例談初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的有效運用

白東曉

初中數(shù)學(xué)研究的對象主要分為數(shù)和形兩大部分，即為代數(shù)與幾何，數(shù)與形之間存在著緊密聯(lián)系，該聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合。教師在平常教學(xué)中需有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，把數(shù)與形有機整合起來，為學(xué)生提供新穎的學(xué)習(xí)思路，幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高解題能力。

一、運用數(shù)形結(jié)合思想，輔助學(xué)生理解概念

概念屬于數(shù)學(xué)知識體系中的基礎(chǔ)，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)其他知識的鋪墊，還是進(jìn)行解題的重要支持與關(guān)鍵所在。在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師要高度重視概念教學(xué)，概念以文字性描述為主，如果僅僅依靠語言描述顯得過于抽象，學(xué)生很難真正理解，在解題環(huán)節(jié)無法做到靈活自如運用。這時可運用數(shù)形結(jié)合思想，把描述概念的文字以圖形形式來呈現(xiàn)，更為直觀與具體，輔助學(xué)生更好地理解概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊。

例如在進(jìn)行“相反數(shù)”教學(xué)時，教師先要求學(xué)生畫出一個數(shù)軸，注意原點、正方向和單位長度，在數(shù)軸上找出表示3和-3、-5與5、2.5和-2.5各組數(shù)的點。

思考：表示每對數(shù)的點有什么相同和不同之處？鼓勵學(xué)生結(jié)合數(shù)軸的相關(guān)知識自由回答，使其獲得感性認(rèn)知。

教師指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察、討論和研究各對數(shù)的特點，分析每組數(shù)所對應(yīng)兩個點的位置關(guān)系有什么規(guī)律？使其初步發(fā)現(xiàn)每對點位于原點左、右兩邊，且距離原點等距。提出問題：數(shù)軸上與原點的距離是1的點有幾個？6呢？這些點表示的數(shù)分別是什么？觀察后學(xué)生知道都有兩個，分別是1與-1，6和-6。

師生一起歸納：每組中的兩個數(shù)只有符號不同，它們所對應(yīng)的兩點分別在原點的兩側(cè)，到原點的距離相等。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相反數(shù)的概念：像3和-3、-5和5、2.5和-2.5這樣只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)，讓學(xué)生理解代數(shù)概念與幾何意義。

教師運用學(xué)生熟悉的數(shù)軸講述和解析相反數(shù)的概念，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想。

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，講授數(shù)學(xué)公式定理

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，公式與定理占據(jù)著非常重要的地位，是理論知識的高度濃縮與精華，學(xué)生在解題時離不開公式和定理的輔助。當(dāng)講授到公式與定理時，同樣可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，以幾何圖形的形式把數(shù)學(xué)公式與定理展示出來，喚起學(xué)生的感性思維，降低學(xué)習(xí)和理解難度。

例如在開展“平行線的判定”教學(xué)時，學(xué)習(xí)平行線的判定公理，教師先帶領(lǐng)學(xué)生回顧平行線、平行公理及其推論等知識。

問：如何用平行線的定義及平行公理來說明兩條直線平行？

根據(jù)學(xué)生的回答加以總結(jié)：如果用平行線定義難以說明兩條直線沒有交點，平行公理的推論對條件要求較多，要有三條平行線，且其中的兩條分別與第三條平行，能否用這兩種方法來說明木工師傅用拐尺畫平行線的原理？使其嘗試說明，聯(lián)想到有其他途徑判定兩條直線是否平行。

回憶、敘述用三角板和直尺過一點P畫已知直線AB的平行線的過程，設(shè)疑：這種畫法實際上是畫一對什么角相等？使其觀察圖形后發(fā)現(xiàn)這兩個角是直線AB、CD被EF截得的同位角，引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出平行線的判定方法1，簡單記為“同位角相等，兩直線平行”。隨后教師繼續(xù)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，指導(dǎo)學(xué)生借助“三線八角”圖探索平行線的判定方法2與3。教師引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想講授新知識，使其在探索圖形的過程中，學(xué)會思考和探索。

三、發(fā)揮信息技術(shù)優(yōu)勢，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想的兩個部分是“數(shù)”與“形”，其中“形”具有直觀性，能夠具體、形象地把數(shù)學(xué)理論知識呈現(xiàn)出來。在新課改背景下，信息技術(shù)已經(jīng)廣泛運用至各行各業(yè)，自然也包括教育領(lǐng)域。教師在日常教學(xué)中，應(yīng)該充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，運用現(xiàn)代教育手段拆分與組合圖形，更為生動地體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想，把圖形的轉(zhuǎn)化變得更加科學(xué)與合理，帶給學(xué)生強烈的視覺沖擊，以便輕松理解與掌握新知識。

在實施“菱形”教學(xué)時，教師可以提前通過網(wǎng)絡(luò)平臺搜集一組生活中的菱形實物圖片，如：鐵絲網(wǎng)、室內(nèi)掛衣架、春聯(lián)中的“福”字、瓷片和三菱車標(biāo)等，讓學(xué)生認(rèn)真觀察，從中找出菱形，引出課題，使其類比矩形的定義，結(jié)合信息技術(shù)手段，動態(tài)展示將平行四邊形較短一邊進(jìn)行平移的過程，讓學(xué)生通過觀察、分析與討論，順利抽象出菱形的定義。

提問：菱形具有哪些性質(zhì)？組織學(xué)生結(jié)合圖片分組討論后全班交流，一起歸納：菱形的四條線都相等;兩條對角線相互垂直，且每一條對角線平分一組對角;面積等于對角線乘積的一半。設(shè)疑：假如一個四邊形是一個平行四邊形，只要再添加什么條件才能判定它是一個菱形？有什么根據(jù)？

學(xué)生先畫圖，再討論，根據(jù)菱形的定義得知：只要再添加一組鄰邊相等的條件就能判定該平行四邊形是一個菱形。隨后教師繼續(xù)借助信息技術(shù)手段，指導(dǎo)學(xué)生在觀察與實踐中探究菱形的其他判定方法。

通過信息技術(shù)和動手操作，引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷探究菱形定義、性質(zhì)和判定方法過程，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，使其充分享受到視覺盛宴，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想及合情推理能力。

四、合理使用以形助數(shù)，鍛煉學(xué)生解題技巧

想更好地運用數(shù)形結(jié)合思想，不能僅僅停留在理論知識的講授方面，還要擴展至解題環(huán)節(jié)，為學(xué)生提供親自運用數(shù)形結(jié)合思想的機會，使其深刻體會到數(shù)學(xué)思想方法的妙用，幫助學(xué)生找到便捷的解題方法。具體來說，數(shù)形結(jié)合思想分為以形助數(shù)、以數(shù)解形兩種情形，教師可以指引學(xué)生合理使用以形助數(shù)的方法處理題目，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的關(guān)系，將復(fù)雜問題變得簡單化，鍛煉學(xué)生的解題技巧。

以“一次函數(shù)”教學(xué)為例，設(shè)置題目：某公司推銷一種產(chǎn)品，設(shè)x（件）是推銷產(chǎn)品的數(shù)量，y（元）是推銷費，如下圖所示，表示公司每月付給推銷員推銷費的兩種方案，看圖解答下列問題：

（1）求y1和y2的函數(shù)解析式;

（2）解釋圖中表示的兩種方案是怎么付推銷費的？

（3）假如你是一名該公司的推銷員，應(yīng)該如何選擇付費方案？

解析：（1）教師指引學(xué)生自學(xué)觀察圖形，根據(jù)兩個一次函數(shù)圖像及坐標(biāo)軸上的點展開分析，得出兩個解析式分別為y1=20x，y2=10x+300;

（2）依據(jù)一次函數(shù)相關(guān)知識自主組織語言，指導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)術(shù)語來描述這兩種付推銷費的方案，y1是不推銷產(chǎn)品沒有推銷費，每推銷10件產(chǎn)品將會得推銷費200元，y2則是保底工資300元，每推銷10件產(chǎn)品能夠得到提成100元;

（3）根據(jù)業(yè)務(wù)能力高低來選擇付費方案，如果業(yè)務(wù)能力強，平均每月保證推銷不少于30件時，就選擇y1的付費方案;否則選擇y2的付費方案。

在上述案例中，學(xué)生解題的關(guān)鍵在于以形助數(shù)，知道圖像在上方的說明它的函數(shù)值較大，反之較小，兩圖像相交時，說明在交點處的函數(shù)值相等，改善其解題能力。

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，以數(shù)解形則是部分圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律，需要給圖形賦予一定的值，如邊長和角度等，把抽象問題變得具體化，優(yōu)化學(xué)生的解題思路，順利解題。教師在解題教學(xué)環(huán)節(jié)，指導(dǎo)學(xué)生巧妙采用以數(shù)解形的方法分析與處理題目，將數(shù)學(xué)問題變得更加充實與豐滿，使其找到清晰的解題思路，最終得出準(zhǔn)確的答案。

教師要充分認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想的教育價值與積極意義，把握好概念、公式、定理、公理等講授同解題實踐之間的關(guān)系，從多個方面滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生深刻理解與牢固掌握理論知識，提升解題水平。

■ 編輯/王? ? 波