優化的灰色馬爾科夫模型在油氣集輸管道腐蝕預測中的應用

李昊燃,鄭度奎,程遠鵬,何天隆,唐善法

(長江大學 石油工程學院，武漢 430100)

隨著油氣集輸管道在役時間的延長，多數管道出現腐蝕現象。油氣集輸管道腐蝕直接關系到管道的使用壽命、經濟效益以及環境安全[1-2]。因此，科學、準確地預測油氣集輸管道的腐蝕速率，對延長管道的使用年限、減少經濟損失、保障環境安全具有重要的意義。

油氣管道的腐蝕預測有多種方法，其中灰色模型(GM)是應用比較多的一種方法[3-7]。但是灰色模型并沒有考慮各個因素間的關系，只是對數據間的變化規律進行了分析，對數據依賴性較強，預測結果會隨著數據的波動而產生較大的誤差。為了追求更為精確的預測結果，許多學者對灰色預測模型進行了改進。龍學淵等[8]在原有灰色預測模型基礎上建立了不等時距灰色預測模型，擴大了等時距灰色模型的使用范圍，且取得了比較準確的預測結果。李秀娟等[9]通過灰色預測模型和BP神經網絡模型相結合的方式對原有模型進行改進，較大程度上提升了預測精度和計算速度。經建芳等[10]建立了灰色線性回歸組合模型，新模型即考慮到了原始數據的線性因素，又考慮了其他非線性因素，最終得到了較好的預測結果。

然而僅利用灰色模型來進行預測，預測結果會受到原始數據的影響，從而產生較大的誤差。為了在油氣管道腐蝕預測中獲得更加可靠的數據，需要對預測結果進行誤差修正，使其具有更高的預測精度。馬爾科夫模型適用于隨機過程的狀態轉移行為，且需要修正的樣本數據具有平穩過程、等均值的特點。灰色模型預測結果產生的誤差比較適合使用馬爾科夫模型來進行修正。因此，本工作先從無偏模型、背景值、數據更新等方面對原有的灰色預測模型進行改進，而后引入馬爾科夫模型對預測出的數據進行誤差修正，有效減小了由原始數據的波動而產生的誤差。

1 灰色馬爾科夫預測模型

1.1 GM(1，1)預測模型

1.1.1 GM(1，1)預測模型建立

(1)

由算子序列X(1)求出GM(1,1)模型背景值Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),z(1)(3),z(1)(n)}。其中，z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)],(k=2,3,4,…n)。根據所得的背景值，對GM(1,1)模型的白化方程離散化，使其由微分轉變成差分，從而得到GM(1,1)模型的灰微分方程，如式(2)所示。

X(0)(k)+aZ(1)(k)=u

(2)

根據式(2)建立矩陣，通過最小二乘法原理求得發展系數a和灰色作用量u，如式(3)所示。

(3)

則算子序列X(1)的預測公式為

(4)

將上式進行累減還原就可以得到預測值為

(1-eα)e-αk,(k=1,2,3,…n)

(5)

1.1.2 模型檢驗

為了確認模型預測結果的可靠程度，需要對預測模型的精度和可信度進行檢驗。一般使用殘差檢驗和后驗差檢驗[11]。

殘差檢驗是逐點檢驗，即k時刻的殘差為

ε(0)(k)=X(0)(k)-X′(0)(k),(k=1,2,3,…n)

(6)

式中:X(0)(k)是樣本數據值，X′(0)(k)是預測值。

殘差均值：

(7)

殘差方差：

(8)

原始數據均值：

(9)

原始數據方差：

(10)

后檢驗差檢驗指標為后驗差比值C和小誤差概率P，分別如式(11)和(12)所示。

(11)

(12)

根據P、C值參照精度檢驗表(見表1)可對已建模的精度做出評估。

表1 精度檢驗表Tab. 1 Accuracy inspectionTable

1.2 馬爾科夫預測模型

油氣管道腐蝕速率的實測值和使用灰色預測模型預測出的預測值之間存在較大的誤差，故使用馬爾科夫鏈對預測結果中產生的波動性誤差進行修正[12]。對灰色預測模擬產生的誤差進行區間狀態劃分，把區間劃分為E1，E2，…，En，依據馬爾科夫的無后效性，i(1≤i≤n)時刻的狀態只與i-1時刻的狀態有關系，不受之前狀態的影響。從狀態Si經過一步轉變成狀態Sj的概率為Pij，通常用n階方陣P來表示一步轉移概率矩陣，如式(13)所示。

(13)

則從狀態S經過一步轉移后的狀態S0可表示為S0=S×P，預測出狀態后，其腐蝕速率計算式[13]為

(14)

2 優化的灰色馬爾可夫預測模型

2.1 無偏灰色預測模型

(15)

得到

(16)

無偏GM(1,1)模型的預測值為

(17)

相比于傳統的GM(1,1)預測模型，無偏GM(1,1)模型消除了傳統模型中的灰色偏差，即使在數據增長較大的情況下也可以進行有效可靠的預測，同時無偏GM(1,1)模型是以原始數據為基礎構建的模型，不需要對得到的數據再進行累減還原，從而簡化了整個計算的過程。

2.2 灰色預測模型背景值的優化

由傳統的GM(1,1)預測模型能夠看出，發展系數a和灰色作用量u是決定GM(1,1)模型預測精度的關鍵因素，而a和u的值是由矩陣B決定的，矩陣B由背景值構成。所以GM(1,1)模型的預測精度受到背景值的影響[15]。傳統GM(1,1)預測模型的背景值為Z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)],(k=2,3,4,…,n)，在傳統的灰色預測模型中，用每個空間步長所對應梯形的面積來替代積分區域的面積(如圖1所示)，空間步長越大兩者差值越大，進而使得預測結果產生一定的誤差。模型背景值優化即使用積分區域的面積作為背景值，可消除背景值產生的誤差。

圖1 背景值誤差分析Fig. 1 Error analysis of background value

2.3 數據更新

為了減小數據波動產生的誤差，采用數據實時更新的預測方法[16]，即使用原始數據X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(3),…,x(0)(n)}預測出x(0)(n+1)，然后在原始數據列X(0)的基礎上去掉x(0)(1)，以x(0)(2)為起始數據，加入x(0)(n+1)構成新的等長度數據列X(i)，使用新構造的數據列來預測x(0)(n+2)。這樣每次預測能使用最新數據，可以有效減少由于預測遠期問題而產生的動態偏差。

3 實例分析

以某油田特定實驗區集輸管道腐蝕速率檢測數據為例[17],每30 d測量一次數據，在420 d內進行15次測量，其腐蝕速率實測值如表2所示。

使用Matlab軟件對預測模型進行編程計算，分別采用傳統GM(1,1)模型和改進后GM(1,1)模型以表2中的前12組腐蝕速率實測數據為樣本數據進行模擬預測，預測結果列于表3中。計算得改進后模型預測結果的后驗差比值C約為0.180 42，小誤差概率P為1，對比精度檢驗表可知，該模型的預測精度等級為好，可以使用該模型進行腐蝕預測[13]。

表2 管道腐蝕速率實測值Tab. 2 Measured values of pipeline corrosion rate

從表3可以看出，傳統GM(1,1)模型預測結果的平均相對誤差為3.601%；而改進后無偏GM(1,1)模型預測結果的平均相對誤差為3.166%，相比于改進前，精度提高了12.08%。雖然改進后無偏GM(1,1)模型的預測精度有所提高，但是仍然存在誤差較大的預測值。

表3 不同模型預測的管道腐蝕速率及誤差分析Tab. 3 Corrosion rates of pipeline predicted by models and error analysis

優化的灰色馬爾可夫預測模型是指用馬爾科夫模型對改進后無偏GM(1,1)模型的預測結果進行修正，預測管道的腐蝕速率。首先，以預測結果產生的相對誤差為劃分依據進行狀態區間劃分；然后，按照劃分的結果對相對誤差比較大的預測值進行修正，劃分結果見表4。

表4 平均誤差狀態區間劃分Tab. 4 Average error state interval division

根據殘差狀態劃分結果計算出狀態轉移概率矩陣,如式(18)所示。

(18)

通過狀態轉移概率矩，根據已經預測的數據結果對未來的狀態做出較為可靠的預測。根據每組數據所處的狀態，對誤差較大的(一般誤差>1%)預測結果進行修正[18]，以第2組數據為例，第2組數據處于狀態4，根據式(14)計算得到修正后的預測值為

(19)

最終得到誤差修正后的預測結果，如表3所示。

結果表明，引入馬爾科夫模型對誤差進行修正后，預測結果的平均相對誤差減小至0.83%，相對于無偏GM(1,1)模型和傳統GM(1,1)模型，其預測精度有較大幅度的提升，分別提高了73.8%和76.95%。

依靠樣本數據直接采用不同模型預測腐蝕不同時間后管道的腐蝕速率(表3中最后3組數據)，用相應的實測腐蝕速率(表2中最后3組數據)進行驗證,結果如表5所示。從表5中可以看到：傳統GM(1,1)模型的誤差較大，平均相對誤差達到了4.67%；而改進后的無偏GM(1,1)模型的誤差明顯減小，平均相對誤差降低至2.41%，與傳統GM(1,1)模型比，預測精度提升了48.39%；優化的灰色馬爾科夫模型，其平均相對誤差只有1.12%，相對于無偏GM(1,1)模型，精確度提高了53.5%，有著較為明顯的提高。總的來說，改進后模型比原模型預測精度更高，并且有效改善了傳統GM(1,1)模型中長期預測誤差較大的缺陷。

表5 驗證數據與各模型預測結果的比較Tab. 5 Comparison of verification data and prediction results of different models

圖2為不同模型預測的管道腐蝕速率隨時間的變化曲線。從圖2可以直觀地看到，三種預測模型中，灰色馬爾科夫模型的預測值最接近實測值。

圖2 不同模型預測的管道腐蝕速率隨時間的變化曲線Fig. 2 Curves of pipeline corrosion rate predicted by different models with time

4 結論

(1) 改進后的灰色無偏模型相比于傳統灰色模型，預測精度有較大提高，有效改善了傳統灰色預測模型在中長期預測時精度下降的問題；再引入馬爾科夫模型對灰色模型預測出的結果進行誤差修正，避免了因為原始數據波動而產生的誤差，修正后的模型能夠更加精確的預測管道腐蝕速率。

(2) 使用優化的灰色馬爾科夫模型能夠提供更加可靠的管道腐蝕速率預測數據，有利于掌控管道的腐蝕狀態，對管道維修和腐蝕安全防護以及提高經濟效益起到至關重要的作用。