考慮量化輸入和輸出約束的互聯系統自適應分散跟蹤控制

秦貞華 何熊熊 李剛 伍益明

在過去的幾十年中,不確定互聯系統的分散自適應控制一直是控制領域的研究熱點問題之一.所謂分散控制策略是指對每一個子系統利用局部信息而非全局信息來設計控制器.相比單個系統,子系統之間的互聯關系使得分散控制設計成為挑戰.基于子系統輸出的不確定多項式組成互聯項這一假設,文獻[1] 討論了大型互聯系統的分散自適應控制設計.由于具備能夠改善系統瞬態性能的優點,反推(Basckstepping)法成為處理不確定性線性或非線性控制系統的有效方法之一.文獻[2] 首次提出基于反推法的分散自適應控制策略.針對含有未知不確定項的非線性互聯系統,文獻[3-6] 通過融合反推設計法和神經網絡或模糊系統,設計分散控制律.但是,文獻[1-6] 的控制方法僅適用于輸出調節控制問題,即所有子系統的輸出最終趨于零.當考慮輸出跟蹤問題時,控制任務變得更復雜,原因在于被跟蹤的非零期望軌跡將通過子系統之間的交互,影響其他子系統的動態.文獻[7-9] 討論了互聯系統的輸出跟蹤問題.其中,文獻[9] 討論完全分散輸出跟蹤控制問題,通過引入光滑非線性函數項消除來自其他子系統互聯項的影響.文獻[10] 放寬了[9] 的條件,假設子系統包含未知非線性項且互聯函數上界為未知常數,然后基于反推法設計了自適應跟蹤控制器.總結已有研究成果,通常對互聯項的假設條件是,互聯項的平方上界為每個子系統輸出項的光滑函數與表示子系統間互聯強度的已知常系數的乘積的和[11],或者互聯項絕對值的上界為每個子系統的輸出項絕對值與輸出項的光滑函數以及表示子系統間互聯強度的未知常系數的乘積的和[12].但文獻[12] 的假設條件只能應用于解決互聯系統輸出穩定問題,對于互聯項互聯強度常數項未知的輸出跟蹤問題,如何進行控制設計,目前鮮有相關研究成果.

量化控制系統設計對于研究數字控制和網絡控制系統有十分重要的理論和實際價值,因此近年來也是控制領域研究熱點問題之一.量化控制的關鍵問題是如何平衡低通信率和控制精度之間的關系.目前,關于輸入量化的研究成果已有很多[13－15].然而,這些成果都是基于量化參數已知的情形設計的魯棒或自適應量化控制方法.文獻[16] 針對量化參數未知的情況討論不確定系統的自適應量化控制問題,作者設計自適應律來估計未知量化參數組合的向量而不是未知參數本身,而且其所考慮系統模型的不確定項是參數化表達而非完全未知項.文獻[11]引入雙曲正切函數設計自適應量化跟蹤控制器,并將這個方法擴展到含有未知項的互聯系統.

為了避免控制系統在運行過程中出現故障或維持期望的性能指標,要求我們對實際被控系統的狀態或輸出加以約束限制.在實際操作過程中,一旦違反約束會導致系統性能下降,甚至損壞設備或出現不可逆情況.因此,考慮具有輸出約束的非線性系統控制設計一度受到控制界學者廣泛關注,并取得了許多重要研究成果.為滿足輸出受限要求,文獻[17]針對非線性單輸入單輸出系統引入障礙李雅普諾夫函數,并基于此設計控制器.基于此,Han 等在文獻[18] 中利用動態面控制技術解決了“計算膨脹問題”.進一步,He 等將此方法擴展應用到柔性起重機系統的輸出受限控制[19].文獻[20] 針對非嚴格反饋形式的大型互聯系統,設計自適應模糊分散控制律,保證系統在有限時間內達到輸出跟蹤目的,同時,基于障礙李雅普諾夫函數的設計方法,保證了系統輸出不違反約束條件.

基于以上分析,本文針對一類非線性互聯系統,在系統存在未知非線性的情況下,考慮輸入量化和輸出約束,設計自適應分散跟蹤控制協議.不同于文獻[11],本文假設互聯強度為未知常數,并分別針對量化參數已知和未知兩種情況,基于自適應反推法和神經網絡任意逼近特性設計控制策略.此外,障礙李雅普諾夫函數的引入,確保了系統的輸出不違反約束條件.數值仿真驗證了所提方法的有效性.

本文主要內容組織如下:第1 節介紹系統模型,給出設計過程需要用到的假設和引理以及神經網絡相關預備知識,并提出要解決的控制問題.第2 節分別針對量化參數已知和未知兩種情形,基于自適應反推技術給出互聯系統控制器的設計過程以及穩定性分析.第3 節給出數值仿真以驗證所提方法的有效性.第4 節總結本文主要工作.

1 問題描述及預備知識

1.1 問題描述及基本假設

考慮如下具有量化輸入的N 個關聯子系統復合組成的非線性不確定互聯系統,其中子系統j 的動力學方程為

其中,xj=[xj,1,xj,2,···,xj,n]T∈Rn是子系統的狀態向量,[y1,y2,···,yN]T∈RN是子系統的輸出向量且滿足約束|yj|≤kc1,?t ＞0,kc1＞0,fj,i(·)為未知光滑函數,表示子系統的非線性項,Δj,i(·)為未知光滑函數,表示子系統之間的互聯項,qj(uj)∈R和yj∈R分別是子系統的實際輸入和輸出,qj(uj)取uj的量化值.量化函數選取如下[11]

假設1.非線性互聯項滿足

其中,φj,i,l(·)為已知光滑函數,dj,i,l＞0 表示不確定子系統之間相互作用的強度,即互聯強度.

注1.量化器分為兩類:均勻量化和非均勻量化.對數(Logarithmic)量化和滯后(Hysteresis)量化屬于非均勻量化,即信號的量化間隔不相同.如文獻[11] 所述,相比較對數量化器,滯后量化能夠自動調節量化強度,從而避免抖振現象.因此,本文選擇后者用于量化器設計.

注 2.∑文獻[11] 假設條件為即互聯項的平方上界為所有子系統互聯強度與已知光滑函數乘積的和,并且互聯強度為已知常數.文獻[12] 的假設條件為其中互聯強度ρi,j,k為未知正常數,但此假設條件僅適用于解決輸出穩定問題,對于輸出跟蹤問題卻不適用.本文所提假設條件不僅滿足互聯強度為未知常數,而且適用于輸出跟蹤問題,因此放寬了文獻[11]和文獻[12] 的假設條件.

假設2.存在正常數Y0,Yn且有使得參考跟蹤信號yj,r和i 階導數滿足|yj,r|≤Y0,

引理1[14].存在函數gj(uj)和dj(t),使得量化器函數被分解為

其中,函數gj(uj)和dj(t)分別滿足1-δj≤gj(uj)≤1+δj和|dj(t)|≤uj,min.

引理2[17].對任意正常數kj,d1,定義開集Z1={zj,1?R:|zj,1|＜kj,d1}?R,N=Rl×Z1?Rl+1.考慮系統

其中,η=[w,zj,1]T∈N 是狀態變量,函數h :R+× N →Rl+1是分段連續函數,且滿足局部李普希茲條件.假設存在連續可導正定函數U :Rl→R+和V1:Z1→R+,i=1,2,···,n 使得

并且β1和β2是K∞類函數.令V(η)=V1(z1)+U(w),且z1(0)∈Z1.如果以下不等式成立

那么,w 有界并且z1 ∈Z1,?t ∈[0,∞).

注3.由引理2 可得,對于?t ＞0,只要|z1(0)|＜kj,d1,則有|z1(t)|＜kj,d1.又因為yj=zj,1+yr,而假設2 給出期望信號yr有界且上界為Y0,因此,只要令kj,d1+Y0=kc1,則保證系統輸出yj的約束永不被違反.所以,我們得出結論:輸出約束控制是一種間接約束,即通過對跟蹤誤差進行約束繼而達到輸出約束的目的.

引理3[20].對任意正常數kj,d1,且滿足|zj,1|＜kj,d1,有如下不等式成立

引理4[21].對任意變量z和任意常數ξ ＞0,有如下不等式成立

1.2 徑向基函數神經網絡(RBFNN)

對于任意連續函數f(Z):Rq→R,利用徑向基函數神經網絡(Radial function neural network,RBFNN)估計,得到如下表達式

其中,WWW ∈Rl為權向量,l ＞1 為神經網絡節點個數,Z ∈ΩZ?Rq為輸入向量,SSS(Z)=[s1(Z),s2(Z),···,sl(Z)]T∈Rl為高斯基函數向量,定義為

其中,i=1,2,···,l,μi和ηi分別為高斯基函數的中心和寬度.

文獻[22] 研究表明,神經網絡能夠在有界閉集ΩZ?Rq上以任意精度逼近任意連續函數f(Z):

其中,WWW*為理想權值向量,δ(Z)為逼近誤差,滿足

本文控制目標是對于每一個子系統,設計自適應量化跟蹤控制器使得閉環系統所有信號最終一致有界,而且保證跟蹤誤差收斂到原點的一個小鄰域,同時,所有子系統輸出都不違反約束條件.

2 自適應分散跟蹤控制設計

2.1 量化參數δj和uj,min已知

本小節討論當量化參數均為已知情況下,基于反推法設計輸出約束的自適應分散量化控制策略.對于第j 個子系統,反推法設計過程一共包含n步,在最后一步設計中,我們給出實際控制輸入uj.

互聯項相關參數定義為

對子系統j,定義如下坐標變換表達式

其中,αj,0=yr(t),αj,i為第i步設計的虛擬控制器.

利用自適應反推控制技術為系統(1)進行控制設計.整個設計過程包括n步.

第1步選取虛擬控制律αj,1以及參數和的自適應律為

第2步選取虛擬控制律αj,2和參數的自適應律為

第k (3≤k ≤n-1)步選取虛擬控制律αj,k和參數的自適應律為

第n步設計實際控制律uj和參數的自適應律為

下面給出具體的控制設計過程.

第1步.由式(1)和式(11)對zj,1求導得到

定義障礙李雅普諾夫候選函數

其中,kj,d1是zj,1的約束條件,即|zj,1|≤kj,d1.

根據式(1),式(11)和式(21),得到

根據式(3)和Young′s不等式,可得

將式(24)代入式(23),得到

由于fj,1是未知光滑函數,所以不能直接利用Fj,1(Zj,1)來構造虛擬控制器,根據徑向基函數神經網絡的萬能逼近特性,對存在使得

利用配方法,根據Young′s 不等式,對于給定的常數aj,1＞0,有如下不等式成立

將式(26)代入式(25),得到

構建虛擬控制律αj,1(式(12))以及參數和的自適應律(式(13)和式(14)),則式(27)可簡化為

第2 步.根據式(1)和式(11),對zj,2求導得

定義李雅普諾夫候選函數

將Vj,2對時間t 求導,得到

根據假設1和Young′s 不等式,得到

將式(32)和式(33)代入式(31),得到

其中

構建虛擬控制律αj,2(式(15))以及參數自適應律(式(16)),則式(35)可簡化為

第k 步(3 ≤k ≤n-1).根據式(1)和式(11),對zj,k求導得

定義李雅普諾夫候選函數

將Vj,k對時間t 求導,代入式(37),得到

其中,

類似第2 步中式(32)～(34)的處理過程,可得未知非線性函數

第nnn 步.根據式(1)和式(11),對zj,n求導得

定義李雅普諾夫候選函數

根據式(42),將Vj,n對時間t 求導,得到

其中,

應用與第k 步類似的處理過程,得到

其中,Fj,n的形式為k=n 時的式(40).類似第1步的處理過程,利用徑向基函數神經網絡逼近未知函數Fj,n,并構建實際控制律uj(式(19))以及參數自適應律(式(20)),則式(45)可簡化為

至此,整個自適應量化跟蹤控制設計完成.下面以定理形式給出本文主要結果.

定理1.考慮具有輸入量化和輸出受限的非線性互聯系統(1),滿足假設1和假設2,設計虛擬控制器(12),(15),(17)和實際控制器(19),以及參數自適應律(13),(14),(16),(18)和(20),則對于任意的有界初始條件和?θj,k(0)＞0,閉環系統所有信號最終一致有界,并且存在有限時間T,使得當t ＞T時,子系統的輸出跟蹤誤差收斂到有界閉集Ω1中

證明.對互聯系統整體選取李雅普諾夫函數

其中,

當|zj,1|≥τj,1時,Φj≤0;當|zj,1|＜τj,1時,Φj＞0,且有上界

由引理2 可得

因此,由以上分析可得

對式(50)兩邊積分得到

對式(52)兩邊取e 指數,可得

式(51)表明V 是有界的,由V 的定義可得誤差信號zj,1,有界,αj,i是關于zj,1和的函數,故有界,且|zj,1|≤kj,d1.由于yj=yr+zj,1,利用假設2 容易推出|yj|≤|yr|+|zj,1|＜Y0+kj,d1=kc1.因此閉環系統所有信號有界,輸出滿足約束條件,且跟蹤誤差最終收斂到有界閉集Ω1. □

2.2 量化參數δj,uj,min 未知

本節考慮當量化參數δj和uj,min未知時的控制設計.量化參數未知的量化跟蹤控制設計是極具挑戰性的難題,目前極少量文獻涉及到此類問題.文獻[11] 主要利用雙曲正切函數的特性對控制信號進行轉換,從而給出問題解決方案.本節我們討論另一種新的解決方法.鑒于自適應反推設計的前n-1 步與第2.1 節完全相同,所以我們重點討論第n 步設計過程.

首先,定義新的變量

設計系統實際控制輸入uj為

定義李雅普諾夫候選函數

對式(59)求導得到

由式(54)和引理3,可得

由于gj≥1-δj,有如下不等式成立

將式(62)代入式(61),得到

注3.由于直接利用量化輸入qj(uj)進行控制器設計極具挑戰性,因此借助引理1 將其進行轉換分解,但同時產生了新的動態控制系數gj(uj).為了克服這一動態系數導致的自適應設計困難,我們將動態系數轉換為其下界1-δj,通過進一步變換處理,如式(62),從而解決了輸入量化帶來的設計困難.

注4.基于輸入量化的變換處理,這里我們對未知量化參數的估計不是量化參數本身,而是其相關表達式βj和dj,βj=1/(1-δj),dj≥uj,min.

定理2.針對帶有輸入量化和輸出受限的非線性互聯系統(1),滿足假設1和假設2,設計虛擬控制器(12),(15),(17),實際控制器(55),以及參數自適應律(13),(14),(16),(18),(56)～(58),則對于任意的有界初始條件和?θj,k(0)＞0,閉環系統所有信號一致有界,并且存在有限時間T,使得當t ＞T時,子系統的輸出跟蹤誤差收斂到有界閉集Ω1中

證明.對互聯系統整體選取李雅普諾夫函數

類似定理1 證明過程,得到如下不等式

其中,

因此,

其中,

從而得到

同定理1 的分析,得出結論:閉環系統所有信號一致有界,跟蹤誤差最終收斂到有界閉集Ω1,且滿足輸出約束條件. □

3 仿真

為驗證所提控制方案的有效性,本節考慮如圖1所示由彈簧連接的互聯三倒立擺系統的跟蹤控制問題,假設三個倒立擺之間的未知關聯由彈簧連接,每個倒立擺系統由各自的伺服電機進行驅動,即ui(i=1,2,3)進行控制,倒立擺的動力學模型為[23]

圖1 三重倒立擺示意圖Fig.1 Schematic of tripled inverted pendulums

其中,θ1,θ2和θ3為擺角,g 為重力加速度,M1和M2為擺的質量,L 為擺桿長度,k 為彈簧的彈性系數,a 為從彈簧連接點到擺的支點的距離.

其中,qj(uj)為量化輸入,其表達式如式(2),yj為系統輸出,互聯項為Δ1,2=(ka2/M1L2)sin(y2-y1),Δ2,2=(ka2/M2L2)（sin(y1-y2)+sin(y2-y3)）,Δ3,2=(ka2/M2L2)sin(y2-y3).約束上界選取k1,d1=k2,d1=k3,d1=0.1,參考輸出為y1,r(t)=1-cos(t),y2,r(t)=sin(t),y3,r(t)=0.5 sin(t).

系統參數為:M1=1.5 kg,M2=1.6 kg,M3=1.5 kg,L=0.5 m,g=9.81 m/s2,r=80 N/m,a=0.2 m.

情況1.根據定理1,虛擬控制、參數自適應律和實際控制分別為

初始值選取為

設計參數選取為

量化參數選取為

高斯隸屬度函數選取為

選取dj,2,1=dj,2,2=ra2/(MjL2),φj,2,1=,則假設1 成立.

情況2.根據定理2,參數dj和βj自適應律和實際控制器uj分別設計如下,其余同情況1.

設計參數選取為

其余參數選取同情況1.

注5.文獻[11] 所設計虛擬控制器表達式要求互聯強度為已知常數.本文的設計方法不要求互聯強度已知,而是通過估計未知互聯常數表達式上界(10)來設計虛擬控制器,因此,與文獻[11] 相比,本文的設計方法更具一般性.

仿真結果如圖2～16 所示.圖1～10 分別為量化參數已知的情況下,系統輸出軌跡,跟蹤誤差軌跡和控制輸入信號以及量化信號的軌跡.圖11～16分別為量化參數未知的情況下,系統輸出軌跡,跟蹤誤差軌跡和控制輸入信號以及量化信號的軌跡.仿真結果表明無論量化參數已知與否,本文所提算法都能保證輸出能跟蹤上期望的參考信號,并且跟蹤誤差有界,同時確保了系統輸出滿足約束條件.仿真結果驗證了定理1和定理2 結論的合理性.

圖2 輸出y1和y1,r 的軌跡Fig.2 Trajectories of output y1 and y1,r

4 結論

圖3 輸出y2和y2,r 的軌跡Fig.3 Trajectories of output y2 and y2,r

圖4 輸出y3和y3,r 的軌跡Fig.4 Trajectories of output y3 and y3,r

圖5 量化參數已知時跟蹤誤差z1,1 的軌跡Fig.5 Trajectory of tracking error z1,1 with known quantization parameters

圖6 量化參數已知時跟蹤誤差z2,1 的軌跡Fig.6 Trajectory of tracking error z2,1 with known quantization parameters

圖7 量化參數已知時跟蹤誤差z3,1 的軌跡Fig.7 Trajectory of tracking error z3,1 with known quantization parameters

圖8 量化參數已知時輸入u1和q1(u1)的軌跡Fig.8 Trajectories of input u1 and q1(u1)with known quantization parameters

圖9 量化參數已知時輸入u2和q2(u2)的軌跡Fig.9 Trajectories of input u2 and q2(u2)with known quantization parameters

圖10 量化參數已知時輸入u3和q3(u3)的軌跡Fig.10 Trajectories of input u3 and q3(u3)with known quantization parameters

圖11 量化參數未知時跟蹤誤差z1,1 的軌跡Fig.11 Trajectory of tracking error z1,1 with unknown quantization parameters

圖12 量化參數未知時跟蹤誤差z2,1 的軌跡Fig.12 Trajectory of tracking error z2,1 with unknown quantization parameters

圖13 量化參數未知時跟蹤誤差z3,1 的軌跡Fig.13 Trajectory of tracking error z3,1 with unknown quantization parameters

圖14 量化參數未知時輸入u1和q1(u1)的軌跡Fig.14 Trajectories of input u1 and q1(u1)with unknown quantization parameters

圖15 量化參數未知時輸入u2和q2(u2)的軌跡Fig.15 Trajectories of input u2 and q2(u2)with unknown quantization parameters

圖16 量化參數未知時輸入u3和q3(u3)的軌跡Fig.16 Trajectories of input u3 and q3(u3)with unknown quantization parameters

本文考慮一類帶有輸入量化和輸出受限的大型非線性互聯系統的輸出跟蹤控制問題.本文主要貢獻是放寬了互聯項的假設條件,基于反推法和神經網絡逼近特性,分別考慮量化參數已知和未知的情況,設計出一種新的自適應量化跟蹤控制策略;同時,在反推法的設計過程中引入障礙李雅普諾夫函數,確保了系統輸出信號都不違反約束條件;最終,理論分析和仿真結果驗證了輸出跟蹤誤差收斂和閉環系統所有信號一致有界的結論.