厘清線角關系　巧破易錯痛點

徐菊萍

圓是涵蓋知識點較多的圖形，可以從線段、角、多邊形等直線圖形擴充到弧、扇形等曲線圖形。如果將圓與各類直線圖形結合，我們能構造出更復雜的圖形。如何有效解決圓中的易錯問題，避免失誤呢？我們可以從以下幾個方面來辨析錯誤，精準解題。

一、善用圓中弧、角、弦對應關系解決圓中線角關系

例1 如圖1，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點，若∠BCD=40°，則∠ABD的大小為（）。

A.60°B.50°C.40°D.20°

【解析】很多同學可能因為找不到∠BCD與∠ABD的關系而不能求解。因為圖中有“圓周角”，關于圓周角有兩個基本圖形，因此可以從以下兩個方向思考。

解法一（利用同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍）：連接OD，如圖2。∵∠DOB和∠BCD分別是弧BD所對的圓心角和圓周角，∴∠DOB=2∠BCD=80°，再由半徑相等，所以在等腰△DOB中，∠ABD=50°。故選B。

解法二（利用直徑所對的圓周角是直角，同弧所對圓周角相等）：連接AD，如圖3。∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°。∵∠A和∠BCD都是弧BD所對的圓周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°。故選B。

二、善用多邊形邊角關系解決圓中線角問題

例2 若正六邊形的內切圓半徑為2，則其外接圓半徑為。

【解析】本題需理解兩個圓與正多邊形的關系，如果能將內切圓半徑與外接圓半徑轉化為三角形的線段關系，就能輕松破解。如圖4，連接OE，作OM⊥EF于點M，則OE=EF，EM=FM，由正六邊形的知識可知，內切圓半徑OM=2，∠EOM=30°。在Rt△OEM中，cos∠EOM=[OMOE]，∴[32]=[2OE]，解得OE=[433]，即外接圓半徑為[433]。

三、善用切線與過切點的半徑垂直解決圓中位置關系

例3 如圖5，PA是⊙O的切線，切點為A，PO的延長線交⊙O于點B，若∠P=40°，則∠B的度數為（）。

A.20°B.25°C.40°D.50°

【解析】本題只有利用切線的性質，正確添加輔助線才能解決。如圖6，連接OA，可得直角△AOP和等腰△OAB，得∠B=25°。故選B。

四、善用空間想象力解決圓錐問題

例4 如圖7，圓錐的底面半徑r=6，高h=8，則圓錐的側面積是（）。

A.15πB.30πC.45πD.60π

【解析】本題易用錯圓錐側面積的公式。因為圓錐的高、母線和底面半徑構成直角三角形，故先由r=6，h=8，得母線為10，再得圓錐的側面積=6×10π=60π。故選D。

例5 如圖8，矩形紙片ABCD中，AD=6cm。把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的底面和側面，則AB的長為（）。

A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

【解析】本題需理解圓錐側面與底面的關系，即側面展開圖的弧長=底面圓的周長。

∵弧長[AF]=[14]?2π?AB，圓的周長為π?DE，

∴[14]?2π?AB=π?DE，AB=2DE。

∵AE+ED=AD=6，AB=AE，

∴AB=4。

故選B。

從上述例題可見，要想解決圓中的線、角問題，還要善于添加合適的輔助線。常見的輔助線有：連半徑、作弦心距、構造直徑所對的圓周角、連過切點的半徑等。因此，我們如果能熟悉圓中的基本圖形，做到心中有圖，再結合常見的數學思想方法，那么一定能輕松破解圓中的易錯問題。

（作者單位：南京師范大學附屬蘇州石湖中學）