傳感器飽和的非線性網絡化系統模糊H∞H∞H∞濾波

李秀英 尹 帥 孫書利

隨著通信技術和計算機技術的飛速發展,網絡控制系統(Networked control system,NCS)已廣泛應用于遠程醫療、智能交通、航空航天等領域[1].網絡的引入在給系統帶來便利的同時,由于網絡擁擠、信道衰減等原因,使得數據包在傳輸過程中出現了許多不確定性,如丟包、延遲以及亂序等.丟包現象如果處理不當,最終可能導致系統整體性能的急劇下降甚至崩潰,因此如何克服丟包帶來的不利影響成為學者們普遍關注的問題[2－5].目前主要有4 種策略:1)零輸入策略[2];2)保持輸入策略[3];3)預報補償策略[4];4)多包補償策略[5－6].所謂多包補償是指利用緩存器中的多個數據包來補償丟失的數據.文獻[5] 基于一步時滯和丟包的模型設計了濾波器、預報器和平滑器.文獻[6] 針對多步時滯和丟包的系統設計了滿足H∞性能指標的濾波器.但是,文獻[5] 處理的只是線性系統,而文獻[6] 雖然考慮了非線性干擾,但系統模型仍然是線性的.

控制工程中非線性對象普遍存在.Takagi-Sugeno (T-S)模糊模型[7]可以任意精度逼近定義在緊集上的非線性函數,已成功應用于復雜非線性系統的建模中[8－10].文獻[8] 基于采樣數據研究了網絡化模糊T-S 系統H∞輸出跟蹤控制問題.文獻[9] 針對一類帶有雙端丟包的T-S 模糊非線性系統提出一種丟包補償策略.文獻[10] 基于時滯分解技術,提出一種新的矩陣解耦方法設計了T-S 模糊系統的濾波器.然而,以上文獻在選擇Lyapunov 函數時都是獨立于模糊規則的,這使得結果具有一定的保守性.

此外,工程上使用的傳感器由于原理、制造技術以及使用安全等諸多因素限制,均無法識別或者提供幅值過大的信號,因而產生傳感器件的飽和特性[11－15].文獻[11-13]和[14-15] 分別研究了帶有傳感器飽和NCS 的H∞濾波和控制問題.對于某些類型的傳感器,如霍爾傳感器,頻繁發生的飽和現象會造成器件損壞,失去測量的意義,不能再用于測量了.如何解決由于傳感器飽和而導致的傳感器失效時信號來源的問題也應引起重視.

基于上述分析,本文研究帶有傳感器飽和的TS 型模糊非線性系統的H∞濾波器設計問題.主要創新點如下:1)采用多包補償策略克服數據傳輸過程中因丟失對系統性能產生的不利影響;2)針對傳感器飽和而使器件損壞的問題提出傳感器冗余方式解決信號來源問題;3)為減小設計的保守性,利用基于模糊規則依賴的Lyapunov 函數來分析系統的穩定性,得到使濾波誤差系統漸近穩定,同時滿足指定H∞性能指標的濾波器參數線性矩陣不等式(Linear matrix inequalities,LMIs)形式的解.仿真研究驗證算法的有效性.

1 問題描述

1.1 非線性對象的T-S 模糊模型描述

考慮如下的非線性離散時間系統

假設1.f(xk)是一個光滑函數,滿足條件f(0)=0,其中xk∈Rn是系統狀態向量.

假設2.外部干擾輸入wwwk∈Rq是能量有限信號,即wwwk屬于平方可和的l2[0,∞)空間.

假設3.B 是已知矩陣,描述干擾對狀態的影響.

對于非線性對象(1),用p 個T-S 型模糊規則去逼近.設第i 條模糊規則如下:

其中,θk=為前件變量,Wij(i,j=1,2,···,p)為模糊集合,zzzk∈Rm是待估計信號,Ai,Bi,Li是適當維數的已知矩陣.

注1.這里引入待估計信號zzzk更具有一般性.當Li為單位陣時,待估狀態即為xk;當Li為一般向量時,待估狀態為xk的某個分量或其線性組合.

利用中心平均解模糊器、乘積模糊推理,單點模糊器,可以得到模糊系統(2)的全局動態模型

注2.隸屬度函數的選擇沒有統一的方法,可以根據需要適當選取.如果想要所選擇的隸屬度函數最優,可以引入智能優化方法(如粒子群算法、蟻群算法等)來優化隸屬度函數中的參數.

1.2 飽和傳感器的冗余策略

當傳感器檢測的信號幅值過大時,會產生飽和特性(如差壓傳感器、霍爾傳感器).若傳感器長時間處于飽和狀態,會容易損壞,測量結果失去意義.為解決傳感器飽和時信號來源問題,我們提出傳感器冗余策略[16－17].輸出yk∈Rr采用如下模型進行刻畫

其中,Bernoulli 分布的隨機變量δk用來表示主傳感器和備用傳感器之間的切換,且滿足Prob{δk=1}=Prob{δk=0}=1-即δk=1 時表示主傳感器工作,δk=0 時表示主傳感器失效,此時啟用備用傳感器工作.傳感器飽和用非線性函數g(C1ixk)和來描述,滿足

其中,M1,M2(M2＞M1≥0),是常矩陣.為分析方便,將g(C1ixk)和分成線性部分和非線性部分來處理[13],即

1.3 網絡傳輸誘導現象的刻畫

假設4.傳感器是時鐘驅動.

假設5.接收端設置緩存器.

網絡環境下,無論是采用TCP 協議還是UDP協議,時滯和丟包現象不可避免[18].由于隨機時滯的存在,使得在一個采樣周期內,接收端接收到的數據可能是一個或是多個,也可能沒有接收到任何數據,根據文獻[19],采用如下模型來描述接收端的數據

其中,Wk∈Rq是屬于平方可和l2[0,∞)空間的觀測噪聲,d 是最大時滯;是相互獨立的Bernoulli 分布的隨機變量,且滿足統計特性:

注3.當取不同值時,可以同時描述數據的丟失和d 步時滯的情況.易知,數據包正常接收的概率為d 步時滯的概率為丟包的概率為

1.4 模糊濾波器設計

針對T-S 模糊模型(2)描述的非線性系統(1),利用并行分布補償技術,設計如下形式的滿階濾波器:

同樣,可以得到濾波器的全局模型為

注4.也可以采用狀態增廣的方法設計濾波器,即引入狀態然后為XXXk設計濾波器顯然,增廣方法會引起維數的增加.此處設計的滿階濾波器可以避免維數增加.

由式(2)～(4),(6),(7),可得濾波誤差系統為

其中,

問題描述:針對基于T-S 模糊模型(2)描述的非線性系統(1),考慮傳感器件的飽和特性以及觀測數據到達接收端時可能發生的隨機丟包和多步時滯的情況,設計形如式(8)的濾波器參數Afi,Bfi,Cfi,使得濾波誤差系統(10)滿足如下兩個條件:

ii)H∞性能.在零初始條件下,對于所有的非零和指定的H∞性能指標γ ＞0,濾波誤差ek滿足如下H∞范數指標

引理1[20].對于對稱正定矩陣S和任意適當維數的實矩陣Xij,有

2 濾波性能分析

定理1.考慮基于T-S 模糊模型(2)描述的離散時間非線性系統(1),假設濾波器參數Afi,Bfi,Cfi已知,則濾波誤差系統(10)是均方意義下漸近穩定的,且當時,系統(10)滿足指定H∞性能指標γ,如果存在模糊規則依賴的正定對稱矩陣Pq＞0,Qj＞0 (q=j=1,2,···,d)及標量εi＞0(i=0,1,···,2d+1),使得如下矩陣不等式成立

證明.選取如下模糊規則依賴的Lyapunov 函數

那么

將濾波誤差系統(10)代入上式,有

首先證明當～wwwk=0 時濾波誤差系統(10)是均方意義下漸近穩定的,有

由Schur 補引理可得,E{ΔVk}＜0 當且僅當不等式(12)和(13)成立.根據Lyapunov 穩定性理論可知,當時,濾波誤差系統(10)是均方漸近穩定的.接下來,為分析濾波誤差系統(10)的H∞性能,引入目標函數

顯然,為證明H∞性能指標(11)成立,即要證明在零初始條件下有Jn＜0 成立.于是,有

類似于前面的推導過程,可得

由式(12)和式(13)可知Jn＜0.令n →∞,易得

3 H∞濾波器設計

定理2.考慮基于T-S 模糊模型(2)描述的離散時間非線性系統(1),在傳感器飽和及數據包丟失和時滯存在的情況下,對于給定標量γ ＞0,存在一個H∞濾波器使得濾波誤差系統均方意義下漸近穩定,且當時,H∞性能指標(11)成立,如果存在模糊規則依賴的矩陣1,2,···,d),矩陣和標量εi＞0 (i=0,1,···,2d+1),使得如下LMIs成立

其中

若不等式(18)和(19)存在可行解,則濾波器參數為

證明.由Schur 補引理,可以將定理1 中的矩陣不等式(12)和(13)寫成如下形式:

注5.由不等式(18)和(19),通過求解如下凸優化問題1可以得到系統的最優H∞性能指標為其中為的最優值.

注6.在一些場合下,基于模糊模型(2)對非線性系統(1)的建模會存在一定的建模誤差.考慮近似誤差后,非線性系統(1)可以等價于如下系統

4 仿真例子

為驗證本文所提算法的有效性,考慮文獻[21]中的一個非線性倒立擺系統

其中,x1(t)表示倒立擺與垂直方向的角度,x2(t)是角速度,g=9.8 m/s2是重力加速度,m 是倒立擺的質量,a=1/(m+M),M 是小車的質量,2l 是倒立擺的長度,b 是倒立擺與軸之間的阻尼系數,w(t)是干擾輸入.根據文獻[21],取m=2 kg,M=8 kg,l=0.5 m 以及b=0.5 Nm/s.將系統在原點以及x=(±60°,0)處線性化,以采樣周期T=0.01 s 離散化,可得該系統的離散時間T-S 模糊模型為

表1 接收端接收數據情況舉例Table 1 An example case of the received data at the receiver side

通過求解問題1,可以得到最優的γ*=5.7774,濾波器參數為

圖1 zk 真實值和H∞濾波值Fig.1 True value of zk and its filter

為說明基于模糊規則依賴思想所設計的濾波器可以降低保守性,將本文與模糊規則獨立方法(即選取Lyapunov 函數時Lyapunov 矩陣與模糊規則無關)進行比較.參數保持不變,令從0.1 到0.9 變化,所得的最優H∞性能指標γ*結果如表2 所示.從表2 中可以看出,模糊規則依賴的方法所得的γ*要小于模糊規則獨立的方法,即可以有效降低設計的保守性.同時,隨著數據包正常接收的概率增大(即變大),H∞性能指標γ*減小,系統的抗干擾能力增強.

表2 模糊規則依賴與模糊規則獨立的γ* 比較Table 2 Comparison of γ* between fuzzybasis-dependent and fuzzy-basis-independent methods

我們進一步分析了主傳感器和冗余傳感器對系統性能的影響.當不變,而從0.2 變到1時,所得的最優H∞性能指標γ*由表3 給出.由表3 可知,隨著的增大,γ*也隨之增大.即備用傳感器的性能較主傳感器的性能更好.

表3 最優H∞性能指標與傳感器飽和發生概率ˉδ 的關系Table 3 Relation between optimal H∞performance and the sensor saturation occurrence rate

為了說明時滯概率與丟包概率對系統性能的影響,我們分別給出最大時滯為一步與最大時滯為兩步時的仿真結果,如表4 所示.從表4 中可以看出,在正常接收概率相同的前提下,當丟包概率相同,最大時滯為一步時的最優H∞性能指標γ*較最大時滯為兩步時的要小,即隨著系統的時滯變大,系統性能變差.同時,當系統正常接收的概率變大,隨著系統丟包概率的減小,γ*也隨之減小,系統的干擾抑制性能變好.

表4 最大時滯為一步與兩步時的γ* 比較Table 4 Comparison of γ* between one-step and two-step maximum delays

最后,我們在表5 中給出了與文獻[22] 的仿真比較結果.文獻[22] 考慮的是帶有傳感器飽和的NCS 模糊H∞濾波器設計,但接收端只有一個數據用于濾波器設計.為了比較,令本文算法中ˉδ=0,文獻[22] 中的最大時滯為d=1 (即數據被正常接收,延時一步接收,或者丟失).在相同的正常接收概率和一步時滯概率的前提下,我們比較了最優H∞性能γ*.從表5 中可以看出,本文方法所得γ*的結果比文獻[22] 的要小.原因主要有兩個方面:一是本文采用的是多包補償策略,二是在設計時選用的模糊規則依賴的方法.

表5 與文獻[22] 中方法的γ* 比較Table 5 Comparison of γ* with the method in [22]

5 結論

網絡控制系統中的被控對象通常是非線性的,而負責采集數據的傳感器也會出現飽和非線性現象.本文針對帶有傳感器飽和的T-S 模糊模型描述的非線性系統,對于傳感器飽和可能帶來的器件損壞問題,提出冗余策略來解決信號來源問題,并利用多包補償策略改善丟包對系統的影響.基于模糊規則依賴的思想,利用隨機分析方法得到了使濾波誤差系統均方漸近穩定且滿足指定H∞性能的一個充分條件,利用LMI 技術得到濾波器參數的解.仿真分析結果表明,模糊規則依賴的方法比模糊規則獨立方法可以獲得較小的保守性,同時隨著系統時滯的增大,系統的性能變差.本文所采用的T-S 模型可以很好地逼近系統的非線性,但在實際中,系統的不確定性也是廣泛存在的.針對系統不確定性的處理,可以有兩種方法:一是采用區間2 型T-S 模糊模型[23],該模型利用隸屬度函數的上界和下界來刻畫系統的不確定性;二是設計自適應模糊系統[24－25],即通過適當的方法來在線調整系統參數,以適應系統的不確定性.這兩個問題將是作者后續研究的主要方向.