拉普拉斯變換在控制系統(tǒng)微分方程中的應用

周蓉，陳峰，嚴晨雪，王越群

（江蘇商貿(mào)職業(yè)學院，江蘇南通，226011）

0 引言

在沒有人直接參與的情況下，自動控制（automatic control）是利用外加的設備或裝置，能夠使機器、參數(shù)、生產(chǎn)過程的某個工作狀態(tài)或設備按照預定的規(guī)律自動的運行[1]。自動控制是一種技術(shù)措施，能自動調(diào)節(jié)、加工、檢測的機器設備以及儀表，并給他們規(guī)定的程序或特定的指令，以便于讓它們自動的作業(yè)。自動控制能夠有效的增加產(chǎn)量、降低成本、提高質(zhì)量，并且能夠保障生產(chǎn)安全，確保工人的勞作強度等[2]。自動控制技術(shù)的研究有利于提高人們的工作效率，因此在一些復雜的環(huán)境中，人們工作的時間相對于以前降低了很多。自動控制技術(shù)利用了反饋定理，該定理利用輸出信號反饋到輸入信號，從而使輸出值接近于我們想要的值[3-4]。自動控制系統(tǒng)中涉及到的基本的計算有拉普拉斯變換、傅里葉變換等。

1 拉普拉斯變換的概念

拉普拉斯變換簡稱拉氏變換，它廣泛應用在許多科學技術(shù)和工程領(lǐng)域。研究過程中，我們需要從實際出發(fā)，首先以研究對象為基礎，將其規(guī)劃為一個時域數(shù)學模型，然后再借助于拉普拉斯變換數(shù)學工具轉(zhuǎn)變?yōu)閺陀驍?shù)學模型，最后如果想要結(jié)果表現(xiàn)的更直觀，可以使用圖形來表示，而圖形的表示方法是以傳遞函數(shù)（復域數(shù)學模型）為基礎，所以拉氏變換是古典控制理論中的數(shù)學基礎[5-6]。利用拉氏變換變換求解數(shù)學模型時，我們就當作求解一個線性方程，換而言之拉氏變換不僅可用來將簡單的時域信號轉(zhuǎn)換為復數(shù)域信號，還可以用來求解控制系統(tǒng)微分方程[7]。拉氏變換是將時域信號變?yōu)閺蛿?shù)域信號，反之，拉氏反變換是將復數(shù)域信號變?yōu)闀r域信號，下面對其概念作具體介紹。

■1.1 拉氏正變換

■1.2 拉氏反變換

拉氏反變換是拉氏正變換的逆運算，其公式為 L?1[F( s )]= f( t )。

■1.3 拉氏變換的運算定理

在使用拉氏變換過程中，為了方便計算，常用到一些基本的運算定理，這些定理都可以通過拉氏變換定義式證明得到。

條件：sF(s)的全部極點除坐標原點外應全部分部在s平面的左半平面[8]。

2 應用拉氏變換求解微分方程

■2.1 求解微分方程步驟

拉氏變換求解控制系統(tǒng)微分方程的步驟如下：

（1）將微分方程轉(zhuǎn)化為以s為變量的線性代數(shù)方程，該步驟利用拉氏變換。

（2）解代數(shù)方程得到輸出量的象函數(shù)。

（3）利用拉氏反變換求出原函數(shù)即得到微分方程解[9]。

■2.2 實例1 拉氏變換求解電路微分方程

如圖1所示RLC電路，試列寫以ur(t)為輸入量，已知輸入為沖激函數(shù)，其中uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡微分方程，利用拉氏變換求解uc(t)。

圖1 RLC串聯(lián)電路

■2.3 實例2 拉氏變換求解機械位移系統(tǒng)微分方程

如圖2所示為機械位移系統(tǒng)，圖中所示k為彈簧系數(shù)，f為阻尼系數(shù)，F(xiàn)為外力作用，假設為階躍函數(shù)，m是物體質(zhì)量。列寫質(zhì)量m在外力F作用下位移y(t)的運動方程，并求出y(t)。

圖2 機械位移系統(tǒng)

3 Matlab驗證計算結(jié)果

■3.1 MATLAB的基本知識

自動控制原理的根軌跡分析、頻域分析、時域分析、控制系統(tǒng)的設計等問題，要求數(shù)學基礎扎實，對于抽象的一些問題，我們必須具備極強的想象力，比如在畫Bode圖、描述函數(shù)以及分析狀態(tài)空間等一些問題時，要有能承受得住復雜、繁瑣的計算與繪圖的工具。使用MALAB編程運算可以說是模仿人在進行科學計算的思路和表達方式，所以說MALAB的語法更貼近人的思維方式，用MATLAB編寫程序，運算求解問題，十分方便，就相當于在演算紙上排列書寫公式。還有，MATLAB語言語句簡單，極其容易學習與使用，并且MATLAB界面友好，使得從事自動控制的科技工作者樂于接觸它，總而言之，MATLAB特別適合進行自動控制原理的實現(xiàn)。

■3.2 實例1 MATLAB驗證拉氏變換求解電路微分方程

圖3 實例1仿真結(jié)果

由此可見計算出的結(jié)果與仿真的結(jié)果一致。

■3.3 實例2 MATLAB驗證拉氏變換求解機械位移系統(tǒng)微分方程

根據(jù)實例1中用拉氏變換求解電路微分方程，并且代入數(shù)據(jù)后得到，接下來用MATLAB驗證，最后仿真后得到的方程的結(jié)果如圖4所示。

圖4 實例1仿真結(jié)果

由此可見計算出的結(jié)果與仿真的結(jié)果一致，如果遇到比較復雜的式子時，利用MATLAB能更快更準確的仿真出結(jié)果。

■3.4 實例分析啟示

根據(jù)以上的例題分析可以得到拉氏變換求解控制系統(tǒng)微分方程的基本步驟和方法為：分析控制系統(tǒng)，找出被控量→列出控制系統(tǒng)的時域微分方程→將微分方程拉氏正變換為復域方程→求解復域方程，得出被控量的復域函數(shù)→將復域函數(shù)拉氏逆變換得到微分方程的解。

4 結(jié)論

綜上可知，學生學習時，如果遇到拉氏變換，教師需要用合適的方法來使學生對其加深印象。除了需要幫助學生分析系統(tǒng)的組成外，還需要幫助學生復習拉氏變換的基本定理及性質(zhì)，這對他們以后學習的內(nèi)容有相應的幫助，能讓他們深刻理解其適用的對象及范圍。并且，教師要重視典型例題的講解、分析和總結(jié)，使學生在教學中掌握基本的定理，能夠讓他們靈活地運用這些定理。一旦學生有了獨立分析問題的能力，這將對于增強他們發(fā)散性思維有一定的幫助。