音樂與數學

“do、re、mi、fa、so、la、si……”從一間教室里飄出美妙的音樂聲，這是孩子們在上音樂課。

戴著眼鏡的音樂老師笑瞇瞇地說：“在簡譜中，我們最為熟悉的音階do～si被表示為數字1～7，休止符以0表示。在數學中，數字0～9可以組成各種各樣的算式。在音樂中，1～7也能構成千變萬化的樂章。”

老師話剛說完，哈哈樂就站起來問道：“老師，數學和音樂有什么關系呢？”

老師看著這個勤學好問的學生，溫和地說：“數學和音樂當然是有關系的。音樂中音的高低、長短、節奏等都是以數學為基礎的。提到數學與音樂的關系，我們所能想到的第一個有關音樂與數學的結合，也許就是這7個基本音階了。你們想知道這些音階是按照什么規律排列的嗎？讓我們回到2500年前，追隨大名鼎鼎的古希臘數學家畢達哥拉斯的腳步，看看他是怎么解答的吧。”

畢達哥拉斯是古希臘著名的數學家和哲學家。一天，他在散步時路過一家鐵匠鋪，鐵匠鋪里傳出叮叮當當的打鐵聲，就像是打鐵進行曲，聲音要比別的鐵匠鋪更加協調、悅耳。這吸引了他的注意。他以數學家的敏感，馬上開始思考：音樂由何而生，音符的高低到底由什么決定呢？于是，他走進鐵匠鋪仔細觀察，發現這些美妙的聲音原來是源于鐵錘和鐵砧的大小不一，故而發出的聲音也不同。他拿出一把尺子量了量鐵錘和鐵砧的尺寸，發現它們之間存在著一種十分和諧的關系。這同時也激發了他的思考：這些音樂與和諧什么有關呢？

畢達哥拉斯用不同的樂器做了許多的實驗，發現每一個音高的高低取決于音弦的長短，而這背后藏著數學原理。他由此定義音階：1、2、3、4、5、6、7。他還發現聲音與發聲體體積有著一定的比例關系。然后，他又在琴弦上做了試驗，進一步發現只要按比例劃分一根振動著的弦，就可以發出和諧的聲音，如2∶1產生八度音，3∶2產生五度音，4∶3產生四度音等等。就這樣，畢達哥拉斯在世界上第一次發現了音樂和數學的聯系。

畢達哥拉斯當年做測試時用的很可能是豎琴。豎琴是一種大型撥弦樂器，它所發出的音色空靈純凈，清澈動聽，作為和聲伴奏極具感染力，而獨奏時又能演繹柔和優美的抒情片段。

那為什么弦長符合這些比例時，我們會覺得音樂和諧悅耳呢？

我們知道，聲音是由振動產生的，但音的頻率是按照等差數列排列的，同一根弦，其有效弦長與發音頻率成反比關系。因此，當撥動一根弦時，各等分點為界的弦也在各自振動，因而會產生一系列的音，而這些音之間，某些分界點產生的音連接起來會顯得特別優美，我們可以說這些是泛音列中占優勢的音程關系。而按照畢達哥拉斯的發現，這些純音程的頻率之比都是最簡單的自然整數比。

美的東西，總是簡單而和諧。依據五度相生律產生的基礎音階構成的旋律，按照任意的方式組合，都有各自的美感，而將全部半音階推算出來后，旋律的緊張度和動力性會得到增強，更能產生旋律之間動態的美感和張力。

正如萊布尼茨的名言所說：“音樂是數學在靈魂中無意識的運算。”音樂正如有情緒的數學，而數學則像最純粹的音樂，音樂與數學看似不同，實際上卻有著密切的關聯，它們恰似人類心中開出的兩朵玫瑰。

你知道嗎？

畢達哥拉斯還曾提出十二等程律的概念，指的是將一個八度的頻率平均分成十二等分，每分相差一個半音，也就是100音分。

明朝數學家朱載堉（yù）則是世界上首位推算并制造出十二音律樂器的人。在當時常用五聲音階“宮、商、角、徵（zhǐ）、羽”的中國，他力排眾議，創造了十二音律，也就是我們現在常用的七聲音階（即由原有的五聲音階宮、商、角、徵、羽加上變徵與變宮兩音而成，相當于現行簡譜中的1、2、3、4、5、6、7）。他用竹子制造而成的36根律管，分別為倍率管12根，正律管12根與半律管各12根;其口徑、長度都經由嚴密的測算得出，是世界上最早的十二音律樂器。