深挖教材例、習題價值

楊春霞

在平時的學習中，由于受課堂時間的限制，對于教材上的經典例題、習題，我們可能只是掌握了題目呈現形態下的解題思路，而在課后遇到類似的問題，卻會感覺很陌生。下面介紹命題人常用的三種“法寶”，同學們可以借助這些“法寶”自己嘗試變式。

一、強化條件再探究

“強化”能體現從一般到特殊的數學思想。通過強化條件，我們可以發現原有問題的結論會不斷地發生變化，借助強化條件與原有條件的關系可以形成更多、更具體的結論。

例1 （蘇科版數學教材八年級下冊第82頁例5）已知：如圖1，在正方形ABCD中，點A′、B′、C′、D′分別在AB、BC、CD、DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′。

求證：四邊形A′B′C′D′是正方形。

【分析】因為四邊形ABCD是正方形，所以四條邊相等、四個角是直角。又有AA′=BB′=CC′=DD′，所以用四條相等的邊去分別減這些相等的線段，就得到BA′=CB′=DC′=AD′。結合四個角是直角，就能證明所分得的四個直角三角形全等，從而得到四邊形A′B′C′D′是菱形的結論。再選擇一對全等的直角三角形Rt△A′AD′≌Rt△B′BA′，得到∠AA′D′=∠A′B′B。因為∠A′B′B+∠B′A′B=90°，所以∠AA′D′+∠B′A′B=90°，則∠D′A′B′=90°，這樣就證得了四邊形A′B′C′D′是正方形。

從原題的證明思路中我們可以發現，原題是從線段的數量關系出發，借助三角形全等得到需證圖形的四邊數量關系。這里的AA′=BB′=CC′=DD′，只說明數量相等，沒有指明具體的AA′長度，也就是說點A′、B′、C′、D′在原正方形ABCD四邊上具有一般性。如果確定AA′與AB的數量關系，是否可以得到不一樣的結論呢？我們可以通過“強化”條件得到下面的變式題。

已知：如圖1，在正方形ABCD中，點A′、B′、C′、D′分別在AB、BC、CD、DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′=[13]AB。

求證：四邊形A′B′C′D′的面積是正方形ABCD面積的[59]。

變式題沒有改變原題中AA′=BB′=CC′=DD′的條件，但增加了線段與正方形邊長的數量關系，因此可以先借助勾股定理表示出A′B′∶AB=[5]∶3，再借助圖形相似性質得到小正方形與原正方形的面積比為[59]。

二、弱化條件要分類

“強化”條件可以在原有結論基礎上進一步發現由“強化”條件所得出的新結論，而“弱化”條件則往往需要進行分類解答。

例2 （蘇科版數學教材八年級下冊第69頁例3）已知：如圖2，在?ABCD中，點E、F在AC上，且AE=CF。

求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

【分析】這道題所提供的條件是“在?ABCD中，點E、F在AC上，且AE=CF”。我們可以連接BD，由?ABCD對角線互相平分得到AO=CO，BO=DO。因為明確點E、F在AC上，且AE=CF，所以EO=FO，再根據平行四邊形的判定定理證明四邊形EBFD是平行四邊形。此處對于“點E、F在AC上”，如果“弱化”條件，我們可以進行如下變式：

在?ABCD中，點E、F在直線AC上，且AE=CF。試判斷四邊形EBFD是不是平行四邊形。

這里因為“點E、F在直線AC上”，相對于原題“E、F在AC上”有所弱化，因此存在以下幾種情況：

從圖中可以直觀判斷出圖4和圖5均不能判斷四邊形EBFD是平行四邊形;而圖3則類似原題，借助連接對角線這一輔助線來證明。變式是由于點E、F所在位置條件的弱化導致了圖形的不確定，因而產生分類的必要性。這里判斷是不是平行四邊形也存在“證實”與“證偽”的理解。證實，我們往往是借助嚴格的推理進行證明;證偽，我們可以通過舉反例這一方法來說明。

三、互逆條件論真假

命題存在真假，需要證實或證偽;命題也存在互逆。我們在學習命題知識時知道，并不是所有真命題的逆命題一定是真的，因此，對題目進行的另一種主要變式就是交換條件和結論，探究逆命題的真與假。

例3 （蘇科版數學教材八年級下冊第75頁例1）已知：如圖6，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC=2AB。

求證：△AOB是等邊三角形。

【分析】這道題以矩形為基礎，借助對角線AC與AB的數量關系，來探究對角線相交后所形成的△AOB是否為等邊三角形。此處利用矩形對角線互相平分且相等的性質可以得出AC=BD=2AO=2BO，結合條件AC=2AB，我們就能得到AO=BO=AB，從而判斷△AOB是等邊三角形。原題中的條件有兩個，一個是AC=2AB，另一個是矩形;結論是△AOB是等邊三角形。我們可以嘗試將結論△AOB是等邊三角形分別與其中一個條件交換，得到一個新的問題。如：

已知：如圖7，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，△AOB是等邊三角形。

求證：AC=2AB。

【分析】變式后已知△AOB是等邊三角形，得到AO=BO=AB。由矩形對角線互相平分且相等，可以得出AC=BD=2AO=2BO，所以AC=2AB。

那么大家想一想，如果將例3的另一個條件與結論互換，我們可以得到什么樣的命題呢？

已知：如圖8，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC=2AB，△AOB是等邊三角形。試判斷四邊形ABCD是否為矩形。

判斷這個命題是否成立，我們不妨舉圖8的反例來說明四邊形ABCD未必是矩形。

同學們，我們在面對做過的數學題，尤其是教材中的例題和習題時，如果利用以上三種方式進行變式，那么書就能被我們讀厚實起來;如果我們能看到眾多習題之間的內在聯系，解決時再借助通法切入，此時眾多的習題則又可以歸為“一題”，書也就被我們讀“薄”了。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學初中部）