一種基于混沌系統的分段式圖像加密算法＊

喬建平 ， 關來德

（柳州職業技術學院，廣西 柳州 545006）

混沌系統具有初值敏感性、遍歷性、參數可控性以及偽隨機性等特征，因而，基于混沌的圖像加密算法成為研究熱點。筆者設計了一種新的分段加密方案，運用二維正弦邏輯調制映射（two-dimensional Sine Logistic Modulation Map,2D-SLMM）產生的密鑰，對像素移位置亂，再對置亂圖像進行分段灰度值替代操作，仿真分析驗證表明，該加密方案在各加密參數方面達到要求。

1 混沌系統

2D-SLMM系統其數學表達式[1]為：

圖1 2D-SLMM系統的分岔圖

其中α和β為系統控制參數，α∈[0,1]和β∈[0,3]，當α=1、β=3時，軌跡分布如圖1所示，可看出系統具有極為復雜的混沌離散特性。

2 算法設計

2.1 移位置亂過程

假設原始圖像為P，長寬為L=M×N，利用公式（1）和（2）得到指數系數a。

依據表1中a取值，通過公式(3)生成矩陣序列K，有M行、N列，其中x(i)和y(i)為2D-SLMM的迭代狀態值，舍棄前500次迭代值，以防暫態效應，S為P所有像素值之和，floor(x)表示取不大于x的最大整數。

表1 指數a取值

假設矩陣K中的每一行序列為R1，R2，R3，R4，R5,…,RN-1，RN；重新排列得到新的序列；例如，對第一行序列R1={r1，r2，r3，…，rN-1，rN}按升序由小到大排序，得到新的有序序列，同時生成用于記錄序列中各個元素在原序列R1中位置的新序列S1={s1，s2，s3，…，sn-1，sn}。同理，以同樣的方式重新排列序列R2，R3，R4，R5，…，RN-1，RN；得到S2，S3，S4，S5，…，SN-1，SN；由新序列組成排列矩陣S，分別用序列S1，S2，S3，S4，S5，…，SN-1；SN置亂原始圖像P的每一行的像素值。

同理，對矩陣K的列排序得到排列矩陣T，使用類似行置亂方式對矩陣P進行列置亂，得到置亂圖像C，置亂示意圖如圖2所示。

圖2 置亂過程示意圖

2.2 灰度值加密過程

為提高加密算法的安全性，須對置亂圖像進行灰度值替代加密，對置亂像素進行分段式灰度值替代操作，算法如下：

經過上述步驟分段式加密得到加密圖像，解密是加密的逆過程。

3 實驗結果與分析

實驗模擬仿真階段選取大小為256×256(M×N)的Baboon標準圖像進行測試，2D-SLMM系統參數α=1 和β=3，以及設定初始值。圖3(a)為原始圖像，加密和解密圖像分別如圖3(b)、圖3(c)，加密圖像無原始圖像的任何有效信息，解密圖像與原始圖像相同，說明本文算法有充分的可行性。

圖3 加密流程圖

3.1 直方圖特性分析

直方圖方可直接反映其質量特征的分布情形，圖4為原文標準圖Lean的直方圖和加密圖像直方圖，前后兩者的直方圖有很大的區別，后者各個灰度級直方圖分布均等，可以抵擋結合灰度級數值統計的攻擊。

圖4 原始圖像和加密圖像直方圖

3.2 信息熵分析

信息熵變大，從密文圖像中竊取統計數值信息的難度越大。信息熵[2]數學表達式為：

其中mi為像素值，p(mi)是mi出現的概率，N是像素值得總值，對于具有256個灰度級的圖像，其信息熵的理想值是H(mi)=8。選取若干256×256 標準圖，用公式（4）計算信息熵值，如表2所示，各標準圖加密熵值都趨近8，說明本算法可抵抗熵攻擊。

表2 不同圖像的信息熵

3.3 抗差分攻擊能力分析

像素數目變化率(NPCR)以及歸一化平均變化強度(UACI)計算公式[3]為：

其中C1是原圖密文，C2是變化后的密文，兩者的原始圖像素點僅僅差別一個值；C1(i, j)和C2(i, j)分別代表兩個密文在(i, j)點的灰度值，C1(i, j)=C2(i, j)時，D(i, j)=0，C1(i, j)≠C2(i, j)時，D(i, j)=1，對若干標準圖像統計得到50組的NPCR和UACI，其平均值在列表3中，加密圖像素數目變化率以及歸一化平均變化強度均值均趨近其相最佳理論值，反映加密方案抗擊差分攻擊性的能力好。

表3 加密圖像NPCR和UACI的平均值

3.4 相鄰像素相關性分析

分別在對角線、垂直線和水平線三個方向隨機選取5000個相鄰像素對進行抽樣檢測。加密前鄰近像素點在靠近y = x函數區域集中，如圖5所示，加密圖像鄰近像素點在整個坐標區域內分布均勻，該方案有能力解決像素鄰近點處相關性強的問題。

圖5 原文和密文圖像相鄰像素間的相關性圖

3.5 加密時間分析

仿真試驗階段，在MATLAB R2018a平臺上來運行圖像加密程序，計算機采用 Microsoft Windows 10操作系統，實驗硬件環境設備為2.4 GHz Intel(R) Core(TM) i3 CPU，2.0 RAM和300 G 硬盤的手提式電腦。表4羅列出了本章加密方案和其他加密方案對256×256的標準圖的加密效率的數據對比，充分顯示了該方案在加密速度上有明顯優勢。

表4 本章算法與其他算法加密效率比較

4 結論

通過對2D-SLMM定義和混沌特性進行簡要分析，提出一種基于混沌系統的分段式圖像加密算法，實現了數字圖像像素位置快速移位置亂，并進行分段式灰度值擴散操作，最后完成了圖像加密。實驗分析表明，該方案加密效率高，安全性高。