5自由度角接觸球軸承的靜態特性分析

李震，關先磊，王青山，秦斌

（1.中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410083；2.中南大學 交通運輸工程學院 軌道交通安全教育重點實驗室，長沙 410075）

隨著旋轉系統轉速和精度的不斷提高，軸承作為旋轉系統的重要組成部件，對旋轉系統中的轉子起到重要支撐作用。軸承的種類繁多，且已經系列化和標準化。在眾多軸承種類中，角接觸球軸承能夠同時承受徑向力和軸向力，且具有較好的穩定性和良好的潤滑特性，被廣泛應用于機床主軸和電主軸等要求高轉速、高精度和高穩定性的場合，其靜態特性會影響旋轉系統的工作性能。為了提高旋轉系統的工作性能，有必要對角接觸球軸承的靜態特性開展研究。在此領域，國內外學者已經做了大量的研究工作，并取得了一系列成果。

師浩浩等[1]基于Hertz點接觸理論建立了角接觸球軸承的靜態分析模型，并與傳統簡化算法對比，驗證該模型的有效性和精確性。徐濤等[2]基于赫茲接觸理論，采用有限元軟件ANSYS建立角接觸球軸承分析，研究其在外載荷作用下的靜態接觸特性。丁鴻昌等[3]在Jone-Harris剛度模型的基礎上，建立一個基于溝道控制理論的5自由度角接觸球軸承剛度模型，研究其靜態剛度特性。Guo等[4]基于滾珠軸承動力學理論，提出四列角接觸球軸承的靜力學分析模型。Demul等[5]基于經典赫茲接觸理論，提出一種新型的、通用的5自由度滾動軸承數值分析模型，可以實現滾動軸承靜態特性的快速求解。同時指出，該模型所用到的理論也被稱作“Demul理論”。任泓睿[6]采用Demul理論建立5自由度擬靜力學分析模型，研究其靜態接觸特性。Liu等[7]提出了一種考慮軸向預加載和接觸角的角接觸球軸承內載荷分布和剛度的解析方法。研究了組合載荷對靜態接觸角、內載荷分布和軸向剛度的影響。Zhang等[8-9]基于瓊斯模型建立角接觸球軸承5自由度分析模型，研究其靜態接觸角和接觸載荷的變化規律。Hong等[10]建立了角接觸球軸承在不同預緊機構作用下的剛度比較模型，研究預緊力對軸承靜態特性的影響。Wang等[11]采用無滾道控制理論建立角接觸球模型，極大簡化了模型的求解計算，并采用該模型研究軸承的靜態特性。Bizarre等[12]建立了考慮非線性剛度和阻尼的5自由度角接觸球軸承分析模型。

綜上所述，現有角接觸球軸承的靜態分析方法基本上是基于瓊斯和Jone-Harris模型展開的，但是計算量大，需要多次迭代求解，且求解精度較差。本文基于Demul理論和彈性赫茲接觸理論，以角接觸球軸承為研究對象，考慮軸承滾珠和滾道之間的彈性接觸，從軸承內部幾何關系入手，建立5自由度角接觸球軸承的簡化靜態分析模型；然后將本文結果與文獻結果進行對比，驗證本文模型的準確性和有效性；最后利用該模型研究軸承外載荷對軸承靜態參數的影響。本文模型考慮結構簡單，具有較高的計算效率和精度，適用于復雜工況下角接觸球軸承的靜態特性求解，為確定最佳預緊載荷提供理論基礎和技術指導。

1 理論推導

1.1 角接觸球軸承的模型

如圖1所示?？紤]角接觸球軸承5自由度的幾何分析模型，在沒有外載荷的條件下，角接觸球軸承內外圈滾道的曲率中心與滾珠中心位于同一條直線上，即Oi,Oo,O3點共線，直線Oi,Oo與垂直于軸承內圈軸線方向所夾的角為αo。ri和ro分別表示內外圈滾道曲率半徑；D表示滾珠直徑。

Dm表示軸承節圓直徑；Fx,Fy,Fz,Mx,My分別表示作用在軸承內圈上的外和外力矩，用F表示軸承內圈受到外力向量；Qr,Qz,M分別表示滾珠作用在軸承內圈上的力和力矩；rp和zp分別表示內圈滾道曲率中心的徑向距離和軸向距離。

圖1 軸承幾何模型

如圖2所示。描述了角接觸球軸承在受力前后內外圈曲率中心以及滾珠中心位置的變化，Oi,Oo,O表示未受力的位置，O?i,Oo,O?表示受力后的位置。從圖中可以看到，外圈的曲率中心在受力前后沒有發生改變，這是因為軸承在工作過程中，一般是內圈隨轉軸一起轉動，外圈與軸承支座固定。A1j和A2j分別表示未受力前內外圈曲率中心的軸向距離和徑向距離；和分別表示受力后內外圈曲率中心的軸向距離和徑向距離；looj和loij分別表示軸承在受力前滾珠中心與內外圈中心之間的距離；loj和lij分別表示軸承在受力后滾珠中心與內外圈中心之間的距離；uz和ur分別軸承內圈在力作用下的軸向位移和徑向位移；vz和vr分別滾珠在力作用下的軸向位移和徑向位移。

圖2 曲率中心的相對位置

根據圖2所示的幾何分析，可以得到受力后內外圈曲率中心的軸向距離和徑向距離，進而可以得到內外圈曲率中心之間的距離。

受到外載荷后，軸承的接觸角會發生改變，角接觸球軸承在受力后的第j個滾珠與內圈的接觸角用αj表示。

軸承的外圈固定在軸承支座上，當軸承受到外力時，軸承的內圈相對于外圈產生5個方向的位移。如圖3所示。δx，δy，δz代表平動位移θx，θy代表轉動位移,內圈相對于外圈的位移向量用δ表示。由上述分析可知單個滾珠也會對軸承產生作用力，作用在軸承內圈上的力向量用Qj表示，軸承內圈該力作用下產生的位移用ur，uz，θ表示，位移向量用uj。但是當軸承處于靜態下，滾珠不會發生轉動，即M=0，θ=0，故在圖2中沒有指出在滾珠作用下軸承內圈產生的轉動位移。

圖3 軸側剖視圖

將單個滾珠作用在軸承內圈所產生的位移ur，uz，θ視為軸承內圈在局部坐標系下的位移；將軸承內圈在外力作用下產生的位移δx，δy，δz，θx，θy視為軸承內圈在整體坐標系下的位移。為了建立5自由度的靜態分析模型，需要建立ur，uz，θ和δx，δy，δz，θx，θy之間的關系。

為了建立上述變量之間的關系，需要進行從局部坐標系到整體坐標系的坐標變換，根據文獻[5]，得到變換矩陣用Rj表示。

式（6）中的ψj表示滾珠方位角，可以參考圖4所示的示意圖，j表示第j個滾珠，與X軸相交的滾珠記為第1個滾珠，N表示滾珠的個數。

通過上述變換，將滾珠對軸承內圈的作用力轉化為滾珠對軸承內圈的整體作用力。根據文獻[5]，可以得到軸承內圈的整體平衡方程。

式（8）中的Q表示滾珠與軸承內圈接觸所產生的接觸力，k表示滾珠與軸承內圈的接觸系數，一般情況下是常數，計算方法很多，本文參考文獻[13]計算，由上述分析可以得到在受力前后軸承內外圈之間距離的變化，即可以得到軸承與滾珠彈性接觸的變形量δ。將式（8）中的平衡方程進行展開，可以得到5個方向的平衡方程表達式，如式（9）所示。

1.2 角接觸球軸承的模型求解

由于本文研究的是軸承靜態特性，所以不需要考慮角接觸球軸承中滾珠的轉動。該模型求解的關鍵是上述5個方向的平衡方程，可以看出上述方程為非線性方程組。本文采用牛頓迭代法進行非線性方程組的求解，設置迭代收斂精度為10-8mm，設置最大迭代步數為1 000步，給出的程序求解流程圖如圖5所示。

圖4 徑向剖視圖

圖5 模型求解程序流程圖

流程圖中的收斂是指通過平衡方程迭代得到位移值與上一次迭代位移值的差值小于事先設定的迭代精度，即差值要小于10-8mm。編程過程中，要注意判斷變形量的正負號，滾珠與軸承內圈彈性接觸只會產生壓縮變形，不會產生拉伸變形，即變形量δ一定是非負的，如果求得的變形量小于零，需要將變形量強制為零進行接下來的迭代計算，這樣才能保證程序快速收斂。角接觸球軸承的靜態剛度最能反映軸承的靜態特性。所謂的靜態特性分析主要是研究軸承的靜態剛度。下面是計算軸承靜態剛度的定義表達式。

除了利用定義式求解以外，也可以根據文獻[5]采用下列公式進行計算。

2 算例分析

2.1 模型驗證

為了驗證本文在MATLAB軟件中編程的正確性，在給定工況下，采用本方法求解軸承位移和剛度，與已知文獻結果進行對比，證明本文模型的準確性、穩定性和通用性。

首先進行軸承位移的對比驗證，軸承型號為7128B；滾動體和套圈的材料均為軸承鋼，彈性模量E和泊松比ν分別是2.07×105和0.3；載荷工況為Fx=-18 000 N，Fy=0 N，Fz=18 000 N，Mx=0 N·m，My=89 N·m。軸承的具體參數參考表1。

表1 7128B的結構參數

軸承位移的對比結果如表2所示。從表2可以看出，盡管本文模型結果與文獻[14]和文獻[15]結果存在一定的差異，但數值基本保持一致。上述差異產生的主要原因是因為模型迭代求解精度的不同和彈性接觸系數計算方法的不同。同時指出，本文方法中x方向的位移分量δx與文獻結果的符號相反是因為本文坐標系x軸與文獻坐標系x軸的正方向相反。這一點可以通過x方向施加的載荷看出，即Fx=-18 000 N。

表2 軸承位移結果對比

緊接著進行軸承剛度的對比驗證，即采用本方法求解角接觸軸承在給定載荷工況下的靜態剛度矩陣與文獻中實驗得到的整體靜態剛度矩陣進行對比。軸承型號為RPF7039；軸承的材料參數E=2.07×105，ν=0.3；載荷工況為Fx=Fy=500 N，Fz=2 000 N，Mx=My=1 N·m。軸承的具體參數參考表3。

表3 RPF7039的結構參數

在軸承靜態剛度矩陣中，只有對角剛度矩陣才會對軸承的靜態特性具有較大的影響。為了簡化對比結果，本文僅進行對角剛度矩陣的對比。對比結果如表4所示，本文結果和文獻[16]結果分別與文獻[17]實驗結果進行對比。從對比結果不難看出，本文模型不僅具有準確性和有效性，同時還具備較高的求解精度。同時指出，本文模型與文獻實驗結果存在差異化的原因可以歸咎于模型迭代求解的精度以及本文模型自身的局限性。模型的局限性是指因為本文模型理論本身的局限性。

根據上述軸承位移和靜態剛度的對比驗證，可以看出本文模型具有準確性、穩定性和通用性。緊接著，在上述模型的基礎上對軸承靜態特性開展參數化研究，角接觸球軸承的靜態參數主要包括靜態接觸角、靜態接觸力和靜態剛度（徑向剛度、軸向剛度和角剛度）。同時指出，參數化研究的軸承型號是7128B；材料參數是E=2.07×105和ν=0.3；其余參數見表1。

2.2 軸承外載荷對靜態接觸角的影響

靜態接觸角是角接觸球軸承的靜態參數之一，表示軸承在靜止狀態下，軸承內外圈與滾動體之間的接觸角。由于滾動體處于靜止狀態，不會產生離心力和陀螺力矩，所以軸承內外圈接觸角基本保持一致。所以本節研究的接觸角即是指內圈接觸角又指外圈接觸角。本節首先在不同軸向力作用下研究徑向力對角接觸球軸承靜態接觸角的影響，結果如圖6所示。同時指出，徑向力選取Fx和Fy同步變化；Mx和My均為0。

從圖6中不難看出，在純軸向力作用下，角接觸球軸承的靜態接觸角隨著方位角的增加保持不變，且靜態接觸角隨著軸向力的增加而基本保持不變；在給定軸向力和徑向力作用下，角接觸球軸承靜態接觸角隨著方位角的增加呈正余弦規律變化；在給定軸向力作用下，特殊方位角位置的靜態接觸角不隨徑向力的改變而改變，該位置被稱作“節點”；同時指出，徑向力越大，靜態接觸角的變化幅度越大。綜上所述，可以看出徑向力對角接觸球軸承靜態接觸角產生重要影響。

表4 角接觸球軸承整體靜態剛度對比

圖6 徑向力對靜態接觸角的影響

緊接著，在不同軸向力作用下研究力矩對角接觸球軸承靜態接觸力的影響，結果如圖7所示。同時指出，徑向力選取Fx和Fy均為0；Mx和My同步變化。

從圖7中不難看出，在給定軸向力和力矩作用下，角接觸球軸承靜態接觸角隨著方位角的增加呈正余弦規律變化。同時指出靜態接觸角的變化幅度隨著徑向力的增加而增加，但變化幅度較小。在給定軸向力作用下，靜態接觸角在特殊方位角位置也會出現相應的“節點”。綜上所述，可以看出力矩對角接觸球軸承靜態接觸角的影響較小，但不能忽視。

圖7 力矩對靜態接觸角的影響

2.3 軸承外載荷對靜態接觸力的影響

靜態接觸力是角接觸球軸承的靜態參數之一，靜態接觸力表示軸承內外圈與滾動體之間的接觸載荷。當軸承處于靜止狀態時，軸承內外圈靜態接觸力相同。本節首先在軸向力作用下研究徑向力對角接觸球軸承靜態接觸力的影響，結果如圖8所示。

從圖8中不難看出，在純軸向力作用下，角接觸球軸承靜態接觸力隨軸向力的增加而增加。在給定軸向力和徑向力作用下，角接觸球軸承靜態接觸力隨著方位角的增加呈正余弦衰減性變化，且靜態接觸力的變化幅值隨著徑向力的增加而增加。同時指出，靜態接觸力在特殊方位角位置會出現“節點”。在給定軸向力作用下，隨著徑向力的增加，特殊方位角會出現接觸角為零的現象，但是這種現象會伴隨著軸向力的增加而消失。綜上所述，可以得到軸向力和徑向力均會對靜態接觸力產生重要影響。同時指出，軸承在施加外載荷時，應當注意施加徑向載荷的大小，不能過大，否則會引起失衡，出現特殊方位角位置接觸力為零的現象。

圖8 徑向力對靜態接觸力的影響

緊接著，在軸向力作用下研究力矩對角接觸球軸承靜態接觸力的影響，結果如圖9所示。從圖9中不難看出，在給定軸向力和力矩作用下，角接觸球軸承靜態接觸力隨著方位角的增加呈正余弦規律變化，靜態接觸力在特殊方位角位置會出現“節點”。同時指出，在給定軸向力作用下，靜態接觸力的變化幅度隨著力矩的增加而增加，但是幅值的變化量較小。由此可見，力矩對角接觸球軸承靜態接觸力的影響較小，但對高精度軸承來說不能忽視。

圖9 力矩對靜態接觸力的影響

2.4 軸承外載荷對靜態剛度的影響

靜態剛度是描述角接觸球軸承靜態特性的參數之一，軸承靜態剛度主要包括徑向剛度、軸向剛度和角剛度。這3個剛度對角接觸球軸承的靜態特性影響最大，本節僅討論這3個剛度。首先，在軸向力作用下研究徑向力對角接觸球軸承靜態剛度的影響，結果如圖10所示。同時指出，由于徑向力Fx和Fy同步變化，力矩Mx和My同步變化，所以徑向剛度Kxx和Kyy相等，角剛度Kθx,θx和Kθx,θx相等。

從圖10中不難看出，對于徑向剛度來說，在給定徑向力作用下，徑向剛度隨著軸向力的增加而增加。在給定軸向力作用下，徑向剛度隨著徑向力的增加出現先增加后減少的現象。產生上述現象的原因是徑向剛度隨著徑向力的增加而增加，徑向力過大，會導致軸承產生不平衡現象，徑向剛度會出現弱化現象。一旦增加軸向力，會減緩弱化現象；對于軸向剛度來說，在給定徑向力作用下，軸向剛度隨著軸向力的增加而增加。在給定軸向力作用下，軸向剛隨著徑向力的增加而減小，說明徑向力會弱化軸向剛度；對于角剛度來說，在給定徑向力作用下，角剛度隨著軸向力的增加而增加。在給定軸向力作用下，角剛度隨著徑向力的增加而減少。這說明徑向力會弱化角剛度。綜上所述，軸向力會強化軸承靜態剛度（徑向剛度、軸向剛度和角剛度），徑向剛度會弱化軸向剛度和角剛度，但是會強化徑向剛度。

圖10 軸向力和徑向力對靜態剛度的影響

緊接著，在軸向力作用下研究力矩對角接觸球軸承靜態剛度的影響，結果如圖11所示。

從圖11中不難看出，在給定軸向力作用下，軸承靜態剛度隨著力矩的增加而基本保持不變。由此可見，力矩的變化對角接觸球軸承靜態剛度（徑向剛度、軸向剛度和角剛度）幾乎不產生影響。

圖11 軸向力和力矩對靜態剛度的影響

3 結語

（1）基于Demul理論和彈性赫茲理論，建立5自由度角接觸球軸承的靜態特性分析模型，并利用MATLAB軟件采用牛頓迭代法對模型進行求解，與已有文獻的實驗結果進行對比，證明本模型具有準確性、穩定性和通用性。

（2）根據上述模型，分別研究了軸向力、徑向力和力矩作用下對軸承靜態接觸角和接觸力的影響，軸向力和徑向力會對靜態接觸角和接觸力產生較大的影響，會出現“節點”，力矩對靜態接觸角和接觸力幾乎不產生影響。

（3）根據已建立模型，分別研究軸向力、徑向力和力矩對軸承靜態剛度的影響，可以看出，軸向力和徑向力對軸承靜態剛度（徑向、軸向和角剛度）產生重要影響，但力矩對軸承靜態剛度幾乎不產生影響。