聲的產生、反射、折射和極化

法 林，孫 科，房向榮，孔鏈鏈，趙 琳，徐澍宇

(1.西安郵電大學 電子工程學院，陜西 西安 710121； 2.西安郵電大學 通信與信息工程學院，陜西 西安710121)

地殼中的頁巖等沉積巖通常被認為是具有垂直對稱軸的垂直橫向各向同性(Vertical Transverse Isotropy,VTI)介質，可以使用六角晶系的彈性剛度矩陣來描述VTI介質的力學特性。這些由許多細薄層構成的沉積巖通常在各自的薄層內表現出微觀各向同性特性，而在整體上表現出較強的宏觀各向異性特性[1-2]。由于巖石中存在各向異性特征，導致傳統的聲波測井和振幅隨炮檢距變化(Amplitude Variation with Offset,AVO)反演分析在應用中存在一定程度的偏差[3-4]。另外，在傳統的聲波測井過程中，會忽略換能器中聲-電或電-聲轉換產生的能量損耗[5-6]，這也會使測量數據出現一定的偏差。為了提高聲波測井與AVO分析的數據精度，需要研究聲波在沉積巖中的傳播、在不同巖層界面上的反射/折射以及極化[7]等方面的特性。

1 固體-固體界面的異常入射角

聲波和光波在反射/折射方面有很多可以相互借鑒的地方，由于光波在反射/折射過程中會出現異常折射的現象，所以聲波也可能存在異常折射現象。

1.1 VTI-VTI的界面模型

圖1 P-波入射VTI-VTI界面示意圖

表1 A-頁巖和O-頁巖的各向異性參數和彈性常數

1.2 異常入射角的證明

異常折射是由于巖石的各向異性所引起的一種物理現象[8]。使用斯奈爾定律來驗證異常入射角存在的合理性。在給定的入射角范圍內，所有反射和折射波的計算結果都必須滿足斯奈爾定律。在入射角等于臨界入射角時，必須切換折射P-波的相速度解，其切換方式為

1.2.1 反射角與折射角

基于斯奈爾定律建立了一個4階多項式[12-13]，以方便求解P-波在VTI-VTI界面處的反射/折射角。使用其相速度的解

(1)

(2)

與其4階多項式

(3)

(4)

圖2 P-波反射角正弦平方與入射角的關系

圖3 反射P-波相速度與入射角的關系

1.2.2 坡印廷矢量

入射P-波及其模式轉換波簡化后的Christoffel方程[14]為

根據歸一化條件

得到入射P-波在前入射臨界角區域產生的均勻折射P-波和其他均勻模式轉換波在x-z平面上的極化系數表達式分別為

以及在過入射臨界角區域產生的非均勻折射P-波在x-z平面上的極化系數表達式分別為

入射波及其模式轉換波在x-z平面上的坡印亭矢量表達式為

(5)

式中：[V(m)]*表示對應波的質點位移速度的共軛形式；T(m)表示對應波的應力張量。分別將入射波及其模式轉換波的質點位移速度和應力張量代入式(5)就可以得到對應波的坡印廷矢量。

由于入射P-波坡印廷矢量的z-分量等于各個模式轉換波z-分量的實部之和，因此可以通過能量守恒定律來驗證異常入射角的存在。在A-頁巖和O-頁巖之間的界面上，坡印廷矢量的z-分量與入射角之間的關系如圖4所示。圖4(a)表示入射P-波坡印廷矢量的z-分量與入射角之間的關系。圖4(b)表示各模式轉換波的z-分量的實部之和與入射P-波的z-分量與入射角之間的關系，其中，虛線表示入射P-波z-分量的實部之和，實線表示P-波的各模式轉換波z-分量實部之和。

圖4 坡印廷矢量的z-分量與入射角關系

2 各向異性巖石的彈性平面波極化

地殼中的巖石介質大多數都會在宏觀上表現出強烈的各向異性，而聲波的極化會受到巖石中各向異性的影響，下文將對各向異性參數與異常折射角對聲波極化的影響進行討論。

2.1 P-波的極化方向與相速和能速方向的關系

在各向異性巖石中傳播的彈性平面P-波或SV-波，通常其質點位移方向不平行P-波或不垂直SV-波的傳播方向。平面波的相速度方向通常也不與其傳播方向平行。圖5描述了在x-z平面中傳播的平面P-波特性。圖5中的k為波矢量，其方向為相速度方向；P為坡印廷矢量，其方向為P-波的傳播方向；u為歸一化的質點位移矢量，也被稱為平面波的極化矢量，其方向為P-波的極化方向，它的x-分量和z-分量稱為極化系數。相角θ的定義為波矢量與z軸的夾角，能角φ的定義為坡印廷矢量與z軸的夾角，極化角ξ的定義為極化矢量與z軸的夾角。

圖5 x-z平面中傳播的平面P-波特性示意圖

對于在各向異性巖層中沿相同方向傳播的P-波和SV-波，在任意一空間位置，兩者的極化方向相互垂直[14]，因此，只要知道了平面P-波的極化方向也就知道了平面SV-波的極化方向。對坡印廷矢量和極化系數進行分析，可以得到能角、極化角與相角之間的相互關系為

其中，

Γ13=Γ31=(C13+C44)sinθcosθ/ρΓ33=(C33cos2θ+C44sin2θ)/ρ

能速與相速度的關系[10]可寫為

ve=v/cos(φ-θ)

式中，v可以表示P-波的相速度，也可以是SV-波的相速度。

極化角ξ與相角θ的差以及極化角ξ與能角φ的差可以分別可表示為

Δθ=ξ-θ

(6)

Δφ=ξ-φ

(7)

選取4種不同巖石樣品的各向異性參數和物理參數如表2所示。表2中α和β分別表示P-波和SV-波在介質的對稱軸方向上的相速度，ε和δ*分別為介質的各向異性參數，ρ為介質的密度。

表2 4種巖石樣品各向異性參數

依據表2中給出的4種巖石樣品的參數結合式(6)、式(7)能夠計算4種巖石樣品Δθ和Δφ與相角θ以及能角φ的關系，計算結果如圖6—圖9所示。圖中的實線分別表示Δθ和Δφ與θ之間的關系，虛線分別表示Δθ和Δφ與θ及φ的關系。由圖6—圖9可知，平面波在VTI介質內傳播，其極化方向會偏離相速度方向和能速方向，偏離角的大小由各向異性巖石的物理參數、各向異性參數以及P-波的傳播方向共同決定。

圖6 泰勒砂巖Δθ和Δφ與θ及φ的關系

圖7 泥質頁巖Δθ和Δφ與θ及φ的關系

圖8 粗糙砂巖Δθ和Δφ與θ及φ的關系

圖9 石灰質砂巖Δθ和Δφ與θ及φ的關系

2.2 折射P-波的橢圓極化狀態

入射P-波和在VTI-VTI界面上產生的模式轉換波的極化狀態，不但與入射/折射介質的各向異性參數和物理參數有關，還與入射角有關。可以通過觀測非均勻折射P-波的橢圓極化狀態來判斷各向異性巖石界面是否存在異常入射角[15-16]。通過研究兩個界面模型來進行分析討論。其中，模型一為不存在異常入射角的A-頁巖/T-砂巖界面模型，模型二為存在異常入射角的A-頁巖/O-頁巖界面模型。

對于非均勻折射P-波，極化系數的z-分量的相位滯后于x-分量，存在90°的相位差，旋轉方向符合左手螺旋法則，為左旋橢圓極化波；極化系數的z-分量的相位超前于x-分量，旋轉方向符合右手螺旋法則，為右旋橢圓極化波[17]。

式中，

式中，

圖10 模型一非均勻折射波的極化狀態與入射角的關系

2.3 各向異性對線性極化波極化方向的影響

針對在泥質頁巖中傳播的均勻平面P-波，分析巖石各向異性參數ε和δ*對線性極化P-波的極化方向的影響。保持δ*不變，ε取值的范圍為-0.1～0.1，計算出的線性極化P-波的極化方向偏離相速/能速方向的角度與各向異性參數ε和入射角θ之間關系如圖12所示。保持ε不變，δ*取值的變化范圍為-0.25～0.25，計算出的線性極化P-波的極化方向偏離相速/能速方向的角度(Δθ/Δφ)與各向異性參數δ*和入射角θ之間關系如圖13所示。觀察圖12和圖13可知，線性極化P-波的極化方向不僅取決于其傳播方向θ和φ，還取決于巖石的各向異性參數δ*和ε。

圖12 泥質頁巖介質中Δθ、Δφ和ε的關系

圖13 泥質頁巖介質中Δθ、Δφ和δ*的關系

2.4 各向異性對非均勻折射波極化狀態的影響

分別選擇入射介質和折射介質的各向異性參數作為變量，分析這些參數對在各向異性巖石界面上產生的非均勻折射P-波的橢圓極化狀態的影響。

圖14 模型一界面上非均勻折射波橢圓極化狀態與各向異性參數之間關系

圖15 模型二界面上非均勻折射波橢圓極化狀態與各向異性參數之間關系

圖16 模型二界面上非均勻折射波橢圓極化狀態與各向異性參數之間關系

3 壓電換能器的能量轉換網絡模型

壓電換能器之所以能夠將電信號和聲信號相互轉換，是因為壓電材料具有良好的機電轉換能力，可以實現電能-機械能/機械能-電能的有效轉換[5]。最常見的壓電換能器幾何結構有球形、圓柱形和片狀等，現已廣泛應用于石油測井、工業測量等工業領域中。

3.1 聲學傳輸網絡模型

激勵聲源壓電換能器的電壓驅動信號子波通常由多個不同頻率、初相位和幅度的正弦信號構成。電壓驅動信號子波可以離散為許多個不同頻率、初相位和幅度的正弦頻率分量。對于簡諧振動的壓電換能器，其輻射阻和輻射質量是頻率的函數。因此，基于線性疊加原理，多頻電壓驅動信號子波激勵聲源壓電換能器的過程可以等效為一個并聯的電-聲傳輸網絡，聲波測量過程中的傳輸網絡示意圖如圖17所示。其中，U(t,ω)表示t時刻角頻率為ω的一個電壓驅動信號，UN(t,ω)表示為電壓驅動信號U(t,ω)經過離散后的第N個子波信號，hN(t,ωN)第N個子波信號對應的電-聲沖激響應信號，ωN表示第N個子波信號對應的電-聲沖激響應信號的角頻率，vN(t,ωN)表示為第N個子波信號經過機電網絡后的卷積輸出，v(t)表示為聲源壓電換能器向外輻射的聲波信號子波，Uj是電驅動信號中的第j個頻率分量，ωj表示第j個頻率分量的角頻率。利用留數定理求解壓電換能器的單頻電-聲沖激響應，得到過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼震蕩3種不同的震蕩模式。

圖17 聲波測量過程中的傳輸網絡示意圖

從壓電材料的物理性質來看，欠阻尼模式對應的解才是具有實際的物理意義的解，其第j個頻率分量的電-聲沖激響應信號的表達式可寫為

hj=Ajexp[-αjt]+Bjexp[-βjt]cos(ωjt+φj)

式中，Aj、Bj、αj、βj和φj分別表示第j個頻率分量的相關的系數。

聲源壓電換能器向外輻射的聲信號子波的第j個頻率分量，即電壓驅動信號子波的第j個頻率分量和第j個等效電路的電-聲沖激響應的卷積輸出，可寫為

vj(t)=Uj(t)hj(t)

式中，Uj(t)表示第j個頻率分量的信號子波。所以，聲源壓電換能器向外輻射的聲波信號子波是所有并聯電路輸出的累加和，可寫為

3.2 薄球殼換能器

薄球殼壓電換能器的幾何結構示意圖如圖18所示。其中，薄球殼壓電換能器的薄殼厚度為lt，球殼內表面半徑為r0，外表面半徑為r1。令薄球殼壓電換能器平均半徑為rb，由于球形半徑遠大于殼體厚度，所以有近似關系r0≈rb≈r1其中rb=(r0+r1)/2，并且為徑向極化，電極分別是其內表面和外表面。

圖18 薄球殼壓電換能器的示意圖

理論仿真和實際測量的接收換能器輸出歸一化電信號波形如圖19所示。其中，圖19(a)為幅度譜波形圖，圖19(b)為頻域波形圖。實線為理論仿真結果，虛線為實際測量結果。理論計算認為聲源和接收換能器被放置在無限大的水池中；實際測量中聲源換能器和接收換能器被放置在較大且消聲的水池中。理論仿真與實際測量結果均消除了池壁反射波的影響。從整體上看，網絡模型的計算結果與實驗觀測結果吻合較好。將實際測量信號與聲學傳輸網絡模型仿真所得結果進行對比，可以看出實際測量信號的幅度譜向低頻有輕微的偏移，誤差約為0.77%。這是由于現實中水具有一定的粘度，這可能會導致聲信號在傳播過程中衰減。

圖19 接收換能器輸出的歸一化電信號波形圖

4 結論

通過對具有各向異性的兩個不同沉積巖層所組成的界面進行分析，建立了一個4階多項式來計算反射角和折射角，并通過計算界面模型入射波及其模式轉換波的坡印廷矢量z-分量滿足能量守恒定律，得到異常入射角是存在的這一結論。在此之后研究了各項異性參數對極化方向與極化軌跡的影響，并分別對存在異常入射角和不存在異常入射角的兩個模型界面建立橢圓極化方程，分析異常入射角對極化狀態的影響。最后研究了換能器的傳輸過程，建立了能量轉換并行傳輸網絡模型。通過研究，得到以下結論。

1)異常入射角存在是合理的，且在異常入射角處折射P-波相速度的兩個解必須切換，否則計算出的結果不能滿足能量守恒定律。

2)平面波在VTI介質中傳播，其極化方向會偏離相速度方向和能速方向，偏離角的大小由各向異性巖石的物理參數、介質的各向異性參數以及P-波的傳播方向共同決定。

4)橢圓極化軌跡方程的大小，形狀和初始相角不僅僅與入射角有關，而且還與入射介質和折射介質的各向異性參數有關。

5)壓電換能器的并聯傳輸網絡模型能夠較好地描述聲源換能器在電壓驅動信號的激勵下向外輻射的聲波信號子波，很好地詮釋了壓電換能器聲-電轉換過程中換能器特性和電壓驅動信號子波特性對輻射的聲波信號子波的影響。