區域地磁場模型。

圖1：構建方法流程圖

以上的插值方法，基本上都是以數學擬合的方法進行的，通過實測的數據加以數學上的算法運算來預測未采集點的地磁值。雖然能夠解決數據插值問題，但是這些算法最主要的缺陷在于未能從磁場產生的機理上對磁來源進行分析，僅僅依靠擬合的方法不能很好地預測出未采集點的地磁數據。

針對以上問題，本文提出一種基于磁矩量法的地磁指紋構建方法，通過分析局部區域內的磁場分布，根據已有的采集數據，建立局部區域磁場模型，對模型所在區域內位置點進行地磁數據預測插值，獲取局部區域內的地磁信息，通過數據插值來減小遍歷采集的工作量，同時提高地磁指紋精度。

本文共有五節，第一節主要是地磁指紋構建方法的概述，第二節對地磁數據采集誤差補償方法進行說明，第三節介紹本文提出的基于磁矩量法的地磁指紋構建方法具體實現，通過數學推理得出局部磁場模型計算公式。第四節主要是模型的實驗驗證以及對比試驗，通過對比實驗來驗證構建技術的有效性。第五節是文中提出方法的結論和不足之處的說明，以及對未來研究的展望。

2 系統框架

針對本文提出的基于磁矩量法的地磁指紋構建方法，設計完善此構建方法的整體概述。首先進行外業調研，針對場景內磁場分布進行調研，得到建筑物內鋼結構的粗位置。其次進行數據采集，對待導航區域內位置點使用地磁傳感器進行地磁數據采集。采集完之后針對采集時存在的數據誤差現象，采用現有的誤差補償方案對數據進行誤差補償，消除采集時混入的數據誤差，保證數據的可信度。

地磁數據經過誤差補償后，根據地磁數據和鋼結構粗位置，基于磁矩量法構建局部磁場模型，使用已采集數據，通過不斷優化迭代，調整模型來達到較好的預測效果，最后生成模型。使用生成的模型預測數據來對未采集點進行插值，實現高精度的地磁指紋庫的構建。構建方法流程圖如圖1 所示。

3 地磁采集誤差分析和補償

地磁采集過程中產生的誤差主要是傳感器誤差，安裝誤差以及載體誤差[10]。針對這三類誤差產生機理設計補償方法進行誤差補償。首先是傳感器誤差，傳感器自身誤差產生的主要原因是生產工藝上的偏差使得傳感器的測量結果達不到預期的效果，帶來一定的誤差。傳感器自身誤差主要表現在三個方面，傳感器零偏誤差、傳感器靈敏度誤差、傳感器三軸非正交誤差。零偏誤差在傳感器制造過程中已經被確定，在一定時間段內基本不變。采集數據時，不同磁傳感器具有不同的靈敏度，在同樣的地點采集地磁數據也會有偏差，所以不同的傳感器有不同的靈敏度系數。磁傳感器三軸只用來測量其對應三軸的地磁分量大小，所以磁傳感器三軸非正交會造成測量地磁數據的偏差。這三類誤差會根據不同傳感器而發生改變，針對此三類誤差，廠家會在傳感器出廠時會進行校正，使其輸出值是誤差補償后的值。

其次是傳感器安裝誤差，傳感器安裝過程中也會產生安裝誤差，實際的測量過程中，地磁傳感器普遍固定在車輛內部平臺上，所以主要考慮XOY 平面上的安裝誤差，針對偏差角度通過投影方式進行誤差補償，假設偏差角度為δ，由數學關系可得實際值M0與測量值M 的關系為：

通過引入安裝誤差補償矩陣CI，將實際測量值左乘補償矩陣，即可完成安裝誤差補償。其中補償矩陣的值為：

最后是載體誤差，測量磁場過程中，載體車輛也會對測量值造成誤差，由于車輛中存在大量鐵磁性材料，容易被磁化產生磁場，載體誤差主要包括載體硬磁誤差和載體軟磁誤差，硬磁誤差的產生原因主要是載體內的硬磁材料產生的磁場影響，硬磁誤差相對穩定，不隨外部磁場的變化而變化，通過對載體工具的離線測量，可以得到目標載體的硬磁誤差。測量值減去誤差補償數值即可得到實際值。各方向上的誤差補償數值可以表示為：

載體軟磁誤差產生的主要原因是載體中軟磁材料與外部的地磁場相互作用，產生軟磁磁場，導致地磁測量值產生偏差，載體產生的軟磁磁場的強度與外部磁場強度成比例關系，通過實驗時實際場地的測量，對比含鐵磁材料和不含鐵磁材料測量值的偏差，可以得到比例關系，從而得到實際值與測量值之間的關系為：

通過引入載體軟磁誤差補償比例系數矩陣As，建立實際值與測量值的關系，將實際值左乘比例系數矩陣，再加上自身值，可得實際值。比例系數矩陣取值為：

綜合以上所有系統誤差補償方法，可以得到地磁采集的數據誤差補償方案，并在第四節實驗驗證環節加以驗證，通過誤差補償來避免數據誤差對模型構建和地磁指紋構建造成影響。

4 基于磁矩量法的局部磁場數學模型

4.1 磁場數學模型原理推導

為了解決數據插值問題，研究含有鋼結構建筑物附近區域的局部磁場特征，基于磁矩量法[11-14]建立鋼結構建筑物的局部磁場數學模型。常見的含鋼結構有高樓、橋梁、隧道、地庫等建筑物，本文以橋梁為例。橋梁所處的區域地磁場為H0，橋體內的鐵磁材料被磁化產生的磁場為Hm，所以整個空間中的總磁場強度是地磁場和鐵磁材料被磁化產生的磁場總和：

其中鐵磁材料被磁化產生的磁場可以用區域磁化強度的積分表達式表示：

式中 為鐵磁材料內部的磁化強度未知量，V 是源點的體積，R 是源點和場點之間的矢徑。

橋梁內部鋼結構是線性結構，利用磁矩量法將建筑物內的鐵磁材料劃分為n 個線單元，每個單元內部的材料物質是一樣的，每個單元內部的磁化強度假定是均勻的。第i 個線單元產生的磁場強度為：

其中Cij是源單元j 對場單元i 磁化作用的耦合系數矩陣，可以根據單元間的幾何關系求解：

任意一個場點的總磁場強度H 可由地磁傳感器測得，經過誤差補償之后的真實數據集代表了場點處真實的地磁強度，由地球產生的磁場在一定區域內較為穩定，橋梁區域中無其他鋼結構建筑物，可以測得H0的值，根據式（6）可以得到某一場點處由鐵磁材料磁化產生的磁場強度Hm，此場點處的Hm由建筑物內n 個線單元共同作用產生，將式（6）以及M=xH 代入到式（8）中可知，此場點的磁場強度為：

其中xi為各鐵磁材料線單元的磁化率，將式（10）分別沿XYZ 三方向展開可得：

當i=j 時Mi=Mj，上式可變換為：

其中δij的取值為：

圖2：地磁數據誤差補償處理前后對比圖

圖3：實際的磁場強度與預測的磁場強度差值結果對比圖

圖4：插值前地磁圖

圖5：插值后地磁圖

對于每一個線單元都可以分解為上式的形式，聯立方程可以求得鐵磁材料內部的磁化強度M。求解過程中，需要知道每個線單元的磁化率xi，鋼結構處在建筑物內部，磁化率測量較為困難，所以現階段磁化率的獲取方式是采用試錯法，根據物質磁化率表格得知鋼鐵磁化率的大致范圍，然后根據前期實驗部分數據擬合情況來動態調整鋼結構的磁化率，得知較為吻合的磁化率后，將此磁化率應用到后期的實驗計算分析中。

4.2 磁場數學模型計算方法

上一節的公式推導從原理上論述了局部磁場數學模型構建的方法，接下來將模型轉化為矩陣模式，以方便后期的仿真計算和驗證。將方程組（12）轉換為矩陣形式：

其中C 是一個的系數耦合集合矩陣，C 的第p 行第q 列元素為：

其中M 是鐵磁材料各方向上磁化強度值構成的矩陣集合，維度為3n×1，M 的第c 行元素為：

其中H 是一個維度為3n×1 的矩陣，其元素由n 個采集點各方向數值構成，H 的第d 行元素為：

根據矩陣運算C(p,q)可以轉化為下式：

在三維空間中，根據源單元p 與場單元q 之間的位置關系，耦合系數Cpq內元素的值可由以下公式計算：

根據以上推理計算，可以計算出系數耦合矩陣集合C，已知矩陣集合H，根據矩陣求逆法則，可以求出M 矩陣集合，根據M 矩陣內元素的值，就可以得到了鐵磁材料內部的磁化強度。

至此可以得到基于磁矩量法的局部磁場數學模型以及其對等變換計算矩陣，模型與計算矩陣分別如下：

根據已知的建筑物各線單元內的磁化強度，帶入模型可以計算出建筑物外局部空間內任意一點s 處的磁場強度Hs：

將所求的s 點處地磁強度Hs與實際測量的s 點處的實際地磁進行對比，根據差值對模型內建筑物鐵磁材料線單元屬性進行調整，以達到更好的擬合效果，能夠更好的反映建筑物內線單元的分布以及磁化強度，進而得到真實的地磁分布情況，對未測量點的地磁強度進行預測，填充地磁數據以達到地磁指紋構建的目標。

5 實驗驗證與結果分析

實驗選取北京市石景山區首鋼大橋作為試驗場地，此大橋具有較多鋼架結構，鋼架結構特征明顯，被地磁場磁化后能夠產生較明顯的磁場。實驗選取MS570 作為地磁采集設備，選用IMU-ISA-100C 作為位置基準采集設備，福建奔馳中天之星作為車輛載體。

實驗時，首先選取單條道路驗證誤差補償方案，先進行一次數據采集實驗，此次采集存在系統誤差，通過廠家的磁傳感器自身的參數和車輛載體的鐵磁誤差參數，以及此次實驗時具體的安裝參數，可以得到誤差補償方案中所需要的輸入參數，根據參數對誤差進行補償。第二次實驗時，使用同類型校準后的磁傳感器，避免傳感器自身誤差，使用水平尺等工具消除安裝偏差角，更換傳感器安裝位置，使其遠離載體上的鐵磁材料，減小載體誤差，第二次實驗近似于不存在系統誤差，進行實驗并記錄采集數據。將第一次實驗的數據與第二次實驗的數據進行差值可以得到誤差補償前系統誤差的值。將第一次實驗的數據進行誤差補償處理，并與處理前的值進行差值，可以得到誤差補償后的系統誤差值，將補償前的系統誤差值與補償后的系統誤差值進行對比，驗證補償方案的有效性。對比結果圖如圖2 所示。

圖2 中紅線是誤差補償前，系統誤差的值，藍線是誤差補償后，系統誤差的值，藍線較紅線更收斂，上下峰值更小，說明誤差補償模型能夠有效減小地磁數據系統誤差，降低誤差干擾。

誤差補償有效性驗證完之后，使用誤差模型補償所有采集數據，得到不含誤差的地磁數據。根據不含誤差的地磁數據H，減去地球產生的磁場H0，得到由大橋鋼結構產生的磁場強度Hm，根據外業調研的鋼結構粗位置，得到大橋鋼架線單元之間的位置關系，得到耦合系數C，將以上參數輸入到第四節模型構建方法中，得到鋼結構的磁化強度，完成最初模型的構建。粗位置會導致模型預測效果的偏差，后續使用已采集的部分數據對模型進行迭代優化，通過更改鋼結構線單元的位置以及參數對模型進行調整，直到采集點的模型預測值與實際值偏差均值在1.5μT 內再停止迭代，輸出模型。

為了評估文中提出方法的有效性，進行對比實驗，采用現有的克里金插值方法對本實驗的數據進行處理，通過對比預測結果來評估方法的有效性。本論文提出方法的迭代預測結果以及克里金插值方法的預測結果對比圖如圖3 所示。

根據以上對比結果可知，通過模型不斷地更新迭代，對地磁數據的預測誤差進一步減小，說明迭代過程能夠優化模型，使得模型的預測效果更好。對比現有的克里金插值算法，迭代次數較小的情況下，局部誤差較大，局部效果較克里金更差，但是在迭代次數較大的情況下，整體的預測效果較克里金誤差較小，效果更優，說明設置較小的誤差閾值，增大迭代次數，能夠縮小預測誤差，使得模型有較好的預測效果。以上實驗證明本文提出的插值算法模型預測效果比現有的克里金插值算法效果更好。

通過使用多次迭代后構建的模型，對采集區域未采集點進行數據預測和插值，插值前后的大橋區域的地磁圖如圖4 和圖5 所示。

通過插值前后地磁圖的對比可知，經過迭代后模型的預測和插值，生成的局部地磁指紋信息更豐富，通過制備完備的地磁指紋庫，能夠在實時導航時減小定位誤差，提高地磁導航的精度。

6 結語

本文基于磁矩量法提出地磁指紋構建技術整體方法，論述了方法的詳細實現。通過實驗結果，分析論證了磁矩量法在構建局部磁場模型方面的有效性，能夠根據建筑物局部鋼結構的分布情況，對磁場強度進行預測，通過插值來實現地磁指紋的構建。相較以往只依靠采集數據通過數學擬合的方式進行地磁指紋構建，能夠更好地進行地磁數據插值，提高地磁指紋精度。經過對比實驗驗證，較已有方法在預測誤差上減小65%，在地磁指紋構建效果上有一定提升。目前模型的預測效果還有一定誤差，需要更精細的模型參數來減小預測誤差，最終達到更好的預測效果，實現更高精度的地磁指紋構建。