南北向真空管太陽能集熱器日采光量的簡化計算方法研究

吳茂剛，張有剛，唐潤生

（云南師范大學 太陽能研究所，云南 昆明650500）

0 引言

全玻璃真空管太陽能集熱器因其保溫性能好，且易于規(guī)模化生產、運輸和安裝，在我國得到了廣泛應用，其使用量約占市場份額的95%[1]～[4]。在實際應用中，真空管太陽能集熱器排列方式分為水平排列和垂直排列，前者主要用于集中供熱的太陽能熱水系統(tǒng)，后者主要用于家用太陽能熱水器。家用真空管太陽能熱水器通常采用南北方向傾斜排列，其熱性能通常依據(jù)集熱器平面接收到的太陽輻照量進行評定。現(xiàn)有檢測方法得到的結果不能真實反映真空管太陽能集熱器的熱性能，這是由于以下幾點：①真空管太陽能集熱器的實際采光量不同于真空管太陽能集熱器平面接收到的太陽輻照量；②真空管太陽能集熱器的實際采光量無法通過測量直接得到；③真空管太陽能集熱器的實際采光量與真空管取向、真空管間距和安裝傾角有關[5]，[6]。

2004年，Shah提出了垂直排列的真空管太陽能集熱器采光量理論計算方法[7]。2009年，Tang依據(jù)太陽幾何學及輻射傳輸理論，建立了更加詳細的真空管太陽能集熱器采光量計算方法，并以此為基礎分析了真空管太陽能集熱器年采光量最大時的最佳安裝傾角[5]。由于真空管的采光量取決于太陽光線在真空管橫截面上的投影角和攔截面上的入射角，并且這兩個變量均隨著時間不斷發(fā)生變化，因此，無論采用哪種理論計算方法，真空管太陽能集熱器日采光量的計算都必須借助數(shù)值計算技術。真空管散射日采光量的計算往往采用二維天空輻射模型，即假設天空輻射在真空管橫截面上的方向強度為各向同性。但Li的最新研究結果顯示，傾斜安裝的真空管橫截面上的天空輻射強度并非各向同性[8]，這意味著采用二維天空輻射模型計算傾斜排列的真空管太陽能集熱器散射輻射采光量存在一定的計算誤差。

長期以來，測量和評定真空管太陽能集熱器的熱性能均依據(jù)集熱器平面接收到的太陽輻照量，這是由于真空管太陽能集熱器的實際采光量無法通過直接測量得到，而理論計算的方法又十分復雜[9]，[10]。理論上，真空管間距越大，真空管相互遮擋的面積越少，集熱器的熱性能越好，但依據(jù)現(xiàn)有的檢測方法可知，真空管間距越大，集熱器單位面積接收到的太陽輻照量越小，其熱性能越差[11]。此外，在太陽能熱利用工程設計過程中，須要準確計算真空管太陽能集熱器的實際采光量。本文在前期研究的基礎上，建立了南北向真空管太陽能集熱器（Northsouth oriented Evacuated Tube Collector，NSETC）日采光量的簡化計算方法，為家用真空管太陽能熱水器的性能檢測、評定提供了方法和理論基礎。

1 南北向真空管太陽能集熱器采光量的計算方法

1.1 NSETC日直射輻照量的通用計算方法

假設NSETC與水平面的夾角為β，南偏西放置，方位角為φ，無漫反射板。為了便于分析，本文建立了確定太陽位置的坐標系，如圖1所示。圖中X軸垂直于真空管太陽能集熱器平面；Z軸平行于真空管，并指向北方；Y軸平行于地面，并指向東方（朝向為東偏南，方位角為φ）。坐標系X0Y0Z0為地平坐標系，X0軸指向天空，Z0軸指向正北，Y0軸指向東方。

圖1 確定太陽位置的坐標系Fig.1 The coordinate system used to determine the position of the sun

太陽光線在真空管橫截面的投影如圖2所示。

圖2 太陽光線在真空管橫截面的投影Fig.2 The projection of light rays on the cross section of a solar tube

圖中θp為太陽光線在真空管橫截面上的投影與真空管平面法線之間的夾角（以下簡稱為投影入射角）。

各真空管在任意時刻所接收的太陽直射輻照度Ib，t的計算式為

式中：D1為真空管內管的直徑；Ib為法向太陽直射輻照度；θt為太陽光線在真空管攔截面上的入射角；f（θp）為真空管對太陽輻射的攔截系數(shù)。

f（θp）的計算式為[6]

式中：D2為真空管外管的直徑；B為相鄰真空管的中心距；Ω0，Ω1分別為相鄰真空管出現(xiàn)遮擋時和完全遮擋時，太陽光線在真空管橫截面上的投影與真空管平面法線之間的夾角。

真空管攔截面的法線與入射光在真空管橫截面上的投影重合（圖2），因此，光線在真空管攔截平面上的入射角θt的計算式為

式中：ns為入射光線向量，ns=（nx，ny，nz）；ns，XOY為入射光在真空管橫截面上的投影向量。

其中，ns，XOY的計算式為

θp的計算式為

其中，nx，ny的計算式分別為[5]

式中：nx0，ny0，nz0為入射光線向量ns在地面坐標系的坐標分量。

nx0，ny0，nz0的計算式分別為[12]

式中：λ為當?shù)氐乩砭暥龋沪貫樘枙r角；δ為太陽的赤緯角。

δ的計算式為

式中：n為1月1日與測試日之間的天數(shù)。

假設真空管太陽能集熱器由N支真空管組成。真空管能夠被太陽光線照射到的長度為L。在不考慮真空管太陽能集熱器邊緣效應的情況下，真空管太陽能集熱器單位面積的日直接輻射采光量Hb，t的計算式為

式中：tsr，tss分別為太陽在真空管太陽能集熱器平面上的日出和日沒時間。

真空管太陽能集熱器單位平面上的日直射輻照量Hb，s的計算式為

在實際應用中，通常只能采集到水平面上的太陽輻照量，此時Hb，t的計算式為

式中：Hh為水平面上的日總輻照量；Hb，s為集熱器平面接收到的日直射輻照量；Hd為水平面上的月平均日散射輻照量；Hb，t為真空管太陽能集熱器單位面積接收到的日直接輻射采光量；Rb，t-s為Hb，t與Hb，s的比值；Rb，s-h為Hb，s與水平面上的日直射輻照量的比值；Rb為單位集熱器面積上接收到的日直射輻照量與水平面上接收到的日直射輻照量的比值。

Rb，t-s，Rb，s-h的計算式分別為

式中：t0為地面上的日落時間。

t0的計算式為

式中：ω0為日落時角。

ω0的計算式為

Rb的計算式為

一天的時間長度τday=24 h。如果已知一天內法向太陽直射輻照度隨時間的變化規(guī)律，則可以通過數(shù)值計算直接求出Rb，t-s。Tang通過研究發(fā)現(xiàn)，當真空管太陽能集熱器安裝傾角偏離緯度不大于10°（即|β-λ|≤10°）、方位偏離正南方不大于20°（|φ|≤20°）時，Rb，t-s隨傾角β和方位角φ的變化非常小[10]。換言之，在這種情況下，Rb，t-s可按照β=λ，φ=0進行計算。因此，本文基于β=λ，φ=0計算Rb，t-s，根據(jù)簡化計算方法，基于實際的傾角和方位角計算Rb，s-h。Ib為時間的函數(shù)，當β=λ，φ=0時，可以直接推導出Rb，t-s和Rb，s-h的計算式，從而避免采用數(shù)值計算方法。

1.2 NSETC日直射輻照量的簡化計算方法

當傾角β=λ，方位角φ=0時，cosθt=cosδ，θp=|ω|，此時式（14）可簡化為

式中：C1，C2均為系數(shù)；ωc為太陽在真空管太陽能集熱器平面上的日沒時角。

其中，ωc的表達式為

如果已知Ib為關于時間t或者太陽時角ω的函數(shù)，可以直接根據(jù)式（19）推導出Rb，t-s的計算式。在進行與太陽輻射相關的計算過程中，學者們廣泛采用當?shù)貧庀蟛块T提供的多年水平面月總日輻照量或月平均日輻照量（Hh）數(shù)據(jù)。已知Hh，可利用Collares-Pereira提出的經驗公式求得Hd，具體的計算式為[12]

式中：kt為月平均大氣透明指數(shù)。

kt的計算式為

式中：H0為大氣層外水平面上的月平均日輻照量。

H0可以基于各月代表日的δ得到，δ的表達式為

式中：I0為太陽常數(shù)，I0=1 373W/m2。

水平面上任意時刻太陽輻照度的相關計算式分別為

式中：a，b為計算系數(shù)；Id為水平面散射輻照度；Ih為水平面總輻射輻照度；rd為水平面散射輻照度Id與水平面日總散射Hd的關系式。

a，b的計算式分別為

將式（24）代入式（19）整理得到下面計算

式中：a＇為計算系數(shù)；Ωx為臨界角。

Ωx的計算式為

a＇的計算式為

如果Ωx≤Ω0，則C1的計算式為

同樣，將式（24）代入方程（15）得到如下關系式。

式中：ωsr，ωss分別為太陽在真空管太陽能集熱器平面上的日出、日沒時角；A2，B2，C3，D3均為計算系數(shù)。

ωsr，ωss可由nx=0，結合水平面日出、日沒時間來確定。

當方位角φ=0時，ωsr，ωss和ωs的計算式分別為

當方位角φ＞0時（南偏西），ωsr，ωss的計算式分別為

式中：ω1，ω2為非正南放置的集熱器表面的“視日落”和“視日出”時角。

當方位角φ＜0時（南偏東），ωsr，ωss的計算式分別為

ω1，ω2的計算式分別為

E1，E2的計算式分別為

1.3 NSETC所接收的散射輻照量計算

1.3.1 二維天空輻射模型

假設散射輻射在傾斜安裝的真空管橫截面上的方向輻射強度為各向同性，此時與橫截面之間角度為dθp的天空輻射與攔截面之間的夾角θt為0°。在此條件下，單支真空管在任意時刻接收到的散射輻照度為

式中：ip為真空管橫截面上天空輻射的方向輻射強度；Rd，2D為基于二維天空輻射模型的NSTEC對天空輻射的采光系數(shù)。

本文中來自各方向的天空輻射的累計值為真空管平面上所接收到的散射輻照度，其計算式為

由此得到ip的計算式為

將式（2）代入式（38）得到Rd，2D的計算式為

單位集熱器面積所接收到的日散射輻照量Hd，t的計算式為

圖3為計算天空輻射所用的球坐標。

圖3 計算天空輻射所用的球坐標Fig.3 Spherical coordinates used to calculate sky radiation

1.3.2 三維天空輻射模型

Li通過研究發(fā)現(xiàn)，對于各向同性的天空輻射，傾斜安裝的真空管橫截面上的方向輻射強度ip不是常數(shù)，與θp有關[8]。因此，真空管所接收到的天空輻射應根據(jù)三維天空輻射模型對真空管太陽能集熱器平面上方的天空進行積分計算，具體的計算式為

式中：i為天空輻射的方向強度；θin，h為來自微元的輻射光線與水平面之間的夾角；g（θin，h）為控制函數(shù)；Rd，3D為基于三維天空輻射模型的NSTEC對天空輻射的采光系數(shù)。

令地面所接收到的天空輻射的累計值為Id，其計算式為

由式（44）得到i=Id/π。在圖3所示的坐標中，來自天空任意微元（d=sinθdθdφ）的天空輻射的單位向量ns、投影入射角θp和攔截面上的入射角θt的計算式分別為

在圖3所示的坐標系中，水平面的法線的單位向量為nh=（cosβ，0，sinβ），因此，可得：

當cosθin，h＞0時，g（θin，h）=1，否則為0。這是由于太陽光線所來自的天空微元位于地面之下，不屬于真空管太陽能集熱器“所看到”的天空范圍。利用上述關系式對真空管太陽能集熱器上方的半球空間（0≤θ≤0.5 π，0≤φ≤2π）進行積分，可得到Rd，3D的計算式為

2 估算值與直接數(shù)值計算結果的對比

2.1 基于二維和三維模型計算的采光系數(shù)對比

圖4為基于二維和三維天空輻射模型NSTEC得到的天空輻射采光系數(shù)Rd，2D與Rd，3D，以及Rd，2D與Rd，3D的比值隨集熱器安裝傾角β的變化情況。

圖4 R d，2D與R d，3D及其比值隨集熱器傾角的變化Fig.4 Variationsof R d，2D，R d，3D and R d，2D/R d，3D with collector's tilt-angle

由圖4可知，Rd，2D/Rd，3D的值與集熱器安裝傾角β和真空管間距B有關。B越大，Rd，2D與Rd，3D的比值越大，即Rd，2D與Rd，3D之間的偏差越大；當B=80mm時，二者的最大偏差為0.65%，此時，β為59°；而當β=0°，90°時，Rd，2D與Rd，3D相等，這一結果與Li的研究結果相一致[8]。綜上可知，對于傾斜安裝的真空管，其橫截面上接收到的天空輻射強度不是各向同性的，因此，真空管接收的天空輻射須要按照三維天空輻射模型進行計算，但依據(jù)二維和三維天空輻射模型計算得到的采光系數(shù)差異不大，在實際應用中可以用二維輻射模型來簡化真空管天空輻射采光量的計算過程。

由圖4還可看出，當真空管太陽能集熱器的安裝傾角小于38°時，采光系數(shù)Rd＞1，表明真空管所接收的天空輻射大于水平面所接收的天空輻射，因此，適當降低真空管太陽能集熱器的安裝傾角有利于天空輻射的接收，特別是在太陽能資源較差的地區(qū)。

2.2 日直射輻照量的估算值和數(shù)值計算結果對比

為了評價本文所建立的簡化計算方法的可靠性，本文以2020年4月16日（n=106，δ=9.44 °）昆明地區(qū)的太陽輻照度實測數(shù)據(jù)（Hh=23.46 MJ/m2，Hd=8.57 MJ/m2）為基礎，對采用簡化方法[式（19）～（30）]所得到的Rb，t-s，Rb與采用直接數(shù)值計算方法[式（14），（15）]得到的結果進行對比分析。在日直接輻射采光量的數(shù)值計算過程中，所采用的時間歩長為1min，各時刻的太陽輻照度可根據(jù)每5min的實測值結合線性內插法來確定。

圖5為根據(jù)經驗公式得到的太陽輻照度計算值以及太陽輻照度實測值隨時間的變化情況。

圖5 太陽輻照度計算值與太陽輻照度實測值隨時間的變化Fig.5 The calculated and measured solar irradiance varieswith time

由圖5可知，水平面總太陽輻照度的實測值Ih與根據(jù)經驗公式計算得到的計算值基本一致，標準平方偏差NMBE為-1.8%，但法向太陽直接輻照度Ib的實測值與根據(jù)經驗公式計算得到的計算值相差較大，并且在早晨二者的差距最大。

依據(jù)太陽輻照度實測值，分別采用簡化計算方法（估算）和數(shù)值計算方法得到Rb，t-s。圖6為對于昆明地區(qū)管間距B為80mm且面向正南方向安裝的真空管太陽能集熱器，其Rb，t-s的估算值Rb1，t-s和計算值Rb2，t-s以及二者的比值隨β-λ的變化情況。

圖6 R b，t-s的估算值和計算值隨β-λ的變化情況Fig.6 Comparisons of R b，t-s between estimated and direct numerically calculated

由圖6可知，當（β-λ）＞15°時，Rb1，t-s高于Rb2，t-s，但兩者的差值很小。當集熱器安裝傾角偏離緯度值不大于10°時（|β-λ|≤10°），Rb1，t-s與Rb2，t-s之間的相對偏差小于0.4%。

圖7為對于昆明地區(qū)管間距B為80mm，且非正南方向安裝的真空管太陽能集熱器，不同安裝傾角條件下，Rb1，t-s/Rb2，t-s隨φ的變化情況。

圖7 R b，t-s的估算值和計算值隨方位角的變化情況Fig.7 Comparisons of R b，t-s between estimated and direct numerically calculated

當集熱器方位角偏離正南不大于20°（φ≤20°）時，Rb1，t-s與Rb2，t-s之間的相對偏差小于2%。

圖8為Rb，t-s的估算值和計算值隨集熱管間距的變化情況。

圖8 R b，t-s的估算值和計算值隨集熱管間距的變化情況Fig.8 Comparison of R b，t-s between estimated and direct numerically calculated for different tube spacing

由圖8可知，當集熱管間距B為70～80mm時，Rb1，t-s和Rb2，t-s之間的相對偏差小于0.2%。由圖8還可看出，隨著集熱管間距逐漸增大，Rb1，t-s，Rb2，t-s均呈現(xiàn)出線性下降的變化趨勢，表明隨著集熱管間距逐漸增加，集熱器單位面積所接收到的太陽直接輻射采光量逐漸下降。若依據(jù)現(xiàn)行的熱水器性能評定方法，集熱器的性能會隨著集熱管間距的增加而下降；但實際情況恰恰相反，隨著集熱管間距逐漸增加，集熱管之間相互遮擋情況逐漸減少，集熱器的采光量會相應增加，導致其集熱性能隨之提升[5]。這表明即使集熱管的集熱性能完全相同，不同管間距條件下真空管太陽能集熱器的集熱性能不具備可比性。

圖9為面向正南方向安裝的真空管太陽能集熱器，當加熱管間距B為80mm時，Rb的估計值Rb，est和計算值Rb，cal以及二者的比值隨β-λ的變化情況。

圖9 R b的估計值和計算值隨β-λ的變化情況Fig.9 Comparison of R b estimated and numerically calcuated

由圖9可知，對于面向正南方向安裝的真空管太陽能集熱器，當集熱器安裝傾角偏離地理緯度不大于10°時，Rb，est與Rb，cal之間的相對偏差小于0.5%。

圖10為對于非正南方向安裝的真空管太陽能集熱器，當集熱管間距B為80mm時，不同安裝傾角條件下，Rb，est/Rb，cal隨φ的變化情況。

圖10 R b的估計值和計算值隨方位角的變化情況Fig.10 Comparison of R b estimated and numerically calcuated

由圖10可知，對于非正南方向安裝的真空管太陽能集熱器，當集熱器方位角偏離正南方向小于20°時，兩者的相對偏差小于2.2%。上述分析結果表明，在實際應用中可依據(jù)水平面所測得的日直射輻照量（Hh-Hd）或真空管太陽能集熱器平面上的日直射輻照量（Hb，s），以及本文所提出的簡化計算方法得到的Rb或Rb，t-s來估算真空管太陽能集熱器的日直接輻射采光量。估算值與計算值出現(xiàn)差異的原因有兩個：一是實際的輻照度隨時間的變化規(guī)律與Collares-Pereira提出的經驗公式存在差異（如圖5所示）；二是本文所提出的簡化計算方法是適用于朝向為正南方向、安裝傾角為地理緯度的真空管太陽能集熱器，而精確的數(shù)值計算依據(jù)實際的安裝傾角和方位角。

2.3 年采光量的估算值與數(shù)值計算結果對比

為了驗證利用本文提出的簡化計算方法計算真空管太陽能集熱器年采光量的可靠性，本文基于我國10個典型城市多年水平面月總太陽輻照量，利用兩種計算方法分別計算了每天的直接輻射采光量和天空輻射采光量，最終得到真空管太陽能集熱器的年直接輻照量Sb和總輻照量Sa，并對估算結果和數(shù)值計算結果進行對比。

圖11為對于正南方向安裝的真空管太陽能集熱器，當加熱管間距B為80mm時，不同地區(qū)Rb，est/Rb，cal隨β-λ的變化情況。

圖11 不同地區(qū)R b，est/R b，cal隨β-λ的變化情況Fig.11 Comparison of annual collectible radiation between estimated and numerically calculated

由圖11可知，對于朝向為正南方向的真空管太陽能集熱器，當安裝傾角偏離地理緯度小于10°時，年直射輻照量的估計值與計算值之間的相對偏差小于0.2%。

圖12為對于北京地區(qū)非正南方向安裝的真空管太陽能集熱器，在不同β條件下，Rb，est/Rb，cal隨φ的變化情況。

圖12 R b，est/R b，cal隨方位角φ的變化情況Fig.12 Comparison of annual collectible radiation between estimated and numerically calculated

由圖12可知，對于非正南方向安裝的真空管太陽能集熱器，隨著集熱器安裝傾角β和方位角|φ|逐漸增加（由于Collares-Pereira提出的經驗關系所計算出來的年采光量關于φ=0°面對稱，因此，圖12只給出了φ＞0°時的計算結果），Rb，est與Rb，cal之間的偏差逐漸增加，當|φ|＜20°且β＜λ+10°時，Rb，est與Rb，cal之間的相對偏差小于1%。

表1為當β=λ+10°，φ=20°時，利用簡化計算方法和數(shù)值計算方法得到的我國10個主要城市年直射輻照量和總輻照量。表中：Sa，est為根據(jù)簡化計算方法和二維天空輻射模型參數(shù)Rd，2D計算得到的年總輻照量（MJ/m2）；Sa，cal為根據(jù)數(shù)值計算方法和三維散射輻射模型參數(shù)Rd，3D計算得到的年總輻照量。

表1 當β=λ+10°，φ=20°時，我國10個主要城市年直射輻照量和總輻照量的估算值和計算值Table 1 Comparison of estimated and numerically calculated annual beam and global irradiation for 10 cities

城市 緯度 Sb，estSb，calSb，est/Sb，calcSa，estSa，calSa，est/Sa，calc

由表1可知，除了拉薩、昆明外，隨著緯度逐漸增加，Sa，est與Sa，cal，Sb，est與Sb，cal的相對偏差均逐漸增加，但均小于1%。

3 結論

本文在集熱器安裝傾角β偏離地理緯度λ不大于10°、方位角φ偏離正南方向20°的條件下，分析了Rb，t-s隨β和φ的變化情況，并基于Collares-Pereira提出的太陽輻射計算經驗公式，提出了計算南北向安裝的真空管太陽能集熱器日采光量的簡化計算方法。

①在|β-λ|≤10°，|φ|≤20°的情況下，Rb，t-s的估算值與數(shù)值計算結果之間的相對偏差小于2%。

②Rb的估算值與數(shù)值計算結果之間的相對偏差小于2.2%，因此，在實際應用中，當真空管太陽能集熱器的安裝傾角偏離地理緯度不大于10°、方位角不大于20°時，真空管太陽能集熱器的日直接輻射采光量可分別依據(jù)估算得到的Rb，t-s和Rb，并結合真空管太陽能集熱器平面和水平面所測得的日太陽直接輻射量來估算。

③基于二維和三維天空輻射模型計算的真空管太陽能集熱器，對天空輻射的采光系數(shù)均與集熱器安裝傾角有關，當安裝傾角小于60°，二者的相對偏差小于0.65%。

④在|β-λ|≤10°，|φ|≤20°的情況下，基于簡化的太陽直接輻射和二維天空輻射模型計算得到的真空管集熱器年總采光量，與基于數(shù)值計算方法和三維天空輻射模型得到的年總采光量之間的相對偏差小于1%。