“消元”為主線“轉(zhuǎn)化”是關(guān)鍵

李建華

方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界有效的數(shù)學(xué)模型，作為“方程家族”中的一員，二元一次方程（組）延伸和拓展了一元一次方程所學(xué)過的知識(shí)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，也是中考數(shù)學(xué)試題中的“常客”。在本章的學(xué)習(xí)過程中，我們不妨從中考的典型問題出發(fā)，抓住“消元”為主線，銘記“轉(zhuǎn)化”是關(guān)鍵，以不變應(yīng)萬變，從而解決問題。接下來，就開始我們的探索之旅吧！

一、二元一次方程組的解法

例1 （2020·廣西玉林）解方程組：[x-3y=-2，2x+y=3。]

【分析】觀察方程組未知數(shù)的特征，不難發(fā)現(xiàn)兩種解題思路：（1）用代入消元法，注意方程組中第1個(gè)方程中未知數(shù)x的系數(shù)為1，可用含y的代數(shù)式表示x，代入第2個(gè)方程消去x，得到一個(gè)關(guān)于未知數(shù)y的一元一次方程，從而可解;（2）用加減消元法，在第2個(gè)方程的兩邊同時(shí)乘3，與第1個(gè)方程相加，可以消去未知數(shù)y，得到一個(gè)含有未知數(shù)x的一元一次方程，從而可解。

解：（解法1）[x-3y=-2，①2x+y=3。? ? ? ②]

由①，得x=3y-2，③

把③代入②，得2（3y-2）+y=3，

解這個(gè)一元一次方程，得y=1，

把y=1代入③，得x=1，

所以原方程組的解為[x=1，y=1。]

（解法2）[x-3y=-2，①2x+y=3。? ? ? ②]

①+②×3，得7x=7，

解得x=1，

把x=1代入①，得y=1，

所以原方程組的解為[x=1，y=1。]

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的常見解法（代入消元法與加減消元法），兩種方法都可以達(dá)到“消元”的目的，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。我們?cè)诮膺@類問題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察，注意方程的特征，靈活運(yùn)用所學(xué)方法消去未知數(shù)，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。

例2 （2020·江蘇南京）已知x、y滿足方程組[x+3y=-1，2x+y=3，]則x+y的值為 。

【分析】[x+3y=-1，①2x+y=3。? ? ? ②]? ①+②×2得5x+5y=5，兩邊同除以5即可求得x+y=1。故答案為1。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解法。除了利用常規(guī)解法，我們還可以根據(jù)方程組的特點(diǎn)，利用“整體思想”來解決本題，這也恰是本題的考查目的。

二、用二元一次方程（組）解決問題

例3 （2020·湖北黃石）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩;牛二、羊五，直金十六兩。問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子;2頭牛、5只羊，值16兩銀子。問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個(gè)問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準(zhǔn)備用19兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請(qǐng)問商人有幾種購買方法？列出所有的可能。

【分析】（1）設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據(jù)“5頭牛、2只羊，值19兩銀子;2頭牛、5只羊，值16兩銀子”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論;

（2）可設(shè)購買a頭牛，b只羊，根據(jù)買牛和羊用19兩銀子（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），列出方程，再根據(jù)求二元一次方程的整數(shù)解即可求解。

解：（1）設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子。

根據(jù)題意，得[5x+2y=19，2x+5y=16，]解得[x=3，y=2。]

答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子。

（2）設(shè)購買a頭牛，b只羊。

依題意有3a+2b=19，b=[19-3a2]。

因?yàn)閍、b都是正整數(shù)，所以，商人有3種購買方法：①購買1頭牛，8只羊;②購買3頭牛，5只羊;③購買5頭牛，2只羊。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程（組）的應(yīng)用，找出問題中的相等關(guān)系，正確列出二元一次方程（組）是解題的關(guān)鍵。本題源自數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，而在我國其他數(shù)學(xué)著作中也有很多關(guān)于二元一次方程（組）的應(yīng)用問題，同學(xué)們可以查閱相關(guān)材料，了解我國古人對(duì)數(shù)學(xué)文化的貢獻(xiàn)。

三、一次方程組的綜合運(yùn)用

例4 （2020·江蘇揚(yáng)州）閱讀感悟：

有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：

已知實(shí)數(shù)x、y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值。

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大。其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19。這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”。

解決問題：

（1）已知二元一次方程組[2x+y=7，x+2y=8，]則x-y=，x+y=;

（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

（3）對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算。已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=。

【分析】（1）由[2x+y=7，①x+2y=8，②]利用①-②可得出x-y的值，利用（①+②）÷3可得出x+y的值;

（2）設(shè)鉛筆的單價(jià)為m元，橡皮的單價(jià)為n元，日記本的單價(jià)為p元，根據(jù)“買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，即可得出關(guān)于m，n，p的三元一次方程組，可得m+n+p的值，再乘5即可求出結(jié)論;

（3）根據(jù)新運(yùn)算的定義可得出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，可得出a+b+c的值，即1*1的值。

解：（1）[2x+y=7，①x+2y=8，②]

由①-②，得x-y=-1，

由（①+②）÷3，得x+y=5。

故答案為-1，5。

（2）設(shè)鉛筆的單價(jià)為m元，橡皮的單價(jià)為n元，日記本的單價(jià)為p元，

根據(jù)題意，得[20m+3n+2p=32，①39m+5n+3p=58，②]

由2×①-②，可得m+n+p=6，

∴5m+5n+5p=5×6=30。

答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元。

（3）根據(jù)題意，得[3a+5b+c=15，①4a+7b+c=28，②]

由3×①-2×②，得a+b+c=-11，

即1*1=-11。

故答案為-11。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次方程組的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用“整體思想”求解。本題的第（3）問要利用新定義列出方程組，為解決問題增加了難度，但萬變不離其宗，同學(xué)們只要緊緊抓住問題的本質(zhì)，選對(duì)解法，便能以不變應(yīng)萬變。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）