關于“角平分線的性質和判定”專題復習的研究

肖延舉

摘? 要：文章是對角平分線的性質和判定進行的綜合應用研究，通過對角平分線知識的整體架構，引導學生發現問題、提出問題并解決問題。由對一個問題的思考角度和解決過程，總結出一類問題的解決策略，讓學生真正學會思考、學會學習，進而提高解決問題的能力。教學中，要注意培養學生養成反思總結的習慣，使學生在反思中成長，不斷進行自我完善。

關鍵詞：角平分線的性質;角平分線的判定;對稱性

本節課是繼“角平分線的性質和判定”學習后的一節專題復習課，意在讓學生體會角平分線的作用，感受角平分線的性質定理可以用來證明邊相等，角平分線的判定定理可以用來證明角相等，根據角平分線的對稱性，可以找到構造三角形全等的途徑，從而解決證明線段和角相等的問題。通過本節課的學習，可以讓學生積累添加輔助線解決問題的經驗，為后續研究等腰三角形和四邊形等相關內容做鋪墊。

一、教學目標

（1）掌握角平分線的性質定理和判定定理，能利用角平分線的性質定理和判定定理解決問題。

（2）會利用角平分線的對稱性構造全等三角形解決問題。

二、教學重、難點

教學重點：根據角平分線的性質定理、判定定理及對稱性，探索構造全等三角形解決問題的方法。

教學難點：根據角平分線的性質定理和判定定理，添加輔助線來構造全等三角形，從而解決問題。

三、教學過程設計

1. 復習角平分線的性質和判定

（1）在△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分線，交邊BC于點D，若CD = 5，則點D到AB的距離為_______。

（2）在△ABC中，∠C = 90°，∠BAC = 30°，點D為邊BC上一點，過點D作DE⊥AB于點E，若CD = DE，則∠EAD的度數為_______。

【評析】通過這兩道題目考查學生對角平分線的性質定理和判定定理的掌握情況，讓學生體會定理的運用離不開作垂線段，為本節課探究典例做鋪墊。

總結：角平分線的作用[ 性質→邊相等; 判定→角相等; 一邊一角→構造全等。]

2. 課堂探究

題目1? 如圖1，在四邊形ABCD中，∠A = ∠B = 90°，DE平分∠ADC，且AE = BE，求證：CE平分∠BCD。

思路1：如圖2，過點E作EF⊥CD于點F，利用角平分線的性質定理和判定定理解決問題。

當幾何問題的條件中含有角平分線時，由角平分線的性質定理，可以想到向角的兩邊作垂線段來尋求線索，這是解決這類問題的常見策略。除此之外，此題還可以從全等的角度考慮解決。

思路2：如圖3，在線段CD上截取DF = DA，連接EF，易證△ADE ≌ △FDE，再證Rt△EFC ≌ Rt△EBC即可。

思路3：如圖4，延長DA至點F，使得DF = DC，連接FE，可證得△DEF ≌ △DEC。然后證明Rt△AFE ≌Rt△BCE即可。

【評析】思路2和思路3的本質是相同的，但是與思路1的思考角度截然不同。思路2和思路3是根據角平分線的對稱性構造全等三角形，因為題目中給定了一個角平分線的條件，為三角形全等提供了一條公共邊和一個相等的角，所以只需要再構造一條相等的邊即可。構造與△ADE全等的三角形時，可將△ADE沿著DE翻折;構造與△DCE全等的三角形時，可將△DCE沿著DE翻折。

針對思路3，學生會發現FE和CE是共線的，善于思考的學生會猜想如果將輔助線的作法改為“延長CE和DA交于點F”，是否依然可以完成證明？答案是肯定的。同理，延長DE和CB交于點F，也是可以完成證明的。但是以上兩種證明方法涉及等腰三角形的的相關知識，因此這里不做過多討論，點到即可。

接下來，利用幾何畫板軟件演示：對圖1進行變換，令直線AB繞點E旋轉，并且使∠A和∠B從90°的特殊角變換到一般情況，保證條件AD∥BC，思考上述結論是否依然成立？

變式：如圖5，已知AD∥BC，DE平分∠ADC，且AE = BE，求證：CE平分∠BCD。

【評析】此題能激發學生進一步思考。學生需要意識到雖然圖形發生變化，但是解題方法可能與題目1有共通之處，然后進一步創造條件解決問題，使學生感受數學問題中的規律性和解題策略的多變性。

思路1：如圖6，過點E分別作EM⊥AD于點M，EN⊥DC于點N，EP⊥CB交CB的延長線于點P，再根據角平分線的性質定理和判定定理即可完成證明。

此題的條件中依然有角平分線，證明的結論依然是角相等，學生很容易想到利用角平分線的性質定理和判定定理來解決問題。因此，向角的兩邊作垂線段是多數學生的選擇。除此之外，此題還有其他解法嗎？學生會受題目1的啟發，根據角平分線的對稱性，通過截取邊相等或者利用角相等構造一組三角形全等，若要證明角相等，只需要再證明另一組三角形全等即可。

思路2：如圖7，在DC上截取DF = DA，連接EF，易證△ADE ≌ △FDE。通過觀察圖形，發現如果證明△CFE ≌ △CBE，即可解決問題。

目前這一組三角形滿足的條件是“SSA”，不具備全等的條件，該如何解決呢？通過教師點撥，學生相互交流，共同找到如下的解決辦法。

如圖8，過點E分別作EN⊥CD于點N，EP⊥CB交CB的延長線于點P。易證△ENF ≌ △EPB。所以EN = EP。再利用角平分線的判定定理或者證明Rt△CNE ≌ Rt△CPE，即可證明結論。當然，證明△CFE ≌ △CBE也可以得到結論。

【評析】類比題目1，除了作垂直，學生易想到構造全等的方法，通過觀察圖形猜測兩個三角形全等。但是給出的條件不夠，這時教師拋出問題讓學生自己去探索，發揮想象，更能激發學生的探究樂趣。

接下來，教師對變式題進行升華：把變式中的條件和結論提取為如下四個命題，選取其中的三個作為條件，一個作為結論，有幾種選擇？組成的命題是否成立？

（1）DA∥CB;

（2）DE平分∠ADC;

（3）AE = BE;

（4）CE平分∠BCD。

問題由封閉變為開放，使學生的思維更開闊、更靈活。共組成四個命題，兩個同類型的已完成證明，再選取一個進行證明。

題目2? 如圖9，在四邊形ABCD中，DA∥CB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，求證：AE = BE。

通過上述題目1及變式，我們發現在涉及角平分線的題目中，可以充分利用角平分線的性質定理和判定定理向角的兩邊作垂線段，也可以利用角平分線的對稱性構造全等三角形，常用的作輔助線的方法有截長、補短、作垂直、作延長線等。

3. 課堂檢測

如圖10，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點F。

（1）試探究FE和FD的數量關系。

（2）若∠ACB不是直角，其余條件不變，上述結論是否依然成立？若成立，給出證明;若不成立，說明理由。

四、教學反思

1. 題組設計由特殊到一般，由閉合到開放

本節課主要是針對“角平分線的性質和判定”進行的專題研究，專題研究就是從某一重要的數學知識、技能或數學方法加以展開、縱向深入，對知識和技能的內在聯系及數學思想和方法進行較為深入的剖析，圍繞某個典型例題對學生進行集中訓練，從而讓學生掌握這類問題的解決策略。

本節專題研究課由一道典型例題引入，其具備一定的特殊性，即有兩個角是90°，對這道題目的探究，學生提出了多種多樣的解法，教師要對學生的想法加以鼓勵，培養學生勇于探究的精神，隨后對題目1進行變式，即將原來的特殊角改為一般角，但是結論依然成立，讓學生體會由特殊到一般的數學思想方法。最后，對本節專題進行升華設計，把題目及變式中的題設和結論全部提取出來，自由組合成新的命題，讓學生對新命題是否成立進行猜想和驗證。這種設計使問題由閉合到開放，能夠有效培養學生敢于猜測、質疑的精神，讓學生體會問題的多變和方法的不變性，更能激發學生探索的樂趣，最終總結出一類問題的解決策略，使學生認識到數學的本質。

2. 關注學習過程，注重數學思維的培養

一堂課的好壞，不是看教師教了多少，而是看學生學到了多少。因此，教學時，教師不只要教會學生解決問題的方法，更重要的是培養學生的思維能力。本節專題復習課設計的題目，首先考查學生對角平分線的性質定理和判定定理的掌握情況，但是學生的思維不能被固化，要了解見到角平分線不僅有向角兩邊作垂線段這一種解決問題的方案，還可以利用角平分線的對稱性構造全等三角形來解決問題，使學生的思維更加開闊。在對方法進行探究時，教師不能急于求成，要留給學生充足的時間和空間，鼓勵學生去大膽猜測和驗證，注重學習過程，進而培養學生發現問題和解決問題的能力。

參考文獻：

[1]王春春.“分式”（第1課時）教學設計及說明[J].中國數學教育（初中版），2017（7 / 8）.