淺談中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

陳亮

“使學(xué)生受到必要的數(shù)學(xué)教育，具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)于提高全民族素質(zhì)，為培養(yǎng)社會(huì)主義建設(shè)人才是十分必要的。”這是現(xiàn)代教育提出最基本的要求。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高最為重要的一點(diǎn)就是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。本文結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就如何“對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)”進(jìn)行闡述。

一、注重?cái)?shù)學(xué)模型的構(gòu)建

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題，而解題的過(guò)程就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)就是讓學(xué)生在靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，逐步提高數(shù)學(xué)建模能力。通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，可以培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力，分析問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)的能力，提高學(xué)生運(yùn)用模型解決問(wèn)題的能力，從而有效發(fā)展學(xué)生的思維能力。

【例1】三位先生A、B、C帶著他們的妻子a、b、c到超市購(gòu)物，至于誰(shuí)是誰(shuí)的妻子現(xiàn)在只能從下列條件來(lái)推測(cè)：他們6人，每人花在買(mǎi)商品的錢(qián)數(shù)（單位：元）正好等于商品數(shù)量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元錢(qián)，又知先生A比b多買(mǎi)9件商品，先生B比a多買(mǎi)7件商品.求先生C購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)量。

改問(wèn)題乍一看毫無(wú)頭緒，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)分析、比較，從多方面思考問(wèn)題，進(jìn)行思維變通，根據(jù)題意，設(shè)未知數(shù)，建立方程模型。

設(shè)一對(duì)夫妻，丈夫買(mǎi)了x件商品，妻子買(mǎi)了y件商品，則有x2-y2=48，即（x+y）（x-y）=48.∵x、y都是正整數(shù)，且x+y與x-y有相同的奇偶性，又∵x+y>x-y，48=24×2=12×4=8×6，∴ 或 或 解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1.符合x(chóng)-y=9的只有一種，可見(jiàn)A買(mǎi)了13件商品，b買(mǎi)了4件.同時(shí)符合x(chóng)-y=7的也只有一種，可知B買(mǎi)了8件，a買(mǎi)了1件.∴C買(mǎi)了7件，c買(mǎi)了11件.

二、引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用辨證法觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)

1.要讓學(xué)生注意數(shù)學(xué)概念發(fā)展過(guò)程中矛盾的普遍性。以中學(xué)階段數(shù)集的發(fā)展為例：解方程x2-3=0與有理數(shù)發(fā)生矛盾，引出無(wú)理數(shù)的概念，從而使數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集;又x2+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，從而引入虛數(shù)，使數(shù)的概念擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集。象這樣解決一個(gè)舊的矛盾后又產(chǎn)生一個(gè)新的矛盾，對(duì)數(shù)學(xué)的研究不斷發(fā)展和深入，使學(xué)生的思維越來(lái)越深刻，越來(lái)越開(kāi)闊。

2.引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)及矛盾轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)來(lái)分析知識(shí)的功能及層次，亦可使靜止的數(shù)學(xué)“動(dòng)”起來(lái)。例如公式sin2x+cos2x=1，粗看起來(lái)是一個(gè)“死”式，但通過(guò)仔細(xì)分析其功能，即可發(fā)現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)性：公式從左到右，是變量化常量（降次）;從右到左，則是常量化變量（升次）。它在三角變換中具有常變互化作用，如：求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值的幾種做法，稍作變換sin2x=1-cos2x是正余弦互變，在兩邊加上2sinxcosx便有（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，則成為正余弦和與積的互換關(guān)系（如：求y=sinx+cosx+sinxcosx最大值）。由此使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止則是相對(duì)的。

3.質(zhì)量互變規(guī)律，充分理解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)塊和知識(shí)鏈。在講立體幾何中的旋轉(zhuǎn)體時(shí)，從帶有普遍性的圓臺(tái)側(cè)面積π（R+r）l與體積 出發(fā)，當(dāng)R→r、l→h達(dá)到極限狀態(tài)R=r、l=h時(shí)，圓臺(tái)則變成圓柱，其側(cè)面積與體積變成 、πR2h;而當(dāng)r→0達(dá)到極限r(nóng)=0時(shí)，則圓臺(tái)變成圓錐，其側(cè)面積和體積變成πRl與 。眾多的數(shù)學(xué)現(xiàn)象說(shuō)明，當(dāng)某種因素運(yùn)動(dòng)到一定程度時(shí)將引起質(zhì)變。象這樣去引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)和分析問(wèn)題，把數(shù)學(xué)知識(shí)串通起來(lái)，使知識(shí)更系統(tǒng)化，解題思路更清晰，思維更全面。

三、注意創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)

創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是對(duì)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的一個(gè)重要內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有意識(shí)地激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)的全過(guò)程，培養(yǎng)他們勇于探索、敢于求異、大膽創(chuàng)新的精神。

（1）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)質(zhì)疑，勤于發(fā)問(wèn)。質(zhì)疑是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。疑問(wèn)是思維的深化、探索的動(dòng)力，因此教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑。比如：為什么由 得出函數(shù)y的最小值為4是錯(cuò)誤的。從而強(qiáng)調(diào)用基本不等式求最值時(shí)“正、定、等”的三個(gè)缺一不可。通過(guò)這樣不斷發(fā)問(wèn)，對(duì)問(wèn)題理解更透徹，思維更嚴(yán)密。

（2）引導(dǎo)學(xué)生換角度思考問(wèn)題。在解決問(wèn)題時(shí)，我們通常憑借已有的知識(shí)和方法選擇思路和入手的方向。當(dāng)思維受阻時(shí)，就應(yīng)當(dāng)調(diào)整思維方向，變換角度思考問(wèn)題。

【例2】函數(shù)Y=2cosx（0≤x≤2π）的圖象和直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，求封閉的平面圖形的面積。

分析：若用常規(guī)的面積公式無(wú)法解決。換種思路，用割補(bǔ)法化為等積的矩形OABC或矩形AEFM或矩形BGMA的一半（如圖）。易求得S=4π。

（3）引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自己解決問(wèn)題。課堂教學(xué)中通常是教師提出問(wèn)題，學(xué)生回答。學(xué)生學(xué)習(xí)的最好方法是自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自己去解決問(wèn)題，比如在學(xué)習(xí)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的內(nèi)容時(shí)，可以采用如下方法：首先讓學(xué)生看課本，然后討論如下問(wèn)題：①有無(wú)其它建立坐標(biāo)系的方法？為何建立課本的坐標(biāo)系？②參數(shù)p的幾何意義是什么？③能否總結(jié)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程及圖形的記憶規(guī)律？④拋物線是雙曲線的一支嗎？然后老師補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生解決所提出的問(wèn)題。

四、注重非智力因素的培養(yǎng)

大多數(shù)學(xué)生智力并無(wú)明顯差異，導(dǎo)致學(xué)生兩極分化的一個(gè)重要因素是非智力因素的發(fā)展存在差異，影響了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

（1）培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣。“興趣是最好的老師。”問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“引入問(wèn)題要活潑新鮮，有時(shí)可詼諧或說(shuō)些似是而非、自相矛盾的見(jiàn)解，讓學(xué)生去猜，因?yàn)橐坏┍硎境瞿撤N猜想就會(huì)追求猜想的正確與否，從而熱心起來(lái)。”同時(shí)，要善于利用無(wú)處不在的數(shù)學(xué)美，比如數(shù)學(xué)式的和諧、圖形的對(duì)稱(chēng)、方法的獨(dú)特、技巧的奇妙等，數(shù)學(xué)美的教學(xué)會(huì)給學(xué)生帶來(lái)無(wú)窮樂(lè)趣，使其思維能力在樂(lè)趣中得到培養(yǎng)。

（2）激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)直接影響學(xué)習(xí)效率，從而影響學(xué)生思維能力的提高。在教學(xué)中，要有意識(shí)地突出教材與其它學(xué)科的聯(lián)系。如講正弦函數(shù)可引導(dǎo)學(xué)生研究無(wú)線電波、彈性物體振動(dòng)和交流電等形成過(guò)程的曲線。還可結(jié)合教材進(jìn)行愛(ài)國(guó)教育，如把有關(guān)我國(guó)科學(xué)技術(shù)發(fā)展成就引入到教學(xué)，介紹日益發(fā)展的現(xiàn)實(shí)世界對(duì)數(shù)學(xué)迫切需求的情況，以促使學(xué)生把學(xué)數(shù)學(xué)的近期目標(biāo)與遠(yuǎn)大理想緊密聯(lián)系起來(lái)，形成最佳的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

（3）建立情感態(tài)度。所謂“親其師才能信其道”，作為中學(xué)教師，教學(xué)應(yīng)注意尊重個(gè)性，因材施教;愛(ài)生如子，言傳身教，使學(xué)生尊重你并喜歡你的課。

總之，新時(shí)期的中學(xué)數(shù)學(xué)教育要求我們突破傳統(tǒng)教學(xué)的局限性，把傳授知識(shí)、滲透方法、培養(yǎng)能力組成一個(gè)整體，使數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值超越數(shù)學(xué)領(lǐng)域，使數(shù)學(xué)精神、思想和方法銘刻在每一位學(xué)生的頭腦中，切實(shí)提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，為其終身發(fā)展打下良好基礎(chǔ)。