淺談湊微分法的教學

黃海濤

（湖南幼兒師范高等專科學校，湖南 常德 415000）

不定積分作為微積分學最基礎的內容之一，是學生今后學習其他知識的基礎，是后續知識的過渡橋梁，在知識體系中有承上啟下的作用。當前，高等數學的課時普遍較少，學生學習的任務繁重，部分學生沒有養成良好的思維習慣等因素，導致部分學生在學習不定積分這部分知識時，感覺非常難懂、很抽象，對各種不同的計算技巧和方法感到難以掌握和靈活地運用，這在一定程度上加重了他們的學習負擔，也對學生學習高等數學的積極性產生了不好的影響。針對這種現象，本文結合筆者的教學經驗，對湊微分法（第一類換元積分法）的教學和使用，介紹了自己獨到的理解，并結合具體實例展開分析，以期幫助學生快速地掌握湊微分法的基本思想和方法。

1 湊微分法教學中必須講清的幾個關系

1.1 原函數的概念與微分計算公式

原函數的概念是不定積分中出現的一個最基本的概念，引入這個概念并不難[2]。

定義1 設函數F(x)和f(x)在區間I上有定義，若對于I上的每一點，都有

F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

則稱F(x)是f(x)在區間I上的原函數。

從微分計算公式dF(x)=f(x)dx來看，從左向右是求導的過程，從右向左是湊微分的過程，也是一個積分的過程。因為這一過程并沒有出現積分號，常會使學生感到困惑，所以運用湊微分法求不定積分，需要學生熟悉常用的微分式，要讓學生明白，湊微分的過程就是在找原函數，此過程中已經在進行積分了。例如常見的微分式：可改寫為積分式，可改寫為等等。正確理解上述概念是學好湊微分法的第一步。

1.2 導數與不定積分的互逆關系

根據不定積分的定義，若F'(x)=f(x)，則有，由此可見導數與不定積分是互逆關系。要想把握不定積分的本質，必須弄清兩者之間的關系。例如：

1.3 不定積分的形式不變性

對于積分基本公式，許多學生可以理解和熟記，但往往不能熟練使用，特別是對公式的變形，更是一竅不通[3]。在教學中，我們要幫助學生深刻理解積分變量的“符號”作用，中的積分變量x可以換成可導函數φ(x)，公式依然成立，變形為，更一般的，可用符號“□”去替換積分變量x，只要積分的形式一致，就可以利用基本公式進行積分。

對于公式中的變量x，不妨用符號“□”去替換，得到的形式。（其中□可以是x，可以是x2，可以是關于x的函數φ(x)，等等）

具體解題時，學生易受到思維定勢的影響，總以為積分變量只能是x，其實，可以將某一個式子作為積分變量，將某一個整體看作積分變量，深刻體會不定積分的形式不變形是掌握湊微分法的關鍵。

2 湊微分法的解題步驟

學生在進行解題時，有時不知如何下手，教學中有必要將使用湊微分法的步驟向學生交代一下，幫助他們快速的理清思路，掌握方法。

運用湊微分法的主要步驟：

1）觀察積分式，聯想最接近的積分公式。

2）將被積函數中的某一部分看作積分變量，在d中湊出這個整體。

3）根據積分基本公式得到最終結果。

解 分析：（1）被積表達式中有，聯想最接近的積分基本公式；（2）把x這個整體看作積分變量，在d中湊出這一整體，即；（3）積分式變為，根據不定積分形式的不變性，將x這個整體看作積分變量，即的形式，對照形式得到最終結果。

3 總結

在用湊微分法解決不定積分問題時，找到正確的“整體”作為積分變量，從而在d中湊出這個“整體”，是學生最容易出錯的地方[4]。不定積分形式不變性表明，基本積分公式中的積分變量x可以換成某個函數、某個“整體”（比如x2，lnx，□，等等），公式依然成立，所以湊微分法的目的就是將所要求的積分轉化為能使用基本積分公式的廣義形式。學生在平時的練習中要隨時注意被積函數的類型和特點，并體會積分變量的“符號”作用，從而提高用湊微分法準確、迅速求解不定積分的能力。