漸開線斜齒輪齒面點偏差求解及三維齒面偏差評定

張登攀，王黎陽，張洪良，劉瑞弢，王宇，姚新景

(河南理工大學 機械與動力工程學院，河南 焦作 454000)

0 引 言

近年來,隨著坐標測量技術、傳感器技術和計算機技術的發展，尤其是數據處理軟件功能的增強，三維齒面形貌偏差、分解齒輪單項幾何偏差和頻譜分析等誤差項目的測量得到了推廣[1]。

國內外專家學者對齒面三維偏差獲取與分解開展了大量的研究。石照耀等[2]提出了多自由度回歸齒面的齒輪誤差評定算法；張白等[3]將齒輪三維數據降維至二維數據，再對二維測量數據進行各項誤差評定；大連理工大學精密齒輪團隊[4-5]對改進后的齒輪測量中心Mahr891E螺旋線偏差測量系統測量不確定度進行評定，借助Mahr891E齒輪測量中心獲得齒面偏差并對齒輪三維齒面偏差擬合分離；姬建鋼等[6]對漸開線圓柱齒輪修型原理及修形技術進行了綜合論述；W.Lotze等[7]通過對齒面坐標擬合，提出齒輪誤差三維測量技術；YUE P等[8]利用二維切比雪夫正交多項式對齒面偏差整體擬合，對齒面偏差進行評價；Vit Zeleny等[9]使用齒輪幾何方法推導測點的齒形和螺旋偏差的計算公式。以上研究可以較好描述齒面偏差，但仍存在以下問題：齒面點偏差的求解過程不明確；三維齒面偏差曲面擬合評價與傳統齒面偏差評價的關系不確定。

針對以上問題，本文提出一種利用坐標法獲取三維齒面偏差的方法。在柱坐標系下推導圓柱漸開線斜齒輪測量點坐標與標準齒面的垂直偏差,使用二維勒讓德正交多項式對齒面偏差整體擬合并評定齒面偏差。以含有徑向變位的6級精度圓柱斜齒輪為例，采用三坐標測量機對齒輪進行測量實驗，實驗所得數據使用MATLAB編程計算結果,評定齒面偏差，將計算結果與齒輪測量中心報告中部分偏差數據進行對比，以驗證該方法的可行性。

1 齒面點偏差的求解

本文將齒面各偏差均視為在標準齒形上偏轉一定角度所形成。以齒輪上端面為基準面，把與被測齒輪齒數、模數相同的標準漸開線齒輪第一個輪齒齒形作為基準齒形，將測量點旋轉變換至基準齒形附近。視測量點為偏離基準齒形一角度的輔助漸開線上一點，測量點的漸開線生成線與基準齒面漸開線的交點即為測量點端面對應點。由漸開線性質求得兩者距離，其在齒面的法向分量即為垂直于齒面的偏差。

齒輪基本參數如表1示，其中螺旋角β左旋為正，右旋為負，直齒取0。

表1 斜齒輪基本參數

1.1 建立坐標系

將齒輪水平放置，齒輪中心軸線向上為z軸正向，交齒輪上端面于坐標原點O。以z=0作為基準面，從原點過一齒頂圓弧中點向外引出一條極軸ρ，并以該齒為基準作為第一齒，從第一齒順時針順序編號[10]，逆時針為極角正向，建立齒輪柱坐標系，如圖1所示。此坐標系是依據測量直角坐標系經變換得到的計算柱坐標系。

圖1 齒輪柱坐標系

選取被測齒面上取值范圍內任一測量點Kμ(ρμ,θμ,zμ)為例。其中下標μ表示該點為測量點，以與η表示基準齒形點相區別。表2列出本文涉及到的斜齒圓柱齒輪參數及計算公式，本文取法面齒頂高系數為1，法面頂隙系數為0.25。

表2 斜齒圓柱齒輪參數及計算公式

首先將測量點坐標值轉換為柱坐標值，針對漸開線部分給出取值范圍以篩選數據。

由表2得(Te為當rb=rf時齒輪齒數)

(1)

極徑ρμ的取值：當齒數T≤Te時，齒根圓半徑小于基圓半徑，rb<ρμTe時，齒根圓半徑大于基圓半徑，rf<ρμ

zμ的取值為：-b

1.2 測量點的旋轉變換

斜齒圓柱齒輪可以看作由漸開線標準齒形沿軸向螺旋上升形成，利用該性質將測量點Kμ旋轉至z=0基準面，對應旋轉角度如圖2示。

圖2 螺旋角在基準面對應角度

由螺旋角與直徑關系[11]，Kμ旋轉到z=0端面后極角θd如式(2)表示,其中βμ為Kμ處螺旋角。

通過式(3)求出該測量點位于第i齒，其中方括號表示向下取整：

(3)

將θd去除i-1個齒距的影響，得到在基準齒形附近的θt：

θt=θd-(i-1)×π×mt，

(4)

1.3 輔助點極角

以測量點Kμ極徑ρμ為半徑在基準面做輔助圓，交第一基準齒形于輔助點Kξ(ρξ,θξ,0),如圖3所示。

圖3 基準齒形各角度

Kξ點處的極徑ρξ=ρμ，根據漸開線極坐標方程[12]，其壓力角αξ與漸開線函數uξ分別為

(5)

uξ=tanαξ-αξ，

(6)

分度圓壓力角對應的漸開線函數為

uα=tanαt-αt,

(7)

在標準齒形分度圓上齒厚等于齒槽寬，半個齒厚圓弧對應極角為

λ=2π/4T，

(8)

1.4 徑向變位量

斜齒圓柱齒輪傳動多采用標準斜齒輪，也可以采用高度變位或角度變位。采用角度變位對提高斜齒輪的承載能力效果不大，本文對高度變位齒輪給出計算。

高度變位又名等移距變位，可將變位視為基準齒形沿漸開線方向、齒頂齒根沿徑向偏移2xn×mn，如圖4所示。對于變位斜齒圓柱齒輪，如果用其端面的值，則仍可用直齒圓柱齒輪的計算公式。漸開線齒廓端面變位量px為

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圖4 端面徑向變位量

px=xn×cosβ×mt×tanαt。

(9)

1.5 齒面點偏差的計算

圖5 端面點偏差

通過以上計算，得出測量點垂直于端面基準齒形的距離，空間中測量點垂直于齒面的距離[13]為(βb為基圓螺旋角)

dμ=dt×cosβb。

(11)

2 三維齒面偏差的評定

對齒面所有測量點進行計算，形成齒面偏差點云，建立齒面坐標系，對齒面偏差點云進行擬合評估，從而實現對三維齒面偏差的評定。

2.1 齒面坐標系建立

參照GB/T 10095.1-2008中的齒廓偏差和螺旋線偏差范圍，建立齒面(u,v,d)坐標系，如圖6所示。其中，u為齒廓偏差定義中的可用長度,即2條端面基圓切線長度之差，方向沿齒廓從rb到齒頂；v為螺旋線偏差定義中的跡線長度，與齒寬成正比，方向從負齒寬到z=0；dμ為式(11)求得的齒面偏差值，方向垂直于齒面。通過式(12)計算測量點在齒面坐標對應值。

圖6 齒面坐標系Fig.6 Tooth surface coordinate system

(12)

2.2 二維勒讓德正交多項式

二維勒讓德正交多項式的正交性使各項之間無串擾，增加或刪除一個項對其他項沒有影響，而且由于二維勒讓德正交多項式前6項函數圖像與齒面常見偏差有相似特征[14]，因此，齒面常見偏差可用二維勒讓德多項式前6項表示。以下通過一維勒讓德正交多項式引入二維勒讓德正交多項式的概念。

區間為[-1,1],權函數為1，一維勒讓德多項式遞推表達式為

(13)

在區間x×y=[-1,1]×[-1,1]上，二維勒讓德多項式表達式為(下標m,n分別為x,y的次數)

Lm,n(x,y)=Pm(x)×Pn(y)，

(14)

由一維勒讓德正交多項式的正交性：

二維勒讓德正交多項式前6項表示為

(17)

取二維勒讓德正交多項式前6項為基函數，對齒面偏差函數D(x,y)進行最小二乘擬合[15-16]，得到D(x,y),可表示為

D(x,y)=∑Am,n×Lm,n(x,y)=
∑Am,n×Pm(x)×Pn(y)。

(18)

2.3 齒面偏差評定

在齒面坐標系下對齒面偏差點云進行擬合，齒面偏差擬合前使用3δ準則除去壞點。將u，v歸一化至[-1,1]×[-1,1]區間，D即為dμ齒面偏差矩陣，代入式(19),求得各項系數：

(19)

常見齒面偏差類型(齒距偏差、齒廓斜率偏差、螺旋線斜率偏差、扭曲偏差、齒廓凸度、輪齒鼓度)示意圖與二維勒讓德正交多項式前6項(以x,y,z為例)，在[-1,1]×[-1,1]域內函數圖像對比見圖7。

圖7 齒面偏差與二維勒讓德多項式各項函數

結合GB/T 10095.1-2008與GB/Z 18620.1-2008中各偏差量計算方法與二維勒讓德正交多項式前6項函數性質可推導出：擬合項中一次項L0,1,L1,0斜率為1，可用系數直接表示對應偏差量；擬合項中二次項L2,0,L0,2在域內的z范圍為[-0.5，1]，可用其系數值的1.5倍表示對應偏差值，其符號取決于左右齒面及偏差凹凸類型，若左齒面凸偏差、右齒面凹偏差，二次項系數符號為負，否則為正。

3 三坐標測量與齒面偏差估算

本文使用海克斯康GLOBAL STATUS 9128三坐標測量機，允許誤差2.2+4.0L/1 000 μm(L為測量值)，在規定測量環境下[18]進行齒輪測量，測量設備及環境如圖8所示。

圖8 齒輪測量設備及環境

被測齒輪基本參數見表3。

表3 被測齒輪基本參數

建立齒輪測量坐標，使用PC-DMIS測量軟件對被測齒輪第一、五2齒左右齒面進行測量，每一齒面沿齒廓方向等距開線掃描15條線得到齒面坐標點數據，如圖9所示。

圖9 掃描測量獲取齒面數據

通過MATLAB編程讀取齒面掃描數據，分別存入x,y,z矩陣，將各矩陣轉換為柱坐標對應值，通過本文算法得出齒面點云偏差，并使用二維勒讓德正交多項式前6項對各齒面偏差擬合。

表4為各齒面偏差使用二維勒讓德多項式擬合各項系數的計算結果，其中u′、v′為齒面坐標u、v歸一化至[-1,1]表示，表中“1左”表示被測第一齒左齒面，以此類推。表5為3906型齒輪測量中心報告部分偏差數值。

表4 各齒面偏差擬合項系數

表5 3906型齒輪測量中心報告部分偏差數值

使用二維勒讓德正交多項式擬合各偏差曲面如圖10示。擬合項中一次項L1,0=u′與L0,1=v′系數分別對應測量中心報告中齒廓斜率偏差、螺旋線斜率偏差，系數值均在精度等級范圍內。v′均值與報告中螺旋線斜率偏差均值相差較大，但其均值與三坐標測量機PC-DMISGear軟件測量評估結果均值接近，初步判斷是由齒輪上端面與齒輪制造基準孔存在垂直度偏差、建立測量坐標系坐標軸與理想坐標軸之間存在偏角而導致測量誤差引起的。

圖10 齒面偏差擬合圖Fig.10 Tooth surface deviation fitting diagram

其二次項L2,0=(3×u′2-1)/2、L0,2=(3×v′2-1)/2為凹函數，分別對應測量中心報告中齒廓凸度、輪齒鼓度，本文規定逆時針方向為正，左齒面正偏差圖像上凸，所以其對應二次項系數為負值。各齒面二次項系數的1.5倍分別為L2,0：-1.036(左齒面)、-1.079(右齒面)；L0,2：-20.88(左齒面)、14.378(右齒面)，與測量中心報告中對應項接近，驗證了上文的推斷。

由u′×v′混合項得出各齒面還存在一定的扭曲偏差，傳統測量中心報告中無此項。齒距偏差與二維勒讓德正交多項式常數項的關系的確定，需要加強實驗條件，在進一步工作中完成。

4 結 論

(1)基于坐標法，利用漸開線基本性質，將齒面各變化均視為在標準齒形上偏轉一定角度形成，推導出含有徑向變位漸開線斜齒圓柱齒輪齒面點偏差的求解方法。

(2)利用二維勒讓德正交多項式的正交性及其前6項與齒面偏差函數特征的相似性，對齒面偏差點云進行擬合，用擬合項描述齒廓斜率偏差、螺旋線斜率偏差、齒廓凸度和輪齒鼓度，確定勒讓德正交多項式項系數與對應類型齒面偏差量的比例關系，實現了基于面偏差數據的三維齒面偏差評定。

(3)使用三坐標測量機對6級精度含有徑向變位的斜齒圓柱齒輪進行測量實驗，將實驗結果與齒輪測量中心報告數據對比，采用以上方法實現的三維齒面偏差與測量中心報告結果接近，從而驗證了該方法的可行性。

(4)確定齒距偏差項與二維勒讓德常數項的關系尚需加強實驗條件，以進一步驗證本文結論。