基于數學核心素養的單元復習課設計

[摘? 要] 單元復習課的上法有多種，如結構圖式的知識點梳理、以思想方法為主線的設計. 文章基于數學核心素養的理念設計了一節“一元一次方程”的復習課，并淺析此節課中如何通過三個問題體現對應的核心素養.

[關鍵詞] 數學核心素養;一元一次方程;單元復習

近年來，“核心素養”成為教育領域探討的“熱詞”. 在教育部2014年印發的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中，首次提出“核心素養體系”概念. 同時，普通高中課程標準修訂，也將核心素養作為重要的育人目標. 那么，何為數學核心素養？高中數學課程標準修訂組定義的數學核心素養：是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的、具有數學特征的關鍵能力和思維品質[1] . 通俗地說，就是把所學的數學知識都遺忘后還能留下來的東西，或者說從數學的角度看問題，用理性思維思考問題，以及用清晰準確的語言表述問題.

高中階段的數學核心素養可抽象成六個關鍵詞：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析[1] . 而《義務教育數學課程標準（2011年版）》中關于數學核心素養提到了八個詞：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想[2] . 無論是高中階段的六個詞還是義務教育階段的八個詞，其本質都是一樣的，而且義務教育階段的八個詞經過適當排序后也能和高中階段的六個詞完全對應，這里就不再贅述了. 數學核心素養要靠教育者去落實，而最終與學生對接的是一線教師，所以，教師在常態課的設計中需要把數學核心素養考慮進去，尤其在復習課的設計上更應該注重這一點. 筆者基于數學核心素養設計了一節“一元一次方程”的復習課，現將實錄的過程及幾點思考整理出來，不當之處，請批評指正.

課堂實錄

師：什么是方程？什么是一元一次方程？

生1：含有未知數的等式叫方程.

生2：含有一個未知數并且未知數的次數是1的方程叫一元一次方程.

師：請你舉一個一元一次方程的例子.

生3：3x=5.

生4：x-6=1.

生5：1000x+200=-3.

師：這樣的例子能舉完嗎？

生（齊）：舉不完.

師：那能不能找一個一般的等式代表所有的一元一次方程？試試看！

生6：mx+n=a.

師：m，n，a有什么要求嗎？

生6：都是常數.

師：很好. 還有補充的嗎？

生7：我覺得m≠0.

師：為什么？

生7：如果m=0，就不是一元一次方程了.

師：回答得非常好！這里老師再補充一點，既然n和a都是常數，那么就可以合并同類項了，于是可以得到一元一次方程的一般形式——mx+n=0（m≠0）. （教師板書一般形式）

問題1 ？搖解方程： =1- .

師：請同學們在學習單上解“問題1”的方程.

（教師來回巡視，試圖找那些解錯的例子）

生8： =1- ，3（2x-1）=1-（4x-1）…

師：誰來評價一下生8的解法？

生9：我覺得他的解法是錯的，第一步常數項“1”漏乘6.

師：那你能給生8解釋一下為什么“1”要乘6嗎？

生9：第一步去分母的依據是等式的性質——等式兩邊同時乘6，所以每一項都要乘6.

師：我想生8應該明白了，非常好，請坐！下面我們來看一下下面這位同學的解法.

生10： =1- ，3（2x-1）=6-4x-1…

師：誰來評價一下生10的解法？

生11：我覺得他的解法是錯的，第一步中（4x-1）是一個整體，作為減數要加括號.

師：分析得非常好！我們再來看下面這位同學的解法.

生12： =1- ，3（2x-1）=6-（4x-1），6x-3=6-4x+1，6x+4x=6-3+1…

生13：我覺得他的解法是錯的，第三步等號左邊的-3移項后沒有變號.

師：說得很好. 大家從解決這個方程的過程中可以回憶出解一元一次方程的步驟，以及在解方程過程中哪些地方比較容易出錯.

（教師板書解一元一次方程的步驟）

師：本題的答案是x=1. 它是一元一次方程嗎？它與原方程有何關系？

生14：它和原方程都是一元一次方程.

師：回答正確！還有補充的嗎？

生15：x=1是原方程的解.

師：很好！其實，解一元一次方程就是將方程變成“x=a”的形式.

師：為什么要學習一元一次方程？

生16：因為它能夠幫助我們解決實際問題.

師：是的，因為方程是刻畫現實世界的一種十分有效的模型.

問題2？搖 請編寫一個能用方程70x+50（120-x）=6300解決的實際問題（不需要求解）.

師：大家獨立思考3分鐘后在學習單上寫下來，然后小組交流.

（小組交流，教師巡視、旁聽）

生17：小明買了兩種水果，共120千克，其中蘋果70元/千克，橘子50元/千克，總共花去6300元. 小明買了多少千克蘋果？

師：根據生17編寫的問題能夠列出此方程，但老師老覺得哪里不對勁，你們看出來了嗎？

（部分同學偷笑）

生18：蘋果和橘子沒有這么貴.

師：是的. 作為一名中學生，我們應該學會用數學的眼光觀察世界，所以對于一些生活中的數據，我們要有一個大概的認識. 誰能幫忙修改一下？

生19：小明買了兩種商品，共120個，其中A商品70元/個，B商品50元/個，總共花去6300元. 小明買了多少個A商品？

師：這下可以了. 還有小組有其他的情境嗎？

生20：甲、乙兩車從同一地點沿著相反的方向運動，某時刻兩車相距6300米. 已知甲車的速度是70米/秒，乙車的速度是50米/秒，兩車共用時120秒，求甲車用了多長時間.

師：這個行程問題描述得很好. 老師在巡視的時候還發現很多同學寫了不一樣的情境，其實我們常見的實際問題的情境就幾大類——銷售、行程、工程、調配等，而每一類問題都有一些相應的分析方法，如銷售問題常通過表格進行分析，行程問題常通過線段圖進行分析.

（教師板書表格、線段示意圖的大致框架）

師：接下來我們來看最后一個問題.

問題3 ？搖旅行社組織甲、乙兩個旅游團到游樂場游玩. 已知兩個旅游團的總人數為120，其中甲旅游團的人數不超過60，游樂場規定一次性購票60張以上可享受團隊票. 門票價格如下：

旅行社計算后發現，如果甲、乙兩旅游團分開購買，總共要花費6300元. 求甲、乙兩旅游團報名的人數.

師：請同學們先獨立思考，有思路后再舉手.

（除了幾個同學有點想法而外，其余同學呈苦思冥想狀）

師：我們先根據條件逐步分析.

師：從“兩個旅游團的總人數為120”中，你能得到什么？

生（齊）：甲旅游團人數+乙旅游團人數=120.

師：從“甲旅游團的人數不超過60”中呢？

生21：甲旅游團人數小于或等于60.

師：從“甲、乙兩旅游團分開購買，總共要花費6300元”中呢？

生21：甲旅游團費用+乙旅游團費用=6300元.

師：設甲旅游團有x人，則乙旅游團有（120-x）人. 下面請同學們繼續思考.

生22：70x+50（120-x）=6300.

師：有不同的意見嗎？

生23：70x+60（120-x）=6300.

師：這兩位同學的解法有何不同？

生24：若甲旅游團的人數不少于20，則乙旅游團的人數不多于100，此時為生23的方程;若甲旅游團的人數少于20，則乙旅游團的人數多于100，此時為生22的方程.

生25：上述說法都不正確，我認為第二個方程不需要考慮，因為解出的答案為負數.

師：這種情況下解出的答案不合題意，但真的不需要考慮嗎？

生（齊）：要考慮.

師：是的，我們應該按照生24的思路考慮兩種情況，分別列出方程，然后舍去不符合題意的解.

（教師板書例題正解，強調分類討論思想）

最后，讓學生回憶本節課的要點，并由教師從知識與思想方法兩個方面做出總結，結束本節課.

幾點思考

1. 問題1：“數學運算”——“量”上求精簡

運算能力是《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提到的八個核心詞之一，有著非常重要的地位. 運算能力也是知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等教學目標實現的基本條件. 近年來，初中生的運算能力存在普遍下滑的趨勢，為了扭轉這一局面，各地中考開始加強對運算能力的考查，其目的是讓教師在平時的課堂上注重對學生運算能力的培養.

對于“一元一次方程”的復習課，教師都能意識到這節課的重點之一是加強數學運算能力，于是不少人在本節復習課上設置了多個不同形式的一元一次方程作為例題，再配上多個形式相當的方程作為同步練習. 表面上看，學生將一元一次方程的解法系統地復習了一遍，但這畢竟是復習課，這樣的“題海戰術”學生早已厭倦，效果堪憂. 而本節課只在“問題1”中要求學生解一個方程，不是過去幻燈片上一下出現多個方程的形式，所以學生會用心地“呵護”這僅有的方程，于是發現犯低級錯誤的情況減少了. 但在講評的時候筆者發現學生依然會出現“漏乘”“移項沒變號”等錯誤. 出現這些錯誤的同學并不是簡單的粗心，而是算理模糊，所以這個環節要慢下來，要讓其他同學指出錯誤的根源，讓出錯的同學能夠在其他同學講解的過程中慢慢厘清算理，從而提高解方程的正確率.

2. 問題2：“數學建模”——“實”上求突破

數學建模就是對現實問題進行抽象，用數學語言表達和解決問題的過程. 數學建?？疾榈氖菍W生用數學知識解決實際問題的能力. 整個建模過程有助于培養學生用數學的視角提出問題、用數學的思維分析問題，以及用數學的語言表達問題的能力.

“一元一次方程”復習課的第二道“大菜”是用方程解決實際問題. 以往筆者都是從銷售、行程、工程及調配等類型中挑選一題或者兩題作為例題來講解，這種用方程模型解決問題的方式是發展學生“數學建?！蹦芰Φ囊环N有效方式. 而本節課是在此基礎上做了一個突破——給定一個一元一次方程，讓學生來補充相應的情境. 這個突破不僅在于知識點的突破，還在于考查了學生對生活的觀察和思考. 比如，課堂上生17就舉了一個從數學角度計算沒有問題，卻不符合實際生活的買水果例子. 再比如行程問題，學生在做一般的行程問題時通常都覺得不太容易，于是教師在講解的時候反復強調要通過線段示意圖來分析，不過還是有許多學生不會這樣做. 所以，在給定一個一元一次方程，讓學生補充行程情境的情況下，由于難度加大，便逼著學生通過畫線段圖進行分析.

3. 問題3：“綜合素養”——“新”上求發展

當今社會，各行各業都在追求“創新”，教師教學同樣需要創新，課件設計更需要創新. 筆者在設計“一元一次方程”復習課時，總會思考一個問題——為什么要學習一元一次方程？其中一個重要的答案就是課堂上學生的回答——為了解決實際問題. 而這些實際問題除了課本上、習題冊上出現的各類情境問題外，還包含真正的“實際問題”. 如每逢“雙11”，商家都會推出一系列打折滿減活動;再比如“問題3”給出的團購門票問題等，這些都是日常生活中常見的可以利用方程解決的例子. 從這個意義上講，“問題3”的設置是“新”，但并不止于此：表格的加入可以鍛煉學生的數據分析能力;解法的不唯一考查的是學生的分類思想. 細心的同學還會發現，“問題3”列出的方程似曾相識——就是“問題2”中的方程，這樣的處理使得整節課的結構更加完整.

參考文獻：

[1]史寧中，王尚志. 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.